高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型(2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過(guò)閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題規(guī)律方法概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項(xiàng)公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．【例1】（2024·山東菏澤·一模）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·晉中模擬)晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀(如王家大院，常家莊園等)，也有風(fēng)景秀麗的自然景觀(如介休綿山，石膏山等)．某旅行團(tuán)帶游客來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽．若每位游客選擇人文景觀的概率是eq\f(2,3)，選擇自然景觀的概率為eq\f(1,3)，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X，求X的均值與方差；(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為n分的概率為Pn，求Pn.【變式3】(2023·邯鄲模擬)某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大賽．比賽共設(shè)置n道題，參加比賽的選手從第一題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為p(0<p<1)，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為X，當(dāng)n＝3時(shí)，若E(X)>1.75，求p的取值范圍；(2)①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為Y，求E(Y)；②當(dāng)p＝eq\f(5,6)時(shí)，求使E(Y)>4的n的最小值．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477.考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題規(guī)律方法構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制．【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的最小值為．【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立．已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：等級(jí)一等二等三等利潤(rùn)(萬(wàn)元/每件)0.80.6－0.3(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)ξ(萬(wàn)元)的均值；(3)若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件，其成本也將相應(yīng)提升n－lnn(萬(wàn)元)，假如你作為工廠決策者，你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由．(ln2≈0.69，ln3≈1.1)強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1．（23-24高三上·江西宜春·階段練習(xí)）從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)組的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11，12，14時(shí)，；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7，8，9時(shí)，.則的值約為（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.532．（22-23高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，下列說(shuō)法正確的是（

）A．2次傳球后球在丙手上的概率是 B．3次傳球后球在乙手上的概率是C．3次傳球后球在甲手上的概率是 D．n次傳球后球在甲手上的概率是3．（2023·河北唐山·二模）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為a，第二次得到的點(diǎn)數(shù)為b，則函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．4．（22-23高二下·四川眉山·階段練習(xí)）先后任意地拋一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，所得點(diǎn)分別記為和，則函數(shù)存在極值的概率為（）A． B． C． D．5．（22-23高三·寧夏吳忠·階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)的最小值為，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·貴州銅仁·期末）已知p，q是方程的根，則函數(shù)在上是遞增函數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．7．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則“在函數(shù)的定義域?yàn)镽的條件下，滿足函數(shù)為偶函數(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．8．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．，B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望多選題1．（23-24高三上·重慶渝中·期中）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍智蛉税亚騻鹘o另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱傳球一次．若傳球開始時(shí)甲持球，記傳球次后球仍回到甲手里的概率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（22-23高二下·河南許昌·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A．公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有種.B．兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是；C．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.D．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則；3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）日常生活中植物壽命的統(tǒng)計(jì)規(guī)律常體現(xiàn)出分布的無(wú)記憶性.假設(shè)在一定的培養(yǎng)環(huán)境下，一種植物的壽命是取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿足如下規(guī)律：對(duì)任意正整數(shù)，壽命恰好為的植物在所有壽命不小于的植物中的占比為.記“一株植物的壽命為”為事件，“一株植物的壽命不小于”為事件.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．設(shè)，則為等比數(shù)列D．設(shè)，則三、填空題1．（2023·江蘇南京·二模）一個(gè)袋子中有個(gè)紅球和5個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球．若“摸出的兩個(gè)球顏色不相同”發(fā)生的概率記為，則的最大值為．