遼寧省2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省2025屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一?選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合S中有10個(gè)元素，從S中每次隨機(jī)選取1個(gè)元素，取出后還放回到S中，則取5次后所取出的元素有重復(fù)的概率是（保留兩位有效數(shù)字）（）A.0.50 B.0.55C.0.70 D.前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】C【解析】考慮反面，取5次后沒有重復(fù)元素的概率為，于是所求概率為．故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，則，即復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.3.已知圓與圓有且僅有三條公切線，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓和圓有且僅有三條公切線，兩圓外切，，即，設(shè)，則，，即，，解得：，的取值范圍為.故選：D.4.如圖，已知正四面體（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），，，分別為，，上的點(diǎn)，，，分別記二面角，，的平面角為，，，則（）A.<< B.<<C.<< D.<<【答案】B【解析】設(shè)為三角形中心，過作于，于，于，由平面，得，平面，則平面，又平面，于是是二面角的平面角，因此，同理，，以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖2，不妨設(shè)，則，由，，得，，則直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，于是，，，，，而，，為銳角，所以.故選：B5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足，．設(shè)（非零整數(shù)，），若對(duì)任意，有恒成立，則的值是（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】由，，又，所以，，又，所以，由得（），相減得，，，所以，所以，再相減得，則，而，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差均為1，所以，，對(duì)任意，有恒成立，則恒成立，，即，是奇數(shù)時(shí)，，，∴，為偶數(shù)時(shí)，，，∴，綜上，．又是非零整數(shù)，所以．故選：D.6.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，成等差數(shù)列，則的最小值為（）A.2 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由于，，成等差數(shù)列，則，由正弦定理可得,故,，由于，因此，故，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào).故選：B.7.平面上有兩組互不重合的點(diǎn)，與，，，.則的范圍為（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，由題，有，，.得.則在以為圓心，半徑為1的圓上，則在以為圓心，半徑為2的圓上.又，則如下圖所示，即時(shí)，取最小值為1；如下圖所示，即時(shí)，取最大值為3.則當(dāng)時(shí)，的范圍是，驗(yàn)證選項(xiàng)可排除A，B，C.故選：D8.設(shè)集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（）A.1011 B.1012 C.2022 D.2023【答案】B【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；又因?yàn)闉槠鏀?shù)，為偶數(shù)，且中的任意兩組角都不關(guān)于對(duì)稱，所以的取值各不相同，因此當(dāng)時(shí)集合中的取值會(huì)隨著的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，集合中有1011個(gè)元素；當(dāng)時(shí)，易知又易知，所以可得.即時(shí)的取值與時(shí)的取值相同，根據(jù)集合元素的互異性可知，時(shí)并沒有增加集合中的元素個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，易知，可得當(dāng)時(shí)，集合中的元素個(gè)數(shù)只增加了一個(gè)0，所以可得集合的元素個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.二?選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與軸、軸相切于D、E兩點(diǎn)．設(shè)量角器直徑，圓心為，點(diǎn)為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．下列選項(xiàng)正確的有（）A.點(diǎn)坐標(biāo)為B.C.D.若最小，則【答案】ACD【解析】由題意得，量角器與軸、軸相切于、兩點(diǎn)，且，則，故A正確；由A可知，，則，則，故B錯(cuò)誤；記，則C選項(xiàng)，故C正確；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：ACD.10.下列說法正確的是（）A.，，，則B.在的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的是第5項(xiàng)C.15人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是D.已知函數(shù)在上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區(qū)間【答案】AD【解析】對(duì)于A：令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；由誘導(dǎo)公式得，所以，因此；因?yàn)椋?，故只需比較與的大小，由二項(xiàng)式定理得，，所以．綜上，，故A正確；對(duì)于B：由可得，當(dāng)，,則，其展開式的通項(xiàng)為，令,得,解得；當(dāng),,則，其展開式的通項(xiàng)為，令，得，解得綜上所述：，所以展開式共有7項(xiàng)，所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第4項(xiàng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：個(gè)人圍坐在圓桌旁從中任取人，他們兩兩互不相鄰，則可先把個(gè)人入坐好，再讓其余人插空，共有種不同的圍坐方法，所以所求概率是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為，所以，即.