高考數(shù)學(xué)數(shù)列 解答題（六大題型）（解析版）

特訓(xùn)13數(shù)列解答題（六大題型）對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系．?dāng)?shù)列的求和主要是等差、等比數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用b1＝1，d>0證明不等式成立．另外本題在探求{an}與{cn}的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明．(1)形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．(2)遞推公式an＋1＝αan＋β的推廣式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，兩邊同時(shí)除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，轉(zhuǎn)化為bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通過構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ1－k)))求解．目錄：01：定義法求數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和02：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用03：由遞推關(guān)系求遞推公式04：數(shù)列的綜合應(yīng)用05：利用數(shù)列證明不等式06：求參數(shù)范圍01：定義法求數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由求出，由求得數(shù)列的遞推關(guān)系得其為等比數(shù)列并得出公比，從而易得通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和；（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義按正負(fù)分類討論去絕對(duì)值符號(hào)，然后分組求和．【解析】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得：，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，則；（2）由（1）知：，則，所以.2．已知數(shù)列中，，.(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)是等差數(shù)列，理由見解析(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論得出，然后利用錯(cuò)位相減法即可求解.【解析】（1）因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）知：數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，則，①，②，①②得：，則.3．已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以得出數(shù)列的前49項(xiàng)為正值，進(jìn)而求解即可.【解析】（1）因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即.設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，所以通?xiàng)公式為.（2）由（1）知.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，.4．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求證，（1）由等比數(shù)列求解，進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求和.【解析】（1）由得：由知：∴，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）方法一由（1）得：，∴∴

①

②②-①得：∴．方法二由（1）得：，∴∴

①

②①-②得：∴．5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出公差，表達(dá)出前5項(xiàng)，通過等差和等比關(guān)系求出和公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）表達(dá)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法即可得出數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）由題意，在等差數(shù)列中，設(shè)公差為,由，得，則，又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得，即，得d＝2，∴，，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為：．（2）由題意及（1）得，，在數(shù)列中，，在數(shù)列中，，∴，∴，，兩式相減得．∴02：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用6．在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析，；(2).【分析】（1）由，可得，即是等比數(shù)列，可求得，變形為，即可得到是等差數(shù)列，可求得，從而求得；（2），利用分組求和以及等差等比前項(xiàng)和公式，先求出為正偶數(shù)時(shí)的表達(dá)式，再求為正奇數(shù)時(shí)的表達(dá)式，即可得到.【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?，又，則有，所以，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以，為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，.時(shí)，，滿足.所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，有.綜上，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．(1)證明是等差數(shù)列；(2)是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，可求得，，再由等比數(shù)列的定義證明即可.(2)根據(jù)題意可求得，，代入中得，只需滿足以即可，從而求解的值即可.【解析】（1）解：證明：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以是等差數(shù)列；（2）解：因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．即，即，所以，解得.故存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n都有成立.8．已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知，有，即，所以，又因?yàn)?，故，由，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，整理得所以數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為考點(diǎn)：等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法求和.9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，,等差數(shù)列中，且，又、、成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），bn=2n+1（2）【解析】解：（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴，∴而，∴∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴∴，在等差數(shù)列中，∵，∴．又因、、成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∴（）解得d=-10,或d="2,"∵，∴舍去d=-10，取d=2，∴b1=3,∴bn=2n+1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知∴=(==10．已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且（1）求與；（2）設(shè)．記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有．【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．【解析】試題分析：（1）求與得通項(xiàng)公式，由已知得，再由已知得，，又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，即可寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及，可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為，；（2）（i）求數(shù)列的前項(xiàng)和，首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，將，代入整理得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有，即求數(shù)列的最大項(xiàng)，即求數(shù)列得正數(shù)項(xiàng)，由數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷出，當(dāng)時(shí)，，從而可得對(duì)任意恒有，即．（1）由題意，，，知，又有，得公比（舍去），所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，所以，故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為，；（2）（i）由（1）知，，所以；（ii）因?yàn)?；?dāng)時(shí)，，而，得，所以當(dāng)時(shí)，，綜上對(duì)任意恒有，故．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列與等比的列得概念，通項(xiàng)公式，求和公式，不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力．11．已知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，問：數(shù)列中是否存在不同兩項(xiàng)，（，i，），使仍是數(shù)列中的項(xiàng)?若存在，請(qǐng)求出i，j；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1），（2），（3）存在，，【解析】（1）先根據(jù)，求出，再根據(jù)可得，然后兩式作差，得到，再求出首項(xiàng)，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)，通過遞推，可證數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（3）由，假設(shè)數(shù)列中存在不同兩項(xiàng)，（，，），然后根據(jù)條件找出滿足條件的，值即可.【解析】（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足∴，由，得.∴，且，即.∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列∴（2）∵①時(shí)，②①②得∴，時(shí)，，∴∴∴為等差數(shù)列∴（3），假設(shè)中存在不同的兩項(xiàng)，（），使（）注意到.∴單調(diào)遞增由，則.∴令（），∴∴∵∴，而∴，令，則∴為單調(diào)遞增，注意到時(shí)，，∴m只能為1，2，3①當(dāng)時(shí)，∴，故i只能為1，2，3當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無整數(shù)解，舍當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無正整數(shù)解，舍去②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)∴，此時(shí)，無解③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，無正整數(shù)解，舍去.綜上：存在，滿足題意.【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列中的存在性問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬難題．03：由遞推關(guān)系求遞推公式12．已知數(shù)列滿足，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得，利用累加法即可求得的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求得，即可根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得的表達(dá)式，結(jié)合其單調(diào)性即可證明結(jié)論.【解析】（1）由題意得，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合上式，故．（2）證明：因?yàn)椋?，又在上遞增，且，．13．已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)令，，求證：．【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由數(shù)列的遞推公式，用累加法或構(gòu)造新數(shù)列的方法求數(shù)列通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)列特征求前項(xiàng)和；（2）由裂項(xiàng)相消法求，可得結(jié)論.【解析】（1）解法一：，當(dāng)時(shí)．檢驗(yàn)知當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立，故．．解法二：，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為0的等差數(shù)列，，．．解法三：，，．