2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知n個(gè)人獨(dú)立解決某問(wèn)題的概率均為，且互不影響，現(xiàn)將這n個(gè)人分在一組，若解決這個(gè)問(wèn)題概率超過(guò)，則n的最小值是解答題1.（2024·遼寧·一模）近年來(lái)，某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò).若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)3且，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.2．（2023·上海長(zhǎng)寧·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)從集合中任取3個(gè)元素，記這3個(gè)元素能成等差數(shù)列為事件，求事件發(fā)生的概率.3．（23-24高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）假設(shè)市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無(wú)關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為，陰天的概率為；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為，陰天的概率為；若前一天為陰天，則第二天晴天的概率為，下雨的概率為；已知市4月第1天的天氣情況為下雨.(1)求市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；(2)記為市四月第天的天氣情況為晴天的概率，（i）求出的通項(xiàng)公式；（ii）市某花卉種植基地計(jì)劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生長(zhǎng)，要求提前3天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問(wèn)，根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你對(duì)該基地的種植計(jì)劃提出建議.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.(1)求(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.5．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮?，所以沒(méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.(1)若，求；(2)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（?。?．(2023·石家莊模擬)國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次次．為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次．假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立．(1)若m＝0.4，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，當(dāng)k取何值時(shí)，X的均值最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；(2)若m＝0.8，設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用為5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用為k＋4元．求當(dāng)k取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用．參考數(shù)據(jù)及公式：eq\r(10)≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．7．(2023·廣州模擬)隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來(lái)越激烈，5G手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家．某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣．(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(i∈N*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i＋2，抽中的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè)．若某次抽獎(jiǎng)，剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束．參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中．①求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率；②求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和均值；(2)由于該活動(dòng)方案在公司內(nèi)部的測(cè)試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣．報(bào)名參加第一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有20萬(wàn)用戶，該公司設(shè)置了第i(i∈N*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為pi＝eq\f(9＋－1i,40)，每次中獎(jiǎng)的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎(jiǎng)活動(dòng)共進(jìn)行2n(n∈N*)次．已知用戶丙參加了第一次抽獎(jiǎng)，并在這2n次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的均值小于eq\f(9,2).培優(yōu)點(diǎn)06概率與統(tǒng)計(jì)的創(chuàng)新題型（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題在近幾年的高考中背景取自現(xiàn)實(shí)，題型新穎，綜合性增強(qiáng)，難度加深，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)據(jù)分析能力．要從已知數(shù)表、題干信息中經(jīng)過(guò)閱讀分析判斷獲取關(guān)鍵信息，搞清各數(shù)據(jù)、各事件間的關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型求解．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：概率和數(shù)列的綜合問(wèn)題規(guī)律方法概率問(wèn)題與數(shù)列的交匯，綜合性較強(qiáng)，主要有以下類型：(1)求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或均值E(Xn)的遞推關(guān)系式，然后根據(jù)構(gòu)造法(一般構(gòu)造等比數(shù)列)，求出通項(xiàng)公式．(2)求和：主要是數(shù)列中的倒序相加法求和、錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和．(3)利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或求極限．【例1】（2024·山東菏澤·一模）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分類討論及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再利用組合數(shù)公式和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可求解.