高考數(shù)學重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第07講三角恒等變換與解三角形(3大考點+強化訓練)(原卷版+解析)

第07講三角恒等變換與解三角形（3大考點+強化訓練）[考情分析]1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．知識導圖考點分類講解考點一：三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考點二：正弦定理、余弦定理及綜合應用1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1：正弦定理、余弦定理一、單選題1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．2．在ABC中，．則A的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）3．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=（）A． B． C．2 D．34．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=（）A． B． C． D．5．在中，,BC=1,AC=5，則AB=（）A． B． C． D．二、多選題6．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．7．三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（

）A． B．若面積為，則周長的最小值為12C．當，時， D．若，，則面積為三、填空題8．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，．四、解答題9．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．考向2:解三角形中的最值與范圍問題規(guī)律方法解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．一、解答題1．（2023·河南開封·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面積為，求的周長.2．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.3．已知中，角所對的邊分別為，且.(1)求角A的大小；(2)若，求面積的最大值以及周長的最大值.4．（2023·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．考點三:解三角形的實際應用解三角形應用題的?？碱愋?1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．規(guī)律方法解三角形實際問題的步驟①需要測量的數(shù)據(jù)有：點到，點的俯角；點到，的俯角；，的距離……….②第一步：計算.由正弦定理；第二步：計算.由正弦定理；第三步：計算.由余弦定理一、解答題1．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口在的東偏北的方向（兩點之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠，計劃在之間設置一個服務區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時的值；(2)若在市中心的距離為，此時在的平分線與的交點位置，且滿足，求到市中心的最大距離．2．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為1260，經(jīng)測量，．（1）求索道的長；（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？3．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.強化訓練一、單選題1．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．4732．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．3．若，，且，，則的值是（

）A． B．C．或 D．或4．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．5．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．6．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC等于（）A． B． C． D．7．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．8．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）

A． B． C．1s D．二、多選題9．（2023·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，在棱長為1的正方體中，Q是棱上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點Q，使得B．存在點Q，使得C．對于任意點Q，Q到的距離的取值范圍為D．對于任意點Q，都是鈍角三角形10．（2024·四川成都·模擬預測）已知中，，．下列說法中正確的是（

）A．若是鈍角三角形，則B．若是銳角三角形，則C．的最大值是D．的最小值是11．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（

）

A．觀測點位于處的北偏東方向B．當天10：00時，該船到觀測點的距離為C．當船行駛至處時，該船到觀測點的距離為D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了三、填空題12．（2024·北京平谷·模擬預測）若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．13．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在上，為坐標原點，且滿足，則外接圓的半徑為.14．（2024高三·江蘇·專題練習）的內(nèi)角所對邊分別為，點O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，，若為銳角三角形，則AC的取值范圍為.四、解答題15．（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）在凸四邊形中，記，四邊形的面積為S．已知．(1)證明：；(2)設，證明：；(3)若，求四邊形面積的最大值．16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)在上的值域；(2)在中，內(nèi)角的對邊分別為為的平分線，若的最小正周期是，求的面積．17．（2024·福建廈門·二模）定義：如果三角形的一個內(nèi)角恰好是另一個內(nèi)角的兩倍，那么這個三角形叫做倍角三角形.如圖，的面積為，三個內(nèi)角所對的邊分別為，且.(1)證明：是倍角三角形；(2)若，當取最大值時，求.18．（23-24高三下·天津·開學考試）在△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△的面積為.(1)求；(2)若，求；(3)求的值.19．（2024高三·江蘇·專題練習）中，角的對邊分別為，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為，求的取值范圍.第07講三角恒等變換與解三角形（3大考點+強化訓練）[考情分析]1.三角恒等變換主要考查化簡、求值，解三角形主要考查求邊長、角度、面積等，三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與三角形相結(jié)合考查求解最值、范圍問題.2.三角恒等變換以選擇題、填空題為主，解三角形以解答題為主，中等難度．知識導圖考點分類講解考點一：三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).規(guī)律方法三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．考點二：正弦定理、余弦定理及綜合應用1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.考向1：正弦定理、余弦定理一、單選題1．（2023·全國·高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得，利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

2．在ABC中，．則A的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）【答案】C【詳解】試題分析：由于，根據(jù)正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點：三角形中正余弦定理的運用.3．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知，，，則b=（）A． B． C．2 D．3【答案】D【詳解】由余弦定理得，解得（舍去），故選D.【考點】余弦定理【名師點睛】本題屬于基礎題,考查內(nèi)容單一,根據(jù)余弦定理整理出關(guān)于b的一元二次方程,再通過解方程求b.運算失誤是基礎題失分的主要原因,請考生切記！4．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)誘導公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.5．在中，,BC=1,AC=5，則AB=（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB.詳解：因為所以，選A.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.二、多選題6．（2022·全國·高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.7．三角形的三邊所對的角為，，則下列說法正確的是（