，數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的等比數(shù)列，．．（2）．．14．已知數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，利用累和法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【解析】（1），設(shè)，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，顯然也適合，故；（2）由（1）可知，，，所以有，兩式相減得，由，顯然函數(shù)是正整數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，最小值為，所以有，因此15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的最值．【答案】(1)，(2)最小值為，最大值為1【分析】（1）利用累加法和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，由及可求；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，分情況討論可得答案.【解析】（1）由已知得，當(dāng)時(shí).∴當(dāng)時(shí)，，也滿足上式．所以當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，符合上式當(dāng)時(shí)，，所以，也符合上式，綜上，∴，.（2）由（1）可得：∴兩式相減：∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則∴單調(diào)遞減，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，則∴單調(diào)遞增，∴的最小值為，最大值為1.16．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：存在等比數(shù)列，使；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，得到，即可得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式，即可得證；（2）由（1）可得，利用分組求和法求出，即可得到不等式，解得的取值范圍，即可得解.【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以，則，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可知，則，所以，因?yàn)?，所以，則，則，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為.17．已知數(shù)列中，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)在（2）的條件下，設(shè)，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列，分奇偶求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先分組求和求得，再利用裂項(xiàng)相消法求得；（3）先求出的通項(xiàng)公式，，再根據(jù)，得到，令和，利用錯(cuò)位相減法求得和，再通過比較大小可證明結(jié)論.【解析】（1）∵，，，∴當(dāng)，時(shí)，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，則；當(dāng)，時(shí)，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，則，∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴（3）證明：由（2）得，則，∴（時(shí)等號(hào)成立），由不等式的性質(zhì)得，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴①，②，由得得，，∴，由不等式的性質(zhì)得，故，令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，∴③④由得，，∴，由不等式的性質(zhì)得，故.18．在數(shù)列中，，且.函數(shù)滿足：的值均為正整數(shù)，其中，數(shù)列.(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若互不相等，且，求的取值范圍；(3)若，求數(shù)列的前2021項(xiàng)的和.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）先求出，再結(jié)合已知即可求出數(shù)列的通項(xiàng)作答.（2）根據(jù)給定條件，按n除以3的余數(shù)情況分類計(jì)算、判斷作答.（3）根據(jù)給定條件，計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，再探討其周期，結(jié)合周期性求解作答.【解析】（1）依題意，，而，則，又，，因此，，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是（2）若，則為3的倍數(shù)，對(duì)一切，，不符合“”的條件；若，，因此對(duì)一切，，不符合“”的條件；若，則，，因此，符合題意，所以的取值范圍是；（3）因?yàn)椋瑒t，于是得，又為3的倍數(shù)，因此總有，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個(gè)取值對(duì)應(yīng)數(shù)列，認(rèn)真分析每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.19．在遞增的等差數(shù)列中，已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接運(yùn)用等差數(shù)列的知識(shí)建立方程求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用遞推式相減即可獲解；（3）借助題設(shè)條件運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法求解.【解析】（1）因?yàn)?，故，故或（舍?，故公差為，故.（2）因?yàn)?，故，故，故，而，符合前者，?（3）,,令,則,兩式相減得,所以,所以.04：數(shù)列的綜合應(yīng)用20．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值．【答案】（1）an=（﹣1）n﹣1?