若，此時(shí)能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區(qū)間，故D正確；故選：AD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，對(duì)于數(shù)列，若，下列說法不正確的是（）A.存在的等比數(shù)列，使得為等比數(shù)列B.，均存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列C.，均不存在等比數(shù)列，使得為等差數(shù)列D.若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，且，則的最小值為【答案】ABD【解析】A：若的等比數(shù)列，使，由且，若，則，若，則，則①，不妨令，，則，故，且，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，若，方程①中左式恒大于右式，同理，即，結(jié)論相同，錯(cuò)；B：若存在等差數(shù)列，使得為等差數(shù)列，則且，所以，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，顯然不滿足，錯(cuò)；C：若存在等比數(shù)列且公比為，使得為等差數(shù)列，則，不妨設(shè)，，只需，只需，則，令，則，令，則，且，則在上單調(diào)遞增，又，故都有，令，則，即在上單調(diào)遞增，令，且，則，故在上單調(diào)遞減，則，所以無解，對(duì)；D：若存在等差數(shù)列，使得為等比數(shù)列，令，則，所以，而，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值不為，錯(cuò).故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，，公比q是的展開式中的第二項(xiàng)（按x的降冪排列），且為的前n項(xiàng)和，若，則______.（用含n和x的式子表達(dá)）【答案】【解析】由題設(shè)，可得，故，則，由的展開式通項(xiàng)為，，所以其第二項(xiàng)為，故，且，當(dāng)時(shí)，，則，即，故，所以；當(dāng)時(shí)，，則，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，其極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為，記點(diǎn)，直線交曲線于點(diǎn)，若存在常數(shù)，使得，則______.【答案】【解析】解：由函數(shù)，可得，令，可得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)榛?，所以直線的方程為，即，由，可得，令，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，因?yàn)?，所以有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，其中，這表明方程的解集為，即直線與曲線交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，即，假設(shè)存在常數(shù)，上的，則，所以，代入，可得，設(shè)函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，存在唯一的?shí)數(shù)，使得，此時(shí)，所以存在常數(shù)，上的，且.14.我們規(guī)定：在四面體中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為的一條“內(nèi)棱”，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為“垂棱四面體”，如左圖.如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過的直線與交于兩點(diǎn)，為平面下方一點(diǎn)，若為垂棱四面體，則其外接球表面積是的函數(shù).（1）的定義域是______；（2）的最小值是______.【答案】【解析】如圖，連接，由題知，平行且等于，平行且等于，所以，，故為平行四邊形，所以對(duì)角線，則是的中點(diǎn)，同理也是的中點(diǎn)，故“垂棱四面體”的三條內(nèi)棱交于一點(diǎn)，由三條內(nèi)棱兩兩垂直，易知為菱形，則，顯然，故，同理，所以“垂棱四面體”可補(bǔ)為如下圖示的長(zhǎng)方體，綜上，題設(shè)右圖可將補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，則外接球半徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，為，所以，顯然，，，則，設(shè)，因直線過橢圓焦點(diǎn)，所以，聯(lián)立，得，則，所以，則，又，，，所以則，即，由為某長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，結(jié)合題設(shè)新定義，易知中為銳角，所以只需角為銳角，即，則，可得，由，所以最大時(shí)，最小，令，則，由在上單調(diào)遞增，故，所以.故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，..（1）若平面內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說明理由；（2）在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)Q是（1）中的曲線E在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動(dòng)點(diǎn)，其中G為曲線E和的交點(diǎn),以B為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊交于兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在曲線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求四面體體積的取值范圍.解：（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)與所成的角為，則，所以，設(shè)，則，所以，即，化簡(jiǎn)得，故曲線是平面ABCD內(nèi)的雙曲線；（2）由（1）知：，設(shè)，則，所以直線CD的方程為：，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)得，因?yàn)橹本€CD與雙曲線E交于點(diǎn)C，所以，故，則，則，故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部的區(qū)域滿足，設(shè)為雙曲線的動(dòng)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而要使圓B與AB、BC都有交點(diǎn)，則，故滿足題意的圓的半徑取值范圍是，因?yàn)槠矫鍰MN，所以P-BMN體積為：，故問題可以轉(zhuǎn)化為研究的面積，且，設(shè)，則，所以，則，所以.16.