【詳解】為奇數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，，，故A錯(cuò)誤；為偶數(shù)時(shí)，前項(xiàng)中有個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，即有個(gè)正數(shù)，，，，故B錯(cuò)誤；，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)分類討論，利用組合數(shù)和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可.【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)得到數(shù)列遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因?yàn)榛卮鸬陬}時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，所以，由題意知，則，所以是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，所以，即.顯然數(shù)列遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：D.【變式2】(2023·晉中模擬)晉中市是晉商文化的發(fā)源地，且擁有豐富的旅游資源，其中有保存完好的大院人文景觀(如王家大院，常家莊園等)，也有風(fēng)景秀麗的自然景觀(如介休綿山，石膏山等)．某旅行團(tuán)帶游客來(lái)晉中旅游，游客可自由選擇人文景觀和自然景觀中的一處游覽．若每位游客選擇人文景觀的概率是eq\f(2,3)，選擇自然景觀的概率為eq\f(1,3)，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立．(1)從游客中隨機(jī)選取5人，記5人中選擇人文景觀的人數(shù)為X，求X的均值與方差；(2)現(xiàn)對(duì)游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若選擇人文景觀記2分，選擇自然景觀記1分，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分為n分的概率為Pn，求Pn.【解析】(1)由題可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))(或者列出分布列)，于是E(X)＝5×eq\f(2,3)＝eq\f(10,3)，D(X)＝5×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(10,9).(2)方法一由題可知P1＝eq\f(1,3)，P2＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,9).當(dāng)n≥3時(shí)，Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，即Pn＋eq\f(2,3)Pn－1＝Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn＋\f(2,3)Pn－1))為常數(shù)數(shù)列，且Pn＋eq\f(2,3)Pn－1＝P2＋eq\f(2,3)P1＝eq\f(7,9)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝1(n≥2)，∴Pn－eq\f(3,5)＝－eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(3,5)))，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,5)))是以P1－eq\f(3,5)＝－eq\f(4,15)為首項(xiàng)，－eq\f(2,3)為公比的等比數(shù)列，∴Pn－eq\f(3,5)＝－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1.方法二由題可知P1＝eq\f(1,3)，P2＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(7,9).當(dāng)n≥3時(shí)，Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(2,3)Pn－2，即Pn－Pn－1＝－eq\f(2,3)(Pn－1－Pn－2)，∴{Pn－Pn－1}是以P2－P1＝eq\f(4,9)為首項(xiàng)，－eq\f(2,3)為公比的等比數(shù)列，∴Pn－Pn－1＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－2(n≥2)，Pn－1－Pn－2＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－3，……P2－P1＝eq\f(4,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))0，以上各式相加得Pn－P1＝eq\f(4,9)×eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝eq\f(4,15)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1，又P1＝eq\f(1,3)也滿足上式，∴Pn＝eq\f(3,5)－eq\f(4,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))n－1.【變式3】(2023·邯鄲模擬)某市為了讓廣大市民更好地了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大賽．比賽共設(shè)置n道題，參加比賽的選手從第一題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為p(0<p<1)，各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為X，當(dāng)n＝3時(shí)，若E(X)>1.75，求p的取值范圍；(2)①記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)題的個(gè)數(shù)為Y，求E(Y)；②當(dāng)p＝eq\f(5,6)時(shí)，求使E(Y)>4的n的最小值．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477.解(1)根據(jù)題意，X的所有可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝p2，所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，由E(X)＝p2＋p＋1>1.75得p>eq\f(1,2)，又0<p<1，所以p的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)①P(Y＝k)＝pk(1－p)，其中k＝0,1,2，…，n－1，P(Y＝n)＝pn.方法一Y的均值E(Y)＝p(1－p)＋2p2(1－p)＋…＋(n－1)pn－1(1－p)＋npn＝(1－p)[p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1]＋npn，設(shè)Sn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1，利用錯(cuò)位相減可得(1－p)Sn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn，所以E(Y)＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn＋npn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn＝eq\f(p－pn＋1,1－p).方法二E(Y)＝(p－p2)＋(2p2－2p3)＋(3p3－3p4)＋…＋[(n－1)pn－1－(n－1)pn]＋npn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn＝eq\f(p－pn＋1,1－p).②依題意，eq\f(\f(5,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))n＋1,1－\f(5,6))>4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))n＋1<eq\f(1,6)，即n＋1>＝eq\f(lg6,lg6－lg5)＝eq\f(lg2＋lg3,2lg2＋lg3－1)≈9.848，所以n>8.848，又n∈N*，故n的最小值為9.