（2）數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列．∴S5+a5﹣（S3+a3）=S4+a4﹣（S5+a5）即4a5=a3，故q2==又∵數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，且等比數(shù)列的首項(xiàng)為∴q=﹣∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=×（﹣）n﹣1=（﹣1）n﹣1?（2）由（1）得Sn=1﹣（﹣）n=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=故0＜≤=﹣=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=故0＞≥=﹣=綜上，對(duì)于n∈N*，總有≤≤故數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為21．已知數(shù)列{an}中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．（I）求，，，；（II）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)和（Ⅲ）記，，求證：．【答案】（I）；；；（II）．（Ⅲ）證明見解析【解析】（I）解：方程的兩個(gè)根為，，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，所以．（II）解：．（III）證明：，所以，．當(dāng)時(shí)，，，同時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，．22．已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，向量=(1,bn)，=(an－1,Sn)，//．（1）若bn=2，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；（2）若，=0.①證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；②設(shè)數(shù)列{cn}滿足，問是否存在正整數(shù)l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得成等比數(shù)列，若存在，求出l、m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）①見解析；②．【解析】試題分析：（1）利用兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系得到Sn=（an-1）bn，進(jìn)一步對(duì)n取值，得到數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（2）①由bn=，則2Sn=nan-n③，又2Sn+1=（n+1）an+1-（n+1）④，兩式相減即可得到數(shù)列{an}的遞推公式，進(jìn)一步對(duì)n取值，得到數(shù)列{an}是首項(xiàng)為-1，公差為1的等差數(shù)列．②由①得到數(shù)列{cn}通項(xiàng)公式，根據(jù)m，l的范圍討論可能的取值．試題解析：（1)因?yàn)?(1,bn)，=(an－1,Sn)，//得Sn=(an?1)bn,當(dāng)bn=2,則Sn=2an?2①，當(dāng)n=1時(shí),S1=2a1?2,即a1=2,又Sn+1=2an+1?2②，②?①得Sn+1?Sn=2an+1?2an，即an+1=2an,又a1=2，所以{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以an=2n.…(4分)(2)①證明：因?yàn)閎n=n2,則2Sn=nan?n③，當(dāng)n=1時(shí),2S1=a1?1,即a1=?1，又2Sn+1=(n+1)an+1?(n+1)④，④?③得2Sn+1?2Sn=(n+1)an+1?nan?1,即(n?1)an+1?nan?1=0⑤，又nan+2?(n+1)an+1?1=0⑥⑥?⑤得,nan+2?2nan+1+nan=0，即an+2+an=2an+1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列②又a1=?1,a2=0，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為?1，公差為1的等差數(shù)列．a(chǎn)n=?1+(n?1)×1=n?2,所以cn=n+1n,…(10分)假設(shè)存在l<m(l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比數(shù)列,即c22=clcm，可得94=l+1l?m+1m,整理得5lm?4l=4m+4即l=4m+45m?4,由4m+45m?4?1,得1?m?8由<m,所以存在=1,m=8符合條件點(diǎn)睛：本題考查了由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用；關(guān)鍵是正確求出{an}通項(xiàng)公式．05：利用數(shù)列證明不等式23．在數(shù)列中，，在數(shù)列中，.(1)求證數(shù)列成等差數(shù)列并求；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）條件等式兩邊取倒數(shù)化簡變形即可；（2）由累乘法求得的通項(xiàng)公式，對(duì)不等式進(jìn)行縮放，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和即可證明.【解析】（1）由知，故，即，數(shù)列成等差數(shù)列，所以，所以；（2）由，得，于是所以，，所以.24．已知數(shù)列滿足，且.(1)若是等比數(shù)列，且，求的值，并寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若是等差數(shù)列，公差，且，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，對(duì)分奇數(shù)偶數(shù)兩種情況討論即可求解；（2）由累乘法求出，由裂項(xiàng)相消法可求得，再利用求出即可證明.【解析】（1）依題意，因?yàn)?，所以，公比，所以，所以，所以的奇?shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別是公比為2的等比數(shù)列，得，故，亦即.（2）由，得，由疊乘得，所以，得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以即，得，?25．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）仿照與的關(guān)系，由求，再求，注意討論是否符合；（2）先裂項(xiàng)求和，再證明不等式.