）A． B．若面積為，則周長的最小值為12C．當，時， D．若，，則面積為【答案】ABD【分析】由題意可得，選項A：利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求角的大??；選項B：由三角形面積和角可得，利用均值不等式求周長最小值即可；選項C：利用邊角互化后得到的解即可；選項D：利用正弦定理求，然后后面積公式求解即可.【詳解】因為，由題意可得，整理得，由正弦定理邊角互化得，又由余弦定理得，所以，A正確；當時，，所以，當且僅當時等號成立，所以，即，所以，B正確；由當，時，，解得，C錯誤；由，得，由正弦定理得解得，又因為，所以，D正確；故選：ABD.三、填空題8．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，．【答案】/【分析】設，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.四、解答題9．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.考向2:解三角形中的最值與范圍問題規(guī)律方法解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．一、解答題1．（2023·河南開封·一模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知條件由正弦定理得，可求；（2）由的面積得，余弦定理求，可得的周長.【詳解】（1）由正弦定理得，則.（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長為.2．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換化簡已知條件，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）利用余弦定理求得，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得的取值范圍.【詳解】（1）令，則所以，單調(diào)減區(qū)間是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，則，，，所以.3．已知中，角所對的邊分別為，且.(1)求角A的大??；(2)若，求面積的最大值以及周長的最大值.【答案】(1)(2)面積的最大值為，周長的最大值為【分析】（1）利用正弦定理角化邊再結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）由題意利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，利用三角形面積公式可得面積的最大值；再用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，即可求得三角形周長的最大值.【詳解】（1）依題意得，，由正弦定理，得，所以，因為，所以.（2）由得，，即，當且僅當時，等號成立，所以的面積，所以面積的最大值為.又，所以，當且僅當時，等號成立，故的周長為，故周長的最大值為.4．（2023·湖南長沙·一模）在銳角中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長的取值范圍.【詳解】（1），由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因為，所以；（2）銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因為銳角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長的取值范圍是.【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值考點三:解三角形的實際應用解三角形應用題的常考類型(1)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)實際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．規(guī)律方法解三角形實際問題的步驟①需要測量的數(shù)據(jù)有：點到，點的俯角；點到，的俯角；，的距離……….②第一步：計算.由正弦定理；第二步：計算.由正弦定理；第三步：計算.由余弦定理一、解答題1．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口在的東偏北的方向（兩點之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠，計劃在之間設置一個服務區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小時的值；(2)若在市中心的距離為，此時在的平分線與的交點位置，且滿足，求到市中心的最大距離．【答案】(1)，(2)20【分析】（1）利用正弦定理，將分別用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化簡得到，再根據(jù)三角形面積公式列方程得到與的函數(shù)關(guān)系，由函數(shù)單調(diào)性求得的最大值.【詳解】（1）設，在中，在中，由正弦定理得當且僅當，即時取到等號到市中心的距離和最小時，．（2），，即，又即當時，2．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下上至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為1260，經(jīng)測量，．（1）求索道的長；（2）問：乙出發(fā)多少后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）m（2）（3）（單位：m/min）【詳解】（1）在中，因為，，所以，，從而．由正弦定理，得（）．（2）假設乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，此時，甲行走了，乙距離處，所以由余弦定理得，由于，即，故當時，甲、乙兩游客距離最短．（3）由正弦定理，得（）．乙從出發(fā)時，甲已走了（），還需走710才能到達．設乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在（單位：）范圍內(nèi)．考點：正弦、余弦定理在實際問題中的應用.【方法點睛】本題主要考查了正弦、余弦定理在實際問題中的應用，考查了考生分析問題和利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.解答應用問題，首先要讀懂題意，設出變量建立題目中的各個量與變量的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系求解.本題解得時，利用正余弦定理建立各邊長的關(guān)系，通過二次函數(shù)和解不等式求解，充分體現(xiàn)了數(shù)學在實際問題中的應用.3．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.【答案】見解析【詳解】要求長度，需要測量的數(shù)據(jù)有：點到，點的俯角，最后通過正弦定理得到最終結(jié)果.強化訓練一、單選題1．（2021·全國·高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，．由C點測得B點的仰角為，與的差為100；由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案．【詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【點睛】本題關(guān)鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為．2．（2021·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.3．若，，且，，則的值是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】先計算和的取值范圍，根據(jù)取值范圍解出和的值，再利用求解的值.【詳解】∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換中和差角公式的運用，難度一般.解答時，要注意三角函數(shù)值的正負問題，注意目標式與條件式角度之間的關(guān)系，然后通過和差角公式求解.4．如圖，在中，，點D在線段BC上，且，，則的面積的最大值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】設，則，根據(jù)三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．【詳解】解：設，則．，，，，，同理，其中，，當時，，．故選：C．【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．5．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：設,故選C.考點：解三角形.6．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，所以.故選C.7．已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案．【詳解】，．，又，，又，，故選B．【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．8．（22-23高三上·江蘇南京·階段練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移和時間的函數(shù)關(guān)系為，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達同一位置的時間分別為，，，且，，則在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為（

