高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)第15講　圓錐曲線的方程與性質(zhì)(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第15講圓錐曲線的方程與性質(zhì)（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)這部分知識(shí)的考查側(cè)重三個(gè)方面：一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問(wèn)題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一:圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)F不在定直線l上，PM⊥l于點(diǎn)M.2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”“定型”：確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；“計(jì)算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．易錯(cuò)提醒求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；確定圓錐曲線的方程時(shí)還要注意焦點(diǎn)位置．【例1】（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為的內(nèi)心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與雙曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)【例2】（2024·山東聊城·一模）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若的一條漸近線的傾斜角為，且，則的焦距等于（

）A．1 B． C．2 D．4【變式1】（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．【變式2】（23-24高三上·重慶·期末）已知，分別是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作一直線交C于M，N兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為1．則C的焦距為．【變式3】2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為2，則的斜率為．考向2離心率問(wèn)題【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·湖北·二模）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·陜西西安·二模）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．3考點(diǎn)三：拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長(zhǎng)最短為2p.規(guī)律方法利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來(lái)溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．【例4】（22-23高三下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）拋物線過(guò)點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，則（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（

）A． B．1 C． D．2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則C的方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．13 D．154．（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．5．（2023·甘肅酒泉·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．（23-24高三下·四川·期末）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為，則為（

）A．4 B． C．6 D．87．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則以下命題正確的是（

）A．的最小值是2B．C．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)，使得D．若是等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是32．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點(diǎn)，使得 D．3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長(zhǎng)的最小值為.C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.D．過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.三、填空題1．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.2．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為.3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬，杯深，稱為拋物線酒杯.在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為.四、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.過(guò)點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、，設(shè)弦、的中點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)作，且垂足為，求的最大值.2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過(guò)的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做橢圓的切線，交軸于點(diǎn)A，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于，交軸于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)試判斷以為直徑的圓能否過(guò)定點(diǎn)？若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知拋物線和圓的公共弦過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且弦長(zhǎng)為．(1)求拋物線和圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，求面積的最小值．第15講圓錐曲線的方程與性質(zhì)（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)這部分知識(shí)的考查側(cè)重三個(gè)方面：一是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求橢圓的離心率、雙曲線的離心率以及漸近線問(wèn)題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一:圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)F不在定直線l上，PM⊥l于點(diǎn)M.2．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計(jì)算”“定型”：確定曲線焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的位置；“計(jì)算”：利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．易錯(cuò)提醒求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)的常見(jiàn)錯(cuò)誤雙曲線的定義中忽略“絕對(duì)值”致錯(cuò)；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；確定圓錐曲線的方程時(shí)還要注意焦點(diǎn)位置．【例1】（2024·新疆·二模）設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義可知周長(zhǎng)為定值4a，從而可得當(dāng)最小時(shí)，最大，再根據(jù)橢圓焦點(diǎn)弦最小為通徑即可求解．【詳解】由橢圓的定義知∴的周長(zhǎng)為，∴當(dāng)最小時(shí)，最大．當(dāng)軸，即AB為通徑時(shí)，最小，此時(shí)，∴的最大值為．故選：B．【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為的內(nèi)心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由，得到，結(jié)合雙曲線的定義，求得，再由，得到，即可求解.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)椋?，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，可得，解得，又因?yàn)?，可得，整理得，即，解得或（舍去?故選：D.【變式2】（23-24高三下·山東濟(jì)寧·開學(xué)考試）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，且，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取特殊點(diǎn)即可求解.【詳解】由已知可得，取，則，所以，所以，橢圓的方程為.故選：C【變式3】（23-24高三上·天津和平·期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的其中一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），直線與雙曲線交于點(diǎn)，若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，再聯(lián)立直線直線與漸近線得點(diǎn)坐標(biāo)，得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程計(jì)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由對(duì)稱性，不妨取其中一條漸近線，即，點(diǎn)，則，則.且，由，解得，所以，由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，由點(diǎn)在雙曲線上，則，化簡(jiǎn)得，又，得，則雙曲線方程為.故選：A.考點(diǎn)二：橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．考向1橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)【例2】（2024·山東聊城·一模）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若的一條漸近線的傾斜角為，且，則的焦距等于（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】借助雙曲線的定義與漸近線方程計(jì)算即可得.【詳解】由漸近線的傾斜角為，可得，由，可得，故，，則，故.故選：D.【變式1】（2024·湖北·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線的傾斜角分別為，則；當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，斜率公式，以及基本不等式，即可分別求解.【詳解】設(shè)，則，可得，又因?yàn)榉謩e為雙曲線的左右頂點(diǎn)，可得，所以；又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，所以，所以，所以的面積為.故答案為：；.【變式2】（23-24高三上·重慶·期末）已知，分別是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作一直線交C于M，N兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為1．則C的焦距為．【答案】/【分析】設(shè)，求出直線的方程，并與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求出，結(jié)合雙曲線定義求出三角形周長(zhǎng)即得.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，點(diǎn)，由雙曲線方程知，顯然直線的傾斜角為，斜率為，方程為，由消去y并整理得，，則，，，顯然，則的周長(zhǎng)，解得，所以雙曲線C的焦距.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用并結(jié)合解三角形知識(shí)求解.【變式3】2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為2，則的斜率為．【答案】【分析】由題意得，，由此可得點(diǎn)坐標(biāo)（用表示），結(jié)合斜率公式即可得解.【詳解】不妨設(shè)，又，由題意，，解得，所以.故答案為：.考向2離心率問(wèn)題【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好在橢圓上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義及平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合余弦定理解三角形并構(gòu)造齊次式方程計(jì)算離心率即可.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有，又，所以，在中，由余弦定理可得，，即，整理得，解方程得或(舍去)，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）．【變式1】（2024·湖北·二模）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可判斷出結(jié)論.【詳解】由可得橢圓，此時(shí)離心率為，此時(shí)充分性成立；若橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：A【變式2】（23-24高三下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，結(jié)合圖形，即可得到，再根據(jù)離心率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線方程為，又與雙曲線的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在軸左側(cè)，由圖知，，即，所以離心率，又，所以，

