高考數(shù)學(xué)重難點培優(yōu)全攻略(新高考專用)第14講　直線與圓(3大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第14講直線與圓（3大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一:直線的方程1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在．【例1】（23-24高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1】（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值集合是（

）A． B． C． D．【變式3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點且與直線平行的直線方程為.考點二:圓的方程1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【例4】（2024·江蘇·一模）萊莫恩定理指出：過的三個頂點作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點，則三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個頂點坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（

）A． B．C． D．【變式1】（2024·廣東·一模）過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6考點三:直線、圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點線距離法．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．考向1直線與圓的位置關(guān)系規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略當(dāng)直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算．【例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點為切點，若，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）“圓心到直線的距離小于圓的半徑”是“直線與圓相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D． E．均不是【變式3】（2024·福建漳州·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則．考向2圓與圓的位置關(guān)系【例3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知圓，圓心為的圓分別與圓相切.圓的公切線（傾斜角為鈍角）交圓于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．6【變式1】（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知圓的圓心為，且經(jīng)過圓：與圓：的交點．則圓的面積為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣西來賓·一模）若曲線與的圖象有3個交點，則.【變式3】（2023·河北衡水·三模）若圓和有且僅有一條公切線，則；此公切線的方程為【變式4】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【變式5】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圓與軸相切，則（

）A．1 B． C．2 D．42．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．9 D．3．（2024·四川南充·二模）已知圓，直線與圓C（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切4．（2024高三下·浙江杭州·專題練習(xí)）已知點A為曲線上的動點，B為圓上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．5．（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點M，若恰有3個不同的點M到直線的距離為1，則（

）A． B． C． D．6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，直線交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M，N恰好落在直線上，若點N在第二象限內(nèi)，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知為圓上動點，直線和直線（，）的交點為，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知直線，圓，且圓過點，直線與圓交于兩點，下列結(jié)論中正確的是（

）A．圓的半徑為2B．直線過定點C．的最小值是D．的最大值是02．（23-24高三上·浙江紹興·期末）直線：，圓：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線經(jīng)過定點且與圓恒有兩個公共點B．圓心到直線的最大距離是2C．存在一個值，使直線經(jīng)過圓心D．不存在使得圓與圓關(guān)于直線對稱3．（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）已知直線l：與圓C：，點P在圓C上，則（