考點(diǎn)二:概率和函數(shù)的綜合問(wèn)題規(guī)律方法構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)，要注意變量的選取，以及變量自身的隱含條件對(duì)變量范圍的限制．【例2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，，，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則的最小值為．【答案】/0.2【分析】賦值法求出，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷，確定結(jié)合等差數(shù)列求和公式得，將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距的平方進(jìn)而求解.【詳解】令可得，，，設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．則故對(duì)任意的，故，故，即，則的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，最小值即點(diǎn)到的距離的平方，與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)最值及點(diǎn)點(diǎn)距的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出，進(jìn)而確定.【變式1】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識(shí)競(jìng)賽，已知甲同學(xué)答對(duì)第一題的概率為，從第二題開始，若甲同學(xué)前一題答錯(cuò)，則此題答對(duì)的概率為；若前一題答對(duì)，則此題答對(duì)的概率為.記甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率為，當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出甲同學(xué)回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，構(gòu)造得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)得到數(shù)列遞減，由函數(shù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因?yàn)榛卮鸬陬}時(shí)有答對(duì)、答錯(cuò)兩種情況，則回答第題時(shí)答錯(cuò)的概率，所以，由題意知，則，所以是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，所以，即.顯然數(shù)列遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：D.【變式2】(2023·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)某公司生產(chǎn)一種大件產(chǎn)品的日產(chǎn)為2件，每件產(chǎn)品質(zhì)量為一等的概率為0.5，二等的概率為0.4，若達(dá)不到一、二等，則為不合格，且生產(chǎn)兩件產(chǎn)品品質(zhì)結(jié)果相互獨(dú)立．已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如下表：等級(jí)一等二等三等利潤(rùn)(萬(wàn)元/每件)0.80.6－0.3(1)求生產(chǎn)兩件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率；(2)求該公司每天所獲利潤(rùn)ξ(萬(wàn)元)的均值；(3)若該工廠要增加日產(chǎn)量，需引入設(shè)備及更新技術(shù)，但增加n件，其成本也將相應(yīng)提升n－lnn(萬(wàn)元)，假如你作為工廠決策者，你覺(jué)得該廠目前該不該增產(chǎn)？請(qǐng)回答，并說(shuō)明理由．(ln2≈0.69，ln3≈1.1)【解析】(1)設(shè)一件產(chǎn)品是一等品為事件A，則一件產(chǎn)品不是一等品為事件eq\x\to(A)，P(A)＝0.5，P(eq\x\to(A))＝0.5,2件產(chǎn)品至少有一件為一等品事件為AA＋Aeq\x\to(A)＋eq\x\to(A)A，其概率P＝P(AA)＋Ceq\o\al(1,2)P(A)P(eq\x\to(A))＝0.52＋2×0.5×0.5＝0.75.(2)設(shè)一件產(chǎn)品為一等品為事件A，二等品為事件B，次品為事件C，則P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，P(C)＝0.1，則ξ的所有可能取值為1.6,1.4,1.2,0.5,0.3，－0.6，P(ξ＝－0.6)＝[P(C)]2＝0.01，P(ξ＝0.3)＝Ceq\o\al(1,2)P(B)P(C)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(ξ＝0.5)＝Ceq\o\al(1,2)P(A)P(C)＝2×0.5×0.1＝0.1，P(ξ＝1.2)＝[P(B)]2＝0.16，P(ξ＝1.4)＝Ceq\o\al(1,2)P(A)P(B)＝2×0.5×0.4＝0.4，P(ξ＝1.6)＝[P(A)]2＝0.25，則ξ的分布列為ξ－0.60.30.51.21.41.6P0.010.080.10.160.40.25E(ξ)＝－0.6×0.01＋0.3×0.08＋0.5×0.1＋1.2×0.16＋1.4×0.4＋1.6×0.25＝1.22.(3)由(2)可知，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為1.22÷2＝0.61(萬(wàn)元)，則增加n件產(chǎn)品，利潤(rùn)增加為0.61n萬(wàn)元，成本也相應(yīng)提高(n－lnn)萬(wàn)元，所以凈利潤(rùn)為0.61n－n＋lnn＝lnn－0.39n，n∈N*，設(shè)f(x)＝lnx－0.39x，則f′(x)＝eq\f(1,x)－0.39，當(dāng)x<eq\f(100,39)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>eq\f(100,39)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝eq\f(100,39)時(shí)，f(x)取得最大值，又2<eq\f(100,39)<3，因?yàn)閤只能取整數(shù)，所以x＝2或x＝3，此時(shí)f(x)可能為最大值，f(2)＝ln2－0.39×2≈0.69－0.78＝－0.09<0，f(3)＝ln3－3×0.39≈1.1－1.17＝－0.07<0，即在f(x)取得最大值時(shí)也是虧本的，所以不應(yīng)該增加產(chǎn)量．強(qiáng)化訓(xùn)練選擇題1．（23-24高三上·江西宜春·階段練習(xí)）從1-20中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，記隨機(jī)變量為這3個(gè)數(shù)中相鄰數(shù)組的個(gè)數(shù).如當(dāng)這三個(gè)數(shù)為11，12，14時(shí)，；當(dāng)這三個(gè)數(shù)為7，8，9時(shí)，.則的值約為（

）A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53【答案】B【分析】確定隨機(jī)變量的取值為0，1，2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出概率，即可計(jì)算出期望.【詳解】隨機(jī)變量的取值為0，1，2，當(dāng)時(shí)，所取的三個(gè)數(shù)中僅兩個(gè)數(shù)相鄰，兩數(shù)相鄰有19種情況，其中相鄰兩數(shù)取1，2和19，20時(shí)，對(duì)應(yīng)取法為17種，其余17種情況取法均有16種，，當(dāng)時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)中兩兩相鄰，取法有18種，，所以當(dāng)時(shí)，即所取的三個(gè)數(shù)彼此不相鄰，取法有種，，.故選：B.2．（22-23高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，下列說(shuō)法正確的是（