故選：B.【變式3】（2024·陜西西安·二模）如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)斜率及雙曲線的對(duì)稱性得為等邊三角形，再根據(jù)同角間關(guān)系求解三角函數(shù)值，進(jìn)而用正弦定理求出，由雙曲線定義可得，從而得到離心率.【詳解】由題意，直線的斜率為，，又，所以為等邊三角形，故，，在中，，則為銳角，則，，由正弦定理，，，,由，得，.故答案選：.考點(diǎn)三：拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用拋物線的焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，弦AB的長(zhǎng)最短為2p.規(guī)律方法利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時(shí)，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來(lái)溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化且減少數(shù)學(xué)運(yùn)算．【例4】（22-23高三下·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上．若，則當(dāng)取得最大值時(shí)，．【答案】或4【分析】利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性即可求得的值．【詳解】在中，由余弦定理可得．，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，或，或4．故答案為：或4．【變式1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）拋物線過(guò)點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】代入所過(guò)的點(diǎn)可求的值，從而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，故，故，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E是C的準(zhǔn)線與C的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)，根據(jù)圖形分別表示出和即可得解.【詳解】由于拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)拋物線為，則其焦點(diǎn)為，點(diǎn)是的準(zhǔn)線與的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為，點(diǎn)在上，設(shè)為，若，則，且，則.故選：B.【變式3】（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）焦點(diǎn)為的拋物線上有一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中，解得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，要滿足，則只需點(diǎn)為的垂直平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)，進(jìn)而求解即可．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中得，解得，則，所以的斜率為1，且的中點(diǎn)為，則的垂直平分線方程為，即，又的垂直平分線方程為，又，則點(diǎn)為的垂直平分線和的垂直平分線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，所以雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為.故選：C2．（23-24高三上·北京西城·期末）已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線為，則C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由于焦點(diǎn)，所以且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的漸近線，所以，結(jié)合可得，所以雙曲線的方程為.故選：D3．（23-24高三下·貴州·階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．7 B．9 C．13 D．15【答案】A【分析】由橢圓方程確定，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由橢圓可得，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值7，即的最小值為7，故選：A4．（2023·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦距等于，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】由橢圓的焦點(diǎn)在軸上確定，再根據(jù)即可求.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，根據(jù)題意可得，解得.故選：D.5．（2023·甘肅酒泉·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，

又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，即：，所以，?故選：D.6．（23-24高三下·四川·期末）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，已知到雙曲線H的一條漸近線的距離為，則為（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】D【分析】求出雙曲線的漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即得.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，令，，于是，，所以.故選：D7．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，已知，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出另一個(gè)焦點(diǎn)，利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出基本量，再求離心率即可.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，由橢圓的對(duì)稱性，可得四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，，由余弦定理得：，所以，因?yàn)?，，所以橢圓的離心率.故選：D．8．（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，就是到橢圓左焦點(diǎn)的距離；再根據(jù)橢圓的定義和“焦點(diǎn)三角形”求的值.【詳解】設(shè)，如圖，記為的左焦點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱性可知，由，設(shè)，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：B二、多選題1．（2024·遼寧·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則以下命題正確的是（