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，相減得當(dāng)時(shí)，符合上式所以.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式.故（2）由（1）知：所以26．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)任意，都有(1)求，的值；(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，令、計(jì)算可得；（2）根據(jù)，作差得到，即可得到，從而得證；（3）由（2）可得，則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證.【解析】（1）解：因?yàn)椋?，可得，解得，令，可得，解?（2）證明：當(dāng)時(shí)，所以，即，所以因?yàn)?，所以所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.（3）證明：由（2）可知，所以所以所以27．已知正數(shù)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)式，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由得，則是等比數(shù)列，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，用裂項(xiàng)相消法求出，即可得出結(jié)論.【解析】（1）由，，得，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所?28．已知數(shù)列滿足，（其中）(1)判斷并證明數(shù)列的單調(diào)性；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用作差法比較大小，即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)遞推式易得且，即，再由可得，應(yīng)用累加法可得，進(jìn)而有，由裂項(xiàng)相消法即可證結(jié)論.【解析】（1）單調(diào)遞減，理由如下：．∵，結(jié)合遞推式易得，∴，故數(shù)列單調(diào)遞減；（2）∵，，，∴，又，故，∵，，∴，則，當(dāng)，累加得，則，故，所以，∴，綜上，有.29．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)數(shù)列是等比數(shù)列，為數(shù)列的公比，且，記，證明：【答案】(1)an=n(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)累加法可得an的通項(xiàng)公式，再利用公式求S（2）利用數(shù)列恒正可得左邊，右邊利用適當(dāng)?shù)姆趴s法即可得出結(jié)果.【解析】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an2?an?12=2n?1累加可得a由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式可得：S（2）由（1）得cn對(duì)于左邊，c1=2對(duì)于右邊，n≥2,c∴k=1綜上：2306：求參數(shù)范圍30．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，對(duì)任意正整數(shù)n，恒成立，試求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；(2)利用錯(cuò)位相減法求和，再分離參變量可得即可求m的取值范圍.【解析】（1）設(shè)公比為，因?yàn)槭牵牡炔钪许?xiàng)，所以，又因?yàn)?，所以解得，所以由可得，整理得解得或（舍），又因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）,,,所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，所以，所以即，因?yàn)?，所以，所?31．記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為.若對(duì)于且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系證得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得；（2）先利用錯(cuò)位相減法求得，再將問題轉(zhuǎn)化為，其中，利用作差法證得，從而得解.【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，又對(duì)于且恒成立，即，等價(jià)于對(duì)于且恒成立，令，則，則有，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則.32．已知數(shù)列滿足，.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）依題意可得，再結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可得，再分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況并結(jié)合裂項(xiàng)求和法討論即可.【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，故?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則．（2）解：由（1）知，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減的，所以．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又是單調(diào)遞增的，因?yàn)?，所以．要使存在，使，只需，即，故的取值范圍是?3．已知數(shù)列滿足：，，，且；等比數(shù)列滿足：，，，且．(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)（），（），(2)【分析】（1）將已知給的式子，通過兩邊同除，然后再進(jìn)行裂項(xiàng)，即可變成的形式，通過累加即可完成的求解，然后在求解，為等比數(shù)列，可設(shè)出公比帶入已知條件，求解出公比即可利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解；（2）利用第（1）問求解出得、的通項(xiàng)公式，使用錯(cuò)位相減的方法求解，然后帶入中，通過討論奇偶即可完成求解.【解析】（1）由兩邊同除得：，