）A．直線l過定點B．圓C的半徑是6C．直線l與圓C一定相交D．點P到直線l的距離的最大值是三、填空題1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)在，處分別取得極大值和極小值，記點，，的圖象與軸正半軸的交點為.若的外接圓的圓心在以為直徑的圓上，則.2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）若直線與曲線有公共點，則實數(shù)的范圍是.四、解答題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)拋物線，點，，過點A的直線l與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：．2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點A為圓上任意一點，點的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點.求點的軌跡的方程.3．（23-24高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知圓，直線，過的直線與圓相交于兩點，(1)當(dāng)直線與直線垂直時，求證：直線過圓心.(2)當(dāng)時，求直線的方程.4．（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓過點，和，且圓與軸交于點，點是拋物線的焦點.(1)求圓和拋物線的方程；(2)過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點，分別做拋物線的切線，兩條切線交于點，試判斷直線與圓的另一個交點是否為定點，如果是，求出點的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．5．（23-24高三上·天津·期末）設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，.直線，相交于點，且它們的斜率之積是，記點的軌跡為.(1)求的方程(2)設(shè)直線與交于，兩點，若的外接圓在處的切線與交于另一點，求的面積.第14講直線與圓（3大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.求直線的方程，考查點到直線的距離公式，直線間的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一:直線的方程1．已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為零)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).易錯提醒解決直線方程問題的三個注意點(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性．(3)討論兩直線的位置關(guān)系時，要注意直線的斜率是否存在．【例1】（23-24高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的條件，判斷“”和“直線與平行”之間的邏輯關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時，直線與平行；當(dāng)直線與平行時，有且，解得，故“”是“直線與平行”的充要條件，故選：C【變式1】（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】因為直線與直線垂直，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立．即的最小值為4，故選：B【變式2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷與的位置關(guān)系，可知兩直線交點軌跡為圓，然后挖去點，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解即可.【詳解】由兩直線垂直的判斷條件，可知，所以直線與始終垂直，又由條件可得直線恒過定點，直線恒過定點，所以兩直線的交點是在以線段為直徑的圓上，所以該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓上點是過定點且斜率不存在的直線與過定點且斜率為0的直線的交點，故挖去點.圓心到直線的距離，所以，與的交點到直線的距離的最大值和最小值分別為和，又到直線的距離為，應(yīng)舍去，所以取值集合是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用直線垂直的性質(zhì)與過定點的知識，判斷得兩直線的交點是在以線段為直徑的圓上，從而得解.【變式3】（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點且與直線平行的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)所求直線為，然后將點的坐標(biāo)代入可求出，從而可求得直線方程【詳解】設(shè)所求直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，故所求直線方程為.故答案為：考點二:圓的方程1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．規(guī)律方法解決圓的方程問題一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【例4】（2024·江蘇·一模）萊莫恩定理指出：過的三個頂點作它的外接圓的切線，分別和所在直線交于點，則三點在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的線.在平面直角坐標(biāo)系中，若三角形的三個頂點坐標(biāo)分別為，則該三角形的線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】待定系數(shù)法求出外接圓方程，從而得到外接圓在處的切線方程，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，得到答案.【詳解】的外接圓設(shè)為，，解得，外接圓方程為，即，易知外接圓在處切線方程為，又，令得，，，在處切線方程為，又，令得，，則三角形的線的方程為，即故選：B.【變式1】（2024·廣東·一模）過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（

）A．3 B．4 C．8 D．6【答案】D【分析】設(shè)圓的方程為，代入坐標(biāo)得的值，即可得圓的方程，再令，即可求得與軸相交弦長.【詳解】設(shè)圓的方程為，代入點，，，則，解得，可得，整理得符合題意，所以圓的方程為，令，可得，解得，所以．故選：D.考點三:直線、圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離．其判斷方法為：(1)點線距離法．(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．考向1直線與圓的位置關(guān)系規(guī)律方法直線與圓相切問題的解題策略當(dāng)直線與圓相切時，利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外一點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算．【例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知是圓的切線，點為切點，若，則點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由圓的定義可知點的軌跡為圓，再由圓的方程即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以點到圓心的距離恒為，所以點的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，即，故選：B【變式1】（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）“圓心到直線的距離小于圓的半徑”是“直線與圓相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷可知，“圓心到直線的距離小于圓的半徑”是“直線與圓相交”的充要條件.故選：C【變式2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D． E．均不是【答案】B【分析】得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質(zhì)可得，即可得，即可得.【詳解】圓可化為，即圓心為，半徑為，故圓心到點的距離為，則，由，故，故.故選：B.【變式3】（2024·福建漳州·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為A，，若直線與圓：相切，則．【答案】81【分析】由題意可知點在以為直徑的圓上，結(jié)合兩圓相交可得直線的方程為，再根據(jù)直線與圓相切列式求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為，半徑；由題意可知：，可知點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為，整理得，結(jié)合圓：，兩圓方程作差，可得直線的方程為，即，若直線與圓：相切，則，整理得.故答案為：81.考向2圓與圓的位置關(guān)系【例3】（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知圓，圓心為的圓分別與圓相切.圓的公切線（傾斜角為鈍角）交圓于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】判斷圓與需外切，求出的方程，進(jìn)而求得圓的公切線方程，再根據(jù)弦長的幾何求法，即可求得答案.【詳解】如圖，由已知的圓心為，半徑為，設(shè)的半徑為，由題意知圓與需外切，否則圓無公切線或公切線（傾斜角為鈍角）與圓無交點；由題意知，即；，即，故圓，圓，設(shè)圓的公切線方程為，則，解得，即，故到的距離為，故，故選：B【變式1】（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知圓的圓心為，且經(jīng)過圓：與圓：的交點．則圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立圓與圓的方程，解得兩交點坐標(biāo)，即可求得圓的半徑，從而可得答案.【詳解】解：聯(lián)立，解得：或，所以圓的半徑為：，所以的面積為.故選：B．【變式2】（2024·廣西來賓·一模）若曲線與的圖象有3個交點，則.【答案】【分析】根據(jù)題意可知曲線過坐標(biāo)原點，從而建立方程，即可求解.【詳解】曲線曲線表示以為圓心，半徑為的圓，曲線表示直線或，因為兩個曲線的圖象由3個交點，如圖所示，曲線過坐標(biāo)原點，故.故答案為：.【變式3】（2023·河北衡水·三模）若圓和有且僅有一條公切線，則；此公切線的方程為【答案】1【分析】根據(jù)兩圓內(nèi)切由圓心距與半徑關(guān)系列出方程求，聯(lián)立圓的方程求出切點，根據(jù)圓的切線性質(zhì)得出斜率即可求解.【詳解】如圖，