）A．的最小值是2B．C．當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，存在點(diǎn)，使得D．若是等邊三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，求出及準(zhǔn)線方程，由拋物線定義得到，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取的最小值，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，得到答案；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到；C選項(xiàng)，求出，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)為直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，求出直線的方程，得到，求出；D選項(xiàng)，得到，由拋物線定義得到點(diǎn)與點(diǎn)重合，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合得到，從而求出點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作⊥拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線定義可知，，則，故當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取的最小值，顯然，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，故的最小值為2，A正確；

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4時(shí)，令中的得，，故，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則點(diǎn)為直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，直線的方程為，即，中，令得，故點(diǎn)，此時(shí)，此時(shí)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若是等邊三角形，則，

因?yàn)?，所以，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，則⊥軸，則，又，則，所以，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，D正確；故選：ABD2．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（

）A．的最小值為4 B．為定值C．存在點(diǎn)，使得 D．【答案】BCD【分析】求出可判斷A；由橢圓的對(duì)稱性可判斷B；因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的方程可知，所以焦點(diǎn)，設(shè)，則，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的對(duì)稱性可知，，可得B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A與橢圓有交點(diǎn)，則存在點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，則，故D正確．故選:BCD．3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在拋物線上，為其焦點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長(zhǎng)的最小值為.C．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為.D．過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，的橫坐標(biāo)是1.【答案】BD【分析】A選項(xiàng)：通過(guò)拋物線方程計(jì)算可得；B選項(xiàng)：運(yùn)用拋物線定義，將轉(zhuǎn)換為到準(zhǔn)線的距離即可求出周長(zhǎng)最小值；C選項(xiàng)：將最大問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為的最大值問(wèn)題，再討論；D選項(xiàng)：結(jié)合A選項(xiàng)得到的結(jié)論，判斷四邊形的面積最小時(shí)點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)或，所以，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，如圖1，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足記為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，此時(shí)，又，所以周長(zhǎng)的最小值為，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖2，當(dāng)與圓相切時(shí)，且時(shí)，取最大．連接，，由于，，，所以，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖3，連接，，由A選項(xiàng)知，，且當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)四邊形的面積最小，的橫坐標(biāo)是1，所以D選項(xiàng)正確，故選：BD．

三、填空題1．（2024·陜西榆林·二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫出的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】依題意可得的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為或，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故答案為：（答案不唯一）.2．（23-24高三下·上?！るA段練習(xí)）若直線經(jīng)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意可以求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，進(jìn)而列出方程組解出的值，從而求出雙曲線方程.【詳解】解：雙曲線焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為：，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，且直線的斜率為，所以，解得，所以雙曲線方程為.故答案為：3．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，一個(gè)酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬，杯深，稱為拋物線酒杯.在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的最大值為.【答案】/【分析】根據(jù)圓的方程、拋物線方程以及兩點(diǎn)的距離公式建立不等式求解.【詳解】由題可知，設(shè)拋物線方程為，因?yàn)?，所以，解得，所以拋物線方程為，在杯內(nèi)放入一個(gè)小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，設(shè)玻璃球截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，可得，解得，所以玻璃球的半徑的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.四、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.過(guò)點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、，設(shè)弦、的中點(diǎn)分別為.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)焦點(diǎn)作，且垂足為，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線定義，直接代入求解；（2）設(shè)出方程，通過(guò)和拋物線方程聯(lián)立得到中點(diǎn)坐標(biāo)的含參表示，同理可得到的坐標(biāo)的含參表示，進(jìn)而得到直線方程的含參表示，再根據(jù)曲線關(guān)于軸對(duì)稱得到直線過(guò)定點(diǎn)，且該點(diǎn)在軸上，從而由已知條件得到點(diǎn)G在以為直徑的圓上，由幾何直觀得出的最大值.【詳解】（1）由題可知，，解得，或（舍）,所以，拋物線P的方程為.（2）設(shè)直線，，，聯(lián)立，可得，則得，，，同理，①時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，即，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，又，所以點(diǎn)G在以為直徑的圓上，且軌跡方程為，由幾何圖形關(guān)系可知，的最大值為3.【點(diǎn)睛】通過(guò)設(shè)而不求找到兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)的含參表示是處理直線和圓錐曲線位置關(guān)系的常用方法，也可以利用中點(diǎn)弦點(diǎn)差法；根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到直線過(guò)定點(diǎn)，且該點(diǎn)在軸上，是突破關(guān)鍵；最后將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)G在以為直徑的圓上，進(jìn)而利用幾何直觀求解.2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過(guò)的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【答案】(1)；(2)不存在，理由見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；(2)設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；(3)用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，∴雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線左支只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，易得，設(shè)，則，可得，∵，則，即，可得與不垂直，∴不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，∴，又，∴，∵，∴，且，∴，即為定值．

3．（2024·北京平谷·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線l交直線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求證：點(diǎn)F為線段CD的中點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由橢圓上