）A．2次傳球后球在丙手上的概率是 B．3次傳球后球在乙手上的概率是C．3次傳球后球在甲手上的概率是 D．n次傳球后球在甲手上的概率是【答案】C【分析】列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概率公式計(jì)算作答可判斷ABC，n次傳球后球在甲手上的事件即為，則有，利用全概率公式可得，再構(gòu)造等比數(shù)列求解即可判斷D.【詳解】第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個(gè)結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個(gè)結(jié)果，所以概率是，故A錯(cuò)誤；第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個(gè)結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個(gè)結(jié)果，所以概率為，故B錯(cuò)誤；3次傳球后球在甲手上的事件為：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2個(gè)結(jié)果，所以概率為，故C正確；次傳球后球在甲手上的事件記為，則有，令，則，于是得，故，則，而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即，則有，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以即，故D錯(cuò)誤.故選：C3．（2023·河北唐山·二模）拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為a，第二次得到的點(diǎn)數(shù)為b，則函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的，再列舉符合條件的基本事件,得出概率結(jié)果.【詳解】，若沒(méi)有極值點(diǎn)，則，即．由題意知，所有的基本事件為36個(gè)，其中滿足的有，，，，，，，，，共有9個(gè)，所以．故選：A.4．（22-23高二下·四川眉山·階段練習(xí)）先后任意地拋一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次，所得點(diǎn)分別記為和，則函數(shù)存在極值的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)存在極值，得，用列舉法計(jì)算出滿足條件的情況，即可得到本題答案.【詳解】由題意得：，若在上存在極值點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，，即，當(dāng)時(shí)，共4種，當(dāng)時(shí)，共4種，當(dāng)時(shí)，共3種，當(dāng)時(shí)，共2種，當(dāng)時(shí)，共2種，當(dāng)時(shí)，共2種，滿足條件的共有種情況，總情況有36種，所以函數(shù)在上存在極值點(diǎn)的概率.故選：B5．（22-23高三·寧夏吳忠·階段練習(xí)）設(shè)，若函數(shù)的最小值為，是從六個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，那么恒成立的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求得時(shí)的，結(jié)合時(shí)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合的單調(diào)性和可求得的范圍，從而確定的取值；列舉出所有基本事件和滿足題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，不合題意；若，，則最小值為；若，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，，則若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上遞增，此時(shí)的最小值為；，，則；設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又，的解為；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，又，或；設(shè)事件：“恒成立”，所有取值構(gòu)成的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，共個(gè)；.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與概率的綜合應(yīng)用問(wèn)題；解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類討論的方式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得的單調(diào)性，從而利用最小值來(lái)構(gòu)造不等式求得的值，進(jìn)而采用列舉法來(lái)求得所求概率.6．（22-23高三上·貴州銅仁·期末）已知p，q是方程的根，則函數(shù)在上是遞增函數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出方程的解集，得出p，q的所有取值，再得到所求事件所需條件的p，q取值，即可得到所求事件的概率.【詳解】因?yàn)榉匠痰母募蠟?，所以有．記事件A為“函數(shù)在上是遞增函數(shù)”．對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得．由題意，知在上恒成立，有，且．當(dāng)時(shí)，有，所以p可以取到1，2，3，4這4個(gè)值；當(dāng)時(shí)，有，所以p可以取到2，3，4這3個(gè)值；當(dāng)時(shí)，有，所以p可以取到3，4這2個(gè)值；當(dāng)時(shí)，有，所以p的值不存在．綜合以上，事件A包含的基本事件共有種．因?yàn)?，所以所有的基本事件共有種．則所求事件的概率為．故選：D．7．（22-23高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，則“在函數(shù)的定義域?yàn)镽的條件下，滿足函數(shù)為偶函數(shù)”的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記函數(shù)的定義域?yàn)镽為事件A，求得，記函數(shù)為偶函數(shù)為事件B，求得，再利用條件概率公式求解即可.【詳解】拋擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為a，b，共36種情況，如下（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）記函數(shù)的定義域?yàn)镽為事件A，即恒成立，需滿足，即，滿足的有26種情況，故.記函數(shù)為偶函數(shù)為事件B，函數(shù)的定義域?yàn)?，由偶函?shù)的定義知，即或.滿足或的有6種情況，故,故,故選：B8．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．，B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出遞推公式，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，，且，，于是，，A正確；顯然，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；又，即有，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，C正確；顯然，因此，D正確.故選：B多選題1．（23-24高三上·重慶渝中·期中）甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱傳球一次．