）

A． B． C．1s D．【答案】C【分析】先根據(jù)周期求出，再解不等式，得到的范圍即得解.【詳解】因為，，，所以，又，所以，則，由可得，所以，，所以，，故，所以在一個周期內(nèi)阻尼器離開平衡位置的位移大于0.5m的總時間為1s.故選：C.二、多選題9．（2023·海南?？凇ひ荒＃┤鐖D，在棱長為1的正方體中，Q是棱上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點Q，使得B．存在點Q，使得C．對于任意點Q，Q到的距離的取值范圍為D．對于任意點Q，都是鈍角三角形【答案】ABC【分析】證明直線與是異面直線判斷A，當與重合時，可判斷BD，設（），計算出的面積的最大值和最小值后從而可得Q到的距離的最小值和最大值，從而判斷C．【詳解】由平面，平面，，平面，∴直線與是異面直線，A正確；平面，平面，則，又，與是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面，又平面，所以，即當與重合時，，B正確，此時是直角三角形，D錯；設（），，，，，，所以，，所以時，，或1時，，所以的最大值是，最小值是，記到的距離為，，因此的最大值是，的最小值是，C正確．故選：ABC．

10．（2024·四川成都·模擬預測）已知中，，．下列說法中正確的是（

）A．若是鈍角三角形，則B．若是銳角三角形，則C．的最大值是D．的最小值是【答案】BC【分析】根據(jù)為鈍角時即可判斷A，根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷BCD.【詳解】對于A,若為鈍角，則,故，A錯誤，對于B,由正弦定理可得，由于是銳角三角形，所以且，故，故，進而，故B正確，對于C,,由于，所以時，取最大值，故最大值為，C正確，對于D，由正弦定理可得當時，，故D錯誤，故選：BC11．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在海面上有兩個觀測點在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時測得分鐘后該船行駛至處，此時測得，則（

）

A．觀測點位于處的北偏東方向B．當天10：00時，該船到觀測點的距離為C．當船行駛至處時，該船到觀測點的距離為D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了【答案】ACD【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項中，,，因為在D的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.B選項中，在中，，，則,又因為，所以km,故B錯誤.C選項中，在中，由余弦定理，得，即km，故C正確.D選項中，在中，，，則.由正弦定理，得AC=km，故D正確.故選：ACD．三、填空題12．（2024·北京平谷·模擬預測）若的面積為，且為鈍角，則；的取值范圍是．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，可求出；再根據(jù)為鈍角限定出，利用正弦定理可得，可得其范圍是.【詳解】根據(jù)題意可得面積，可得，即，又易知為銳角，可得；由正弦定理可得，因為為鈍角，可得，所以；可得，因此；故答案為：；；13．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在上，為坐標原點，且滿足，則外接圓的半徑為.【答案】【分析】根據(jù)題意得出拋物線的焦點坐標和點，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題可得，由，可得點的橫坐標為，所以，所以，設外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，所以外接圓的半徑為.故答案為：.14．（2024高三·江蘇·專題練習）的內(nèi)角所對邊分別為，點O為的內(nèi)心，記△OBC，的面積分別為，，，已知，，若為銳角三角形，則AC的取值范圍為.【答案】【分析】首先根據(jù)得到，由余弦定理可得，再結(jié)合正弦定理以及銳角三角形的條件求AC的取值范圍即可.【詳解】設的內(nèi)切圓半徑為r，因為，所以，化簡得：，所以，因為，所以，所以，因為，所以，因為為銳角三角形，所以，，解得：，所以，所以AC的取值范圍為．故答案為：四、解答題15．（23-24高三下·浙江麗水·開學考試）在凸四邊形中，記，四邊形的面積為S．已知．(1)證明：；(2)設，證明：；(3)若，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分