由題意得與相內(nèi)切，又，所以，所以，解得，所以，．聯(lián)立，解得所以切點的坐標(biāo)為，故所求公切線的方程為，即．故答案為：1；【變式4】（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】C【分析】首先由圓心到直線距離是列式求出的值，進(jìn)而可得圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑，比較兩圓圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對值的大小關(guān)系即可求解.【詳解】圓即圓的圓心半徑分別為，圓的圓心半徑分別為，因為，解得或（舍去），從而，所以，因為，所以圓M與圓的位置關(guān)系是內(nèi)含.故選：C.【變式5】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱可知是圓和圓圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由點斜式方程即可．【詳解】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）若圓與軸相切，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】求出圓心和半徑，數(shù)形結(jié)合得到且，得到答案.【詳解】的圓心為，半徑為，因為圓與軸相切，所以且，解得故選：D2．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．9 D．【答案】B【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為直線經(jīng)過點，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號.故選：B3．（2024·四川南充·二模）已知圓，直線與圓C（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)題意，由直線的方程分析可得直線過定點，結(jié)合圓的方程分析可得在圓上，據(jù)此由直線與圓的位置關(guān)系分析可得直線與圓一定相交或相切，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的方程為，恒過定點，設(shè)為，又由圓，即，其圓心為，半徑，由，則在圓上，則直線與圓相交或相切.故選：D．4．（2024高三下·浙江杭州·專題練習(xí)）已知點A為曲線上的動點，B為圓上的動點，則的最小值是（

