山西省NT20名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省NT20名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴.故選：D.2.命題“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“”的否定是“”.故選：A.3.已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由題意得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為6.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，解得，則.故選：D.5.某企業(yè)在2024年12月對(duì)產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行了技術(shù)改造，采用新技術(shù)后力爭(zhēng)每個(gè)月的產(chǎn)量比上個(gè)月增長(zhǎng)，要使月產(chǎn)量提高到原來(lái)的2倍，至少需要個(gè)月，那么（）（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】可得由題意：由題意可得：.即，兩邊取對(duì)數(shù)，，即，因?yàn)?，故得，因，?即至少要經(jīng)過(guò)8個(gè)月，才能使月產(chǎn)量提高到原來(lái)的2倍.故選：C.6.若函數(shù)在處取得最大值，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí)函數(shù)取得最大值，則，解得.所以，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，，函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.7.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除BD.又當(dāng)時(shí)，，故排除A.故選：C.8.已知函數(shù)，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)任意的，，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上為增函數(shù)，外層函數(shù)為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，，且，因?yàn)?，，則，所以，，同理可得，故，所以，，即，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)滿足，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，等價(jià)于，∵，∴，故，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)滿足，但，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BD.10.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A若，則 B.若，則C.的最大值為 D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，，∴，故A正確；對(duì)于B，若，則，由得，，故，解得，∴，，故，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，即.∴，故D正確.故選：ABD.11.函數(shù)的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如：，稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，在數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，則下列關(guān)于高斯函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的值域?yàn)镃.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，故在R上不是增函數(shù)，且圖象也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，由于，所以，所以函數(shù)的值域是，故B正確；對(duì)于C，，滿足函數(shù)單調(diào)遞增的條件，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，，作出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)在上的值域?yàn)?故其與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.化簡(jiǎn)求值：______.【答案】【解析】.故答案為：.13.若，則______.【答案】或【解析】，故由，得.又，又，則，又，所以.故答案為：.14.高中數(shù)學(xué)必修一教材第87頁(yè)中提到：函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_____，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.【答案】1【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，得為奇函數(shù)，，，則，所以，所以，那么，又，所以.故函數(shù)，因?yàn)樵谏隙际沁f增函數(shù)，所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使，只需，解得或，故m的取值范圍是.故答案為：1；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知全集，不等式的解集是或，集合，若不等式的解集為A.（1）求集合A；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）的解集是或，那么的兩個(gè)根分別為和，那么，所以，不等式，即，即，所以解集為.（2）對(duì)于集合B，①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋敲?，所以；②?dāng)時(shí)，，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，那么，所?綜上可得m的取值范圍是.16.已知函數(shù)的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若，求函數(shù)的值域.解：（1）由題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，那么，所以，所以因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，所以，可得，是函數(shù)的對(duì)稱軸，且取得最小值，那么，所以，又，所以，那么；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，可得的圖象，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，故函數(shù)的值域.17.2024年8月25日，商務(wù)部等四部門(mén)發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步做好家電以舊換新工作的通知》，提出各地要統(tǒng)籌使用中央與地方資金，對(duì)個(gè)人消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)2級(jí)及以上能效或水效標(biāo)準(zhǔn)的空調(diào)等8類家電產(chǎn)品給予以舊換新補(bǔ)貼，國(guó)補(bǔ)政策的出臺(tái)極大地激發(fā)了消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)熱情.為應(yīng)對(duì)產(chǎn)品的消費(fèi)需求，某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本500萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬(wàn)元；當(dāng)年產(chǎn)量不足50千臺(tái)時(shí)，，當(dāng)年產(chǎn)量不小于50千臺(tái)時(shí)，.已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)4000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該廠該型號(hào)的變頻空調(diào)所獲利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn).解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值3550萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值3582萬(wàn)元.因?yàn)?，所以?dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為58千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤(rùn)為3582萬(wàn)元.18.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中k為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）求k的值；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，即，所以，所以（2）由（1）知，設(shè)函數(shù)，設(shè)任意，則，因?yàn)?，所以，那么恒成立，所以在上單調(diào)遞增，那么在上是單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以時(shí)，，所以，若，使得等價(jià)于在上有解，即在上有解，即有解，而在上的值域?yàn)?，則，即a的取值范圍是.19.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾.對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）如果函數(shù)的“穩(wěn)定點(diǎn)”恰是它的“不動(dòng)點(diǎn)”，求m的取值范圍；（3）定義在R上函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，不等式的解集為A，若函數(shù)在A中存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）令，得，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足要求，故函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為和.（2）令，即，即，解得令，得，即，得，所以