若傳球開始時(shí)甲持球，記傳球次后球仍回到甲手里的概率為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】AC選項(xiàng)，由題意得到，，；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上，構(gòu)造等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；B選項(xiàng)，在D選項(xiàng)基礎(chǔ)上求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，第一次傳球后到乙或丙手里，故，第二次傳球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，A正確；C選項(xiàng)，為傳球次后球仍回到甲手里的概率，要想傳球次后球仍回到甲手里，則第次傳球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次傳球有的概率回到甲手里，故，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，即，設(shè)，故，所以，解得，故，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，故，D正確，B選項(xiàng)，由D選項(xiàng)可知，B錯(cuò)誤.故選：ACD2．（22-23高二下·河南許昌·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A．公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有種.B．兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生不相鄰的概率是；C．已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個(gè)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)分別是3，3，5，3，6，11，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)依次成等差數(shù)列，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為12.D．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則；【答案】BC【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理、古典概率、樣本的數(shù)據(jù)特征、二項(xiàng)分布等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，每名乘客都有種下車方式，所以位乘客下車的可能方式有種，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，兩位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，基本事件的總數(shù)有種，若兩位女生不相鄰，則先安排男生，形成個(gè)空位，將兩位女生排入其中兩個(gè)空位，方法數(shù)有種，所以兩位女生不相鄰的概率是，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，剩下的六個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以眾數(shù)是，設(shè)中位數(shù)是，則平均數(shù)是，設(shè)丟失的數(shù)據(jù)為，若，則，無(wú)解.若，則，無(wú)解.若，則，無(wú)解.若，則，無(wú)解.若，則，解得.若，則，解得.若，則，無(wú)解.若，則，無(wú)解.若，則，解得.所以丟失數(shù)據(jù)的所有可能值的和為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，依題意，，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC3．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）日常生活中植物壽命的統(tǒng)計(jì)規(guī)律常體現(xiàn)出分布的無(wú)記憶性.假設(shè)在一定的培養(yǎng)環(huán)境下，一種植物的壽命是取值為正整數(shù)的隨機(jī)變量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，它近似滿足如下規(guī)律：對(duì)任意正整數(shù)，壽命恰好為的植物在所有壽命不小于的植物中的占比為.記“一株植物的壽命為”為事件，“一株植物的壽命不小于”為事件.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．設(shè)，則為等比數(shù)列D．設(shè)，則【答案】BCD【分析】設(shè)植物總數(shù)為，壽命為年的植物數(shù)為，由題意，在此基礎(chǔ)上利用變形推理得出，即可判斷AC，再由的關(guān)系求出判斷B，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和判斷D.【詳解】設(shè)植物總數(shù)為，壽命為年的植物數(shù)為，由題意，，則①②②①得，，即，故，故A錯(cuò)誤；由，故，故B正確；由，故，即為等比數(shù)列，故C正確；因?yàn)?，設(shè)，則，，相減可得，所以，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：難點(diǎn)在于理解對(duì)任意正整數(shù)，壽命恰好為的植物在所有壽命不小于的植物中的占比為，這句話的數(shù)量表示是本題推理論證的的基礎(chǔ)，能否理解并用數(shù)學(xué)式子表示是解題的關(guān)鍵與難點(diǎn).三、填空題1．（2023·江蘇南京·二模）一個(gè)袋子中有個(gè)紅球和5個(gè)白球，每次從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球．若“摸出的兩個(gè)球顏色不相同”發(fā)生的概率記為，則的最大值為．【答案】【分析】計(jì)算并化簡(jiǎn)得到，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算最值得到答案.【詳解】，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)或時(shí)，有最小值為，故.故答案為：2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知n個(gè)人獨(dú)立解決某問(wèn)題的概率均為，且互不影響，現(xiàn)將這n個(gè)人分在一組，若解決這個(gè)問(wèn)題概率超過(guò)，則n的最小值是【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式求解即得.【詳解】依題意，n個(gè)人都沒(méi)有解決問(wèn)題的概率為，因此這個(gè)小組能解決問(wèn)題的概率為，于是，整理得，函數(shù)是遞增的，而，，因此成立時(shí)，所以n的最小值是9.故答案為：9解答題1.（2024·遼寧·一模）近年來(lái)，某大學(xué)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，大力推行全民健身運(yùn)動(dòng)，向全校學(xué)生開放了兩個(gè)健身中心，要求全校學(xué)生每周都必須利用課外時(shí)間去健身中心進(jìn)行適當(dāng)?shù)捏w育鍛煉.(1)該校學(xué)生甲?乙?丙三人某周均從兩個(gè)健身中心中選擇其中一個(gè)進(jìn)行健身，若甲?乙?丙該周選擇健身中心健身的概率分別為，求這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率；(2)該校學(xué)生丁每周六?日均去健身中心進(jìn)行體育鍛煉，且這兩天中每天只選擇兩個(gè)健身中心的其中一個(gè)，其中周六選擇健身中心的概率為.若丁周六選擇健身中心，則周日仍選擇健身中心的概率為；若周六選擇健身中心，則周日選擇健身中心的概率為.求丁周日選擇健身中心健身的概率；(3)現(xiàn)用健身指數(shù)來(lái)衡量各學(xué)生在一個(gè)月的健身運(yùn)動(dòng)后的健身效果，并規(guī)定值低于1分的學(xué)生為健身效果不佳的學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其值低于1分的概率為0.12.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，如果抽取到的學(xué)生不是健身效果不佳的學(xué)生，則繼續(xù)抽取下一個(gè)，直至抽取到一位健身效果不佳的學(xué)生為止，但抽取的總次數(shù)不超過(guò).若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)3且，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)；(2)；(3)30.