兩邊同除得：，

則，所以

，（）所以，又符合，故（），由得：，解得：，所以（）.（2）∵，∴

①∴

②由①-②得：，

∴.則，由得：，因?yàn)樗援?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.故

所以，即，故的取值范圍是.一、解答題1．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比及首項(xiàng)即可.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由及，得，解得，于是，即，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，所以.2．（2024·貴州貴陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.試求:(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù).【答案】(1)(2)9【分析】（1）由已知結(jié)合和與項(xiàng)的遞推關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用裂項(xiàng)求和求出，然后結(jié)合恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑑墒较鄿p得，，因?yàn)?，所以，所以，均為等差?shù)列，，．所以；（2）由題意得，，所以，因?yàn)?，所以，解得．所以滿足條件的最小整數(shù)為9．3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（是虛數(shù)單位），為an的前項(xiàng)和．(1)求的值；(2)求證：；(3)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式直接求解即可；（2）分為奇數(shù)和為偶數(shù)，求出，從而可求得，然后作差比較與即可；（3）根據(jù)通項(xiàng)公式結(jié)合復(fù)數(shù)的周期求出，然后利用分組并項(xiàng)求和法可求得結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)椋ㄊ翘摂?shù)單位），所以（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．因此無論為奇數(shù)還是偶數(shù)，．，當(dāng)時(shí)，上式大于0．所以，即（3）因?yàn)椋ㄊ翘摂?shù)單位），所以．所以，，所以.4．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2).【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再裂項(xiàng)相消可知，進(jìn)而求解二次不等式即可.【解析】（1）由題可知：，又，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.（2），，且當(dāng)趨于時(shí)，趨近于1，所以由恒成立，可知，解得.5．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．【答案】(1)，．(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)an的公比為，等差數(shù)列bn的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【解析】（1）等比數(shù)列an滿足，，所以an單調(diào)遞增，設(shè)an的公比為，等差數(shù)列bn的公差為，依題意可得，解得或（舍去），所以，．（2）由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．6．（2024·天津南開·二模）已知是等差數(shù)列，公差，，且是與的等比中項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式(2)數(shù)列滿足，且.（?。┣蟮那皀項(xiàng)和.（ⅱ）是否存在正整數(shù)m，n（），使得，，成等差數(shù)列，若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，，．【分析】（1）由等差中項(xiàng)得到，由等比中項(xiàng)得到，解出，求得的通項(xiàng)公式；（2）（?。└鶕?jù)，由累加法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和；（ⅱ）假設(shè)存在，分別