）A．3 B．4 C． D．【答案】A【分析】數(shù)形結(jié)合分析可得，當(dāng)時能夠取得的最小值，根據(jù)點到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，由對勾函數(shù)的性質(zhì),可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，結(jié)合圖象可知當(dāng)A點運動到時能使點A到圓心的距離最小，最小值為4，從而的最小值為.故選：A5．（2024·廣東·一模）已知直線與直線相交于點M，若恰有3個不同的點M到直線的距離為1，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線垂直確定軌跡為圓，再由圓上存在三點到直線距離相等轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離為1求解.【詳解】由可得，即過定點，由可得，即過定點，又，所以的軌跡是以為直徑的圓（不含點），其中圓心為，半徑為，所以圓上恰有3個不同的點M到直線的距離為1，只需圓心到直線的距離等于1，即，解得，此時到直線的距離不為1，故符合.故選：B6．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，直線交x軸于A點，將一塊等腰直角三角形紙板的直角頂點置于原點O，另兩個頂點M，N恰好落在直線上，若點N在第二象限內(nèi)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過O作于C，過N作于D，根據(jù)等面積求出，運用在直角三角形等知識求出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與y軸的交點為B，過O作于C，過N作于D，因為N在直線上且在第二象限內(nèi)，設(shè)，則，又，即，所以，在中，由三角形的面積公式得：，所以，在中，，所以，即，在中，，即，解得：，因為N在第二象限內(nèi)，所以，所，所以，故選：A.7．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知為圓上動點，直線和直線（，）的交點為，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由、可得，且過定點，過定點，則可得點在以為直徑的圓上，則的最大值為.【詳解】由、，有，故，對有，故過定點，對有，故過定點，則中點為，即，，則，故點在以為直徑的圓上，該圓圓心為，半徑為，又在原，該圓圓心為，半徑為，又，則.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于由直線、的方程得到，且過定點，過定點，從而確定點的軌跡為以為直徑的圓，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為圓上兩點的距離最值問題.8．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）設(shè)，，已知函數(shù)，有且只有一個零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)函數(shù)的零點為，可得，由此可得點在直線上，由此可得，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.【詳解】函數(shù)的零點為，則，且，即，所以點在直線上，又表示點到原點的距離的平方，故，所以，設(shè)，則，故，設(shè)，則，因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，故當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.所以當(dāng)，時，取最小值，最小值為.所以當(dāng)時，的最小值為.故選：B.【點睛】知識點點睛：本題考查函數(shù)零點的定義，直線方程的定義，點到直線的距離，兩點之間的距離，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)運算，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.二、多選題1．（23-24高三上·湖北襄陽·期末）已知直線，圓，且圓過點，直線與圓交于兩點，下列結(jié)論中正確的是（

）A．圓的半徑為2B．直線過定點C．的最小值是D．的最大值是0【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的方程，結(jié)合圓的性質(zhì)及數(shù)量積定義依次判斷各選項即可.【詳解】由圓過點，得，圓的圓心，半徑，A正確；直線，由，得，即直線過定點，B正確；顯然點在圓內(nèi)，，當(dāng)時，，C錯誤；當(dāng)弦長最小時，圓心角最小，此時，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.

故選：ABD2．（23-24高三上·浙江紹興·期末）直線：，圓：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線經(jīng)過定點且與圓恒有兩個公共點B．圓心到直線的最大距離是2C．存在一個值，使直線經(jīng)過圓心D．不存在使得圓與圓關(guān)于直線對稱【答案】AC【分析】利用直線過定點的求法，結(jié)合點圓位置關(guān)系判斷A；利用圓心到直線的最大距離判斷B；將圓心直接代入直線判斷C；利用點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，因為直線：，可化為，令，解得，故直線過定點，而，所以點在圓內(nèi)，所以直線經(jīng)過定點且與圓恒有兩個公共點，故A正確；對于B，因為圓：的圓心為，半徑為，所以圓心到定點的距離為，所以圓心到直線的最大距離是，故B錯誤；對于C，將圓心代入直線，得，解得，所以存在，使直線經(jīng)過圓心，故C正確；對于D，因為圓的圓心為，所以兩圓圓心所成線段的中點坐標(biāo)為，恰為直線所過定點，同時兩圓圓心所在直線的斜率為，要使兩圓關(guān)于直線對稱，則只需直線的斜率為，又直線：，所以，其斜率為，解得，顯然存在滿足題意，故D錯誤.故選：AC.3．（23-24高三上·福建·階段練習(xí)）已知直線l：與圓C：，點P在圓C上，則（