已知為銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，角所對(duì)的邊分別為.（1）求證：；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意角，恒有；（3）求的最小值.（1）證明：因?yàn)?，由，則，故，所以，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即.由為銳角，則，所以有，同理，，所以，.（2）解：由題意，且，則根據(jù)余弦定理可得，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，得，由均為銳角，且，則且，解得，則，令，則，，不等式，即不等式對(duì)任意，恒成立.所以對(duì)任意恒成立，則，化簡(jiǎn)得，則不等式對(duì)任意恒成立，其否定為：存在，使不等式.即存在，成立.即關(guān)于的不等式在有解.由可得，且；，且，且當(dāng)時(shí)，；又，則要使不等式在有解，則，故當(dāng)，或時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）解：在銳角中，，由，則，令，則，故，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令，則，令，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；又，故在有且僅有一個(gè)根，設(shè)為，且，發(fā)現(xiàn)，故，故，由，則，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；故，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值，且最小值.此時(shí)，綜上可得，的最小值為.17.已知函數(shù)與互為反函數(shù)，若A，兩點(diǎn)在曲線上，，兩點(diǎn)在曲線上，以A，，，四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個(gè)矩形為與的.“關(guān)聯(lián)矩形”：（1）若函數(shù)冪函數(shù)，且點(diǎn)在圖象上，設(shè).①求曲線在點(diǎn)處的切線方程；②求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）若函數(shù)，且與的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證明：.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）根據(jù)題意可設(shè)，代入可得，即，則，由反函數(shù)的概念知，所以，則，①易知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，整理得；②令，即，可知時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，，即此時(shí)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)為，沒有極小值點(diǎn)；（2）由得其反函數(shù)為，所以和圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且由其性質(zhì)可知，根據(jù)對(duì)稱性可設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，則，設(shè)，其中，則，，因?yàn)椤瓣P(guān)聯(lián)矩形”是正方形，所以，，所以，由，得，所以，所以由得即.對(duì)于函數(shù)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故即，令，則且，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，從而.18.一般地，若兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)都在x軸或y軸上，長(zhǎng)軸相等，其中一個(gè)橢圓的短半軸長(zhǎng)與另一個(gè)橢圓的焦距長(zhǎng)相等，則稱兩個(gè)橢圓為相關(guān)橢圓.已知橢圓，拋物線與有一個(gè)相同的焦點(diǎn)F.過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l與，直線l與交于點(diǎn)G、B，直線與交于點(diǎn)C、D.（1）求該橢圓的相關(guān)橢圓方程及拋物線的方程（2）四邊形GCBD的面積是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）過橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)M，與軸交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為MA的中點(diǎn).若軸上存在點(diǎn)，對(duì)于任意的，都有（為原點(diǎn)），若，求的值.解：（1）橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，設(shè)橢圓方程為，，若橢圓的短半軸長(zhǎng)與的焦距長(zhǎng)相等，即，此時(shí)不合要求，若橢圓的短半軸長(zhǎng)與橢圓的焦距長(zhǎng)相等，即，解得，滿足要求，故橢圓方程為；橢圓的焦點(diǎn)為，故，解得，故；（2）顯然當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，故直線的斜率不為0，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線為，中，令得，故，此時(shí)，，設(shè)四邊形GCBD的面積為，，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，則，故，故，直線，與橢圓聯(lián)立得，恒成立，設(shè)，則，由弦長(zhǎng)公式得，設(shè)四邊形GCBD的面積為，，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，故四邊形GCBD的面積存在最小值，最小值為8.（3）由題意得，故直線，聯(lián)立得，設(shè)，則，故，，故，，中，令得，故，，又，設(shè)，故，解得，所以，由得，即，，即，其中，，故，解得，故的值為