【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式進(jìn)行計(jì)算；（2）設(shè)出事件，利用全概率公式進(jìn)行求解；（3）設(shè)抽取次數(shù)為，求出的分布列和數(shù)學(xué)期望，利用錯(cuò)位相減法求出，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊值，求出答案.【詳解】（1）由題意得這三人中這一周恰好有一人選擇健身中心健身的概率.（2）記事件：丁周六選擇健身中心，事件：丁周日選擇健身中心，則，由全概率公式得.故丁周日選擇健身中心健身的概率為.（3）設(shè)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽取到的學(xué)生是健身效果不佳的學(xué)生的概率為，則，設(shè)抽取次數(shù)為，則的分布列為123故，又，兩式相減得，所以，令，則，因?yàn)?，故令得，即，令時(shí)，，故在且時(shí)單調(diào)遞增，結(jié)合，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若抽取次數(shù)的期望值不超過(guò)3，則的最大值為30.2．（2023·上海長(zhǎng)寧·一模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)從集合中任取3個(gè)元素，記這3個(gè)元素能成等差數(shù)列為事件，求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的求和公式，列出方程，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，得到所有的不同取法有20種，再利用列舉法求得事件中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，因?yàn)?，可得，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由題意，從集合中任取3個(gè)元素，共有種不同的取法，其中這3個(gè)元素能成等差數(shù)列有，有6種不同的取法，所以事件的概率為.3．（23-24高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）假設(shè)市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無(wú)關(guān).若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為，陰天的概率為；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為，陰天的概率為；若前一天為陰天，則第二天晴天的概率為，下雨的概率為；已知市4月第1天的天氣情況為下雨.(1)求市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；(2)記為市四月第天的天氣情況為晴天的概率，（i）求出的通項(xiàng)公式；（ii）市某花卉種植基地計(jì)劃在四月根據(jù)天氣情況種植向日葵，為了更好地促進(jìn)向日葵種子的發(fā)芽和生長(zhǎng)，要求提前3天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問(wèn)，根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，請(qǐng)你對(duì)該基地的種植計(jì)劃提出建議.【答案】(1)(2)（i）；（ii）建議在四月第27天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理【分析】（1）由題意可確定前一天天氣為晴，第二天為晴或宇或陰的概率以及前一天天氣為雨，第二天為晴或雨或陰的概率以及前一天天氣為陰，第二天為晴或雨或陰的概率，由此根據(jù)第一天的天氣情況，即可求出第二天每種情況的概率，即可求出第3天晴天的概率；（2）（i）記分別為市四月第天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，依題意可求出遞推關(guān)系式，構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得的通項(xiàng)公式；（ii）結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，可確定四月份天氣為晴的最大概率是第幾天嗎，由此可提出合理建議.【詳解】（1）依題意，可列舉如下概率：前一天晴，第二天為晴雨陰；前一天為雨，第二天為晴，雨，陰；前一天為陰，第二天為晴，雨陰，記分別為市四月第天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，則，依題意知，故，第3天為晴天概率；（2）（i）由題意知，當(dāng)時(shí)，，①，②，③在①中代入，整理得，變形為，故為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，；（ii）由于隨著n的增大而減小，故在遞增，故四月份天氣為晴的最大概率是第30天，因此建議在第30天為種植時(shí)間，提前3天，即在四月第27天對(duì)種子進(jìn)行特殊處理.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵時(shí)要理解題意，明確第一天各種天氣情況下第二天各種天氣情況的概率，進(jìn)而推出第二天各種天氣情況的概率的遞推式，結(jié)合數(shù)列知識(shí)，即可求解.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）將連續(xù)正整數(shù)1，2，，從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)如當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率.(1)求(2)當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式.(3)令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）計(jì)算，數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，得到概率.（2）考慮，，，四種情況，依次計(jì)算得到答案.（3）考慮時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況，得到和的解析式，得到，再計(jì)算概率的最值得到答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即這個(gè)數(shù)中共有個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字的個(gè)數(shù)為，則恰好取到的概率為；（2）當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有位數(shù)組成，；當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，則；當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成，；當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有個(gè)一位數(shù)組成，個(gè)兩位數(shù)組成，個(gè)三位數(shù)組成個(gè)四位數(shù)組成，；綜上所述：，（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，同理有，由，可知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由關(guān)于單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有的最大值為，又，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的解析式，概率的計(jì)算，最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.5．（2024·廣東汕頭·一模）2023年11月，我國(guó)教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個(gè)學(xué)科900多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動(dòng).