）A．直線l過定點B．圓C的半徑是6C．直線l與圓C一定相交D．點P到直線l的距離的最大值是【答案】BC【分析】求解直線經(jīng)過的定點，圓心與半徑，兩點間的距離判斷選項的正誤即可．【詳解】直線l：，即由，解得，則直線l過定點，故A錯誤；圓C：，即，則圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為6，故B正確；因為點與的距離為，則點在圓C的內(nèi)部，所以直線l與圓C一定相交，故C正確；點P到直線l的距離的最大值是，故D錯誤．故選：BC．三、填空題1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)在，處分別取得極大值和極小值，記點，，的圖象與軸正半軸的交點為.若的外接圓的圓心在以為直徑的圓上，則.【答案】/【分析】方法一：由題意求得點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得圓的方程，結(jié)合向量的運算，建立方程，可得答案；方法二：由題意求得點的坐標(biāo)，利用幾何法求得圓的方程，結(jié)合向量的運算，建立方程，可得答案.【詳解】方法一：，或；，或.的圖象與軸正半軸交點為，則，.在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，，外接圓：，，∴，圓心，在以為直徑的圓上.∴，∴，∴，∴.方法二：∵的圖象與軸正半軸交于，∴，大致圖象如下圖：∴，，令，解得或，∴，，∴，，故中垂線方程：，中垂線方程，∴，則，，∴，∴.故答案為：.2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【分析】首先根據(jù)塞爾瓦定理以及圓的幾何性質(zhì)，求解和，并求直線的方程，求解點的坐標(biāo)，即可求解圓的方程.【詳解】由△ABC的垂心到直線BC距離，設(shè)圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，聯(lián)立解得，，因為直線BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設(shè)，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：3．（2024·陜西·模擬預(yù)測）若直線與曲線有公共點，則實數(shù)的范圍是.【答案】【分析】當(dāng)時，可求得直線與曲線的公共點；當(dāng)時，直線恒過定點，斜率為，曲線為圓心為，半徑為的上半圓，畫圖觀察可得，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】①當(dāng)，即時，直線為（即軸），，即直線與曲線的公共點為，故符合題意；②當(dāng)，即時，直線為恒過定點，斜率為，又因為曲線：，所以曲線為圓心為，半徑為的上半圓.如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過半圓的右端點時恰好有公共點，逆時針旋轉(zhuǎn)至軸都滿足題意，又因為，所以，解得，綜述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)拋物線，點，，過點A的直線l與C交于M，N兩點．(1)當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程；(2)證明：．【答案】(1)或.(2)證明見解析【分析】（1）先寫出軸時直線l的方程；再將直線l的方程和拋物線方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，最后利用斜率公式和點斜式方程即可求解.（2）根據(jù)直線l斜率是否存在分兩類討論；當(dāng)直線l斜率不存在時，利用拋物線的對稱性即可證明；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)出直線l方程，聯(lián)立直線l的方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理和斜率公式可得出，進(jìn)而可證明.【詳解】（1）當(dāng)軸時，直線.聯(lián)立方程組，整理得：，則點或.因為，所以或.所以直線的方程為：或，即直線的方程為：或．（2）【基本解法1】當(dāng)直線l斜率不存在時，由拋物線的對稱性可得：點關(guān)于軸對稱，此時．當(dāng)直線l斜率存在時，可設(shè)直線方程為.聯(lián)立方程組，整理得：.易得，設(shè)點，則，所以，即，所以.【基本解法2】依題意，直線l斜率不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得：.易得，設(shè)點，則，所以，即，所以.【基本解法3】當(dāng)直線l斜率不存在時，由拋物線的對稱性可得：點關(guān)于軸對稱，此時．當(dāng)不與軸垂直時，設(shè).因為點都在直線上，故有，即，解得，所以，即，所以.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點A為圓上任意一點，點的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點.求點的軌跡的方程.【答案】【分析】根據(jù)題意得，從而判斷點的軌跡為以為焦點的雙曲線，根據(jù)雙曲線定義求解即可.【詳解】由得，其半徑為4，因為線段的垂直平分線與直線交于點，故，則，而，故點的軌跡為以為焦點的雙曲線，則，故點的軌跡的方程為.【點睛】本題關(guān)鍵在于，從而判斷軌跡為雙曲線，再根據(jù)定義即可求解.3．（23-24高三上·廣東深