我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛田洋”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，在某種植番石榴的果園中，老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮模詻](méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)小明在果園中一共會(huì)遇到顆番石榴（不妨設(shè)顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設(shè)，記該學(xué)生摘到那顆最大番石榴的概率為.(1)若，求；(2)當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.（?。敬鸢浮?1)；(2)的最大值為，此時(shí)的值為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用有限制條件的排列求出古典概率.（2）利用全概率公式求出，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值.【詳解】（1）依題意，4個(gè)番石榴的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有種情況，要摘到那個(gè)最大的番石榴，有以下兩種情況：①最大的番石榴是第3個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況；②最大的番石榴是最后1個(gè)，第二大的番石榴是第1個(gè)或第2個(gè)，其它的隨意在哪個(gè)位置，有種情況，所以所求概率為.（2）記事件表示最大的番石榴被摘到，事件表示最大的番石榴排在第個(gè)，則，由全概率公式知：，當(dāng)時(shí)，最大的番石榴在前個(gè)中，不會(huì)被摘到，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，最大的番石榴被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前個(gè)番石榴中的最大一個(gè)在前個(gè)之中時(shí)，此時(shí)，因此，令，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為，此時(shí)的值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：全概率公式是將復(fù)雜事件A的概率求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率求和問(wèn)題.6．(2023·石家莊模擬)國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次次．為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次．假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立．(1)若m＝0.4，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，當(dāng)k取何值時(shí)，X的均值最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；(2)若m＝0.8，設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用為5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用為k＋4元．求當(dāng)k取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用．參考數(shù)據(jù)及公式：eq\r(10)≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．【解析】(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則X＝eq\f(1,k)，若混合血樣呈陽(yáng)性，則X＝eq\f(1,k)＋1，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,k)))＝0.996k，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,k)＋1))＝1－0.996k，所以E(X)＝eq\f(1,k)×0.996k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k)))×(1－0.996k)＝1＋eq\f(1,k)－0.996k＝1＋eq\f(1,k)－(1－0.004)k≈eq\f(1,k)＋0.004k，令f(x)＝eq\f(1,x)＋0.004x，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)＋0.004＝eq\f(0.004x2－1,x2)，所以f(x)在(0,5eq\r(10))上單調(diào)遞減，在(5eq\r(10)，＋∞)上單調(diào)遞增，因?yàn)閗∈Z，且f(15)＝eq\f(1,15)＋0.004×15≈0.1267，f(16)＝0.1265，所以當(dāng)k＝16時(shí)，f(x)取得最小值，所以E(X)的最小值為0.1265.所以按16人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)次數(shù)的均值最小，此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)為4000×0.1265＝506.(2)設(shè)每組k人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性，則Y＝k＋4，若混合血樣為陽(yáng)性，則Y＝6k＋4，且P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，所以E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)＝6k－5k×0.992k＋4，每個(gè)人血樣的化驗(yàn)費(fèi)用為eq\f(EY,k)＝6－5×0.992k＋eq\f(4,k)＝6－5×(1－0.008)k＋eq\f(4,k)≈6－5×(1－0.008k)＋eq\f(4,k)＝1＋0.04k＋eq\f(4,k)≥1＋2eq\r(0.04k·\f(4,k))＝1.8，當(dāng)且僅當(dāng)0.04k＝eq\f(4,k)，即k＝10時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)10個(gè)人一組時(shí)，每個(gè)人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的均值最小，化驗(yàn)總費(fèi)用為4000×1.8＝7200(元)．7．(2023·廣州模擬)隨著5G商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞5G用戶的爭(zhēng)奪越來(lái)越激烈，5G手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家．某科技公司為了打開市場(chǎng)，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎(jiǎng)免費(fèi)送5G手機(jī)”優(yōu)惠活動(dòng)方案的內(nèi)部測(cè)試，測(cè)試成功后將在全市進(jìn)行推廣．(1)公司內(nèi)部測(cè)試的活動(dòng)方案設(shè)置了第i(i∈N*)次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的名額為3i＋2，抽中的用戶退出活動(dòng)，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎(jiǎng)用戶的名額少2個(gè)．若某次抽獎(jiǎng)，剩余全部用戶均中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束．參加本次內(nèi)部測(cè)試第一次抽獎(jiǎng)的有15人，甲、乙均在其中．①求甲在第一次中獎(jiǎng)和乙在第二次中獎(jiǎng)的概率；②求甲參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)次數(shù)的分布列和