高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)第13講空間向量與距離、探究性問題(2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第13講空間向量與距離、探究性問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).考向1點(diǎn)到直線的距離【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．1【變式2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為．【變式3】（23-24高三上·山東青島·期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．考向2點(diǎn)到平面的距離規(guī)律方法(1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．【例2】2.(2023·湖北省襄陽市第四中學(xué)模擬)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為4，∠A1AB＝60°，點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O.(1)在棱BB1(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離．【變式1】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（

）.A． B． C． D．【變式3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面的距離為．考點(diǎn)二：空間中的探究性問題與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．【例3】(2023·咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長為1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P－GB1－B的平面角為30°？若存在，求BP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，已知，，，，，是線段上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2】（2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．(1)求平面與平面所成角的余弦值；(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．【變式3】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.(1)證明：平面平面；(2)試問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）平面的一個(gè)法向量為，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）“類比推理”簡(jiǎn)稱“類比”，是一種重要的邏輯推理方法，也是研究問題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要方法．下面通過“類比”所得到的結(jié)論中不正確的是（

）A．設(shè)O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)存在a，b滿足，使得．類比到空間得：設(shè)A，B，C不共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共面當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足，使得B．已知平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離為．類比到空間得：空間中點(diǎn)到平面的距離為C．設(shè)平面內(nèi)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為，，則直線的（截距式）方程為．類比到空間得：空間中不過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為，，，則平面的（截距式）方程為D．設(shè)平面內(nèi)一直線與x軸和y軸所成的角分別為，，則有．類比到空間得：設(shè)空間中一直線與x軸、y軸和z軸所成的角分別為，，，則有3．（23-24高三上·上海奉賢·期中）如圖，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（

）

A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．與平面所成的角的正弦值是D．是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離最大值為4．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．5．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P沿著棱從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來越?。虎鬯拿骟w的體積不變．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）．A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)分別是，點(diǎn)是底面內(nèi)任意一點(diǎn)（包括邊界），則三棱錐的體積的取值范圍是（

）

A． B． C． D．7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長度為二、多選題1．（23-24高三上·河北保定·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面B．C．直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到直線的距離為12．（2024·江西上饒·一模）如圖，棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與底面所成的角為30° B．到直線的距離為C．平面 D．平面3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在長方體中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．點(diǎn)到直線的距離為 D．點(diǎn)到平面的距離為三、填空題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．2．（2024·福建廈門·一模）已知平面的一個(gè)法向量為，且點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為．3．（23-24高三上·北京房山·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點(diǎn)到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.四、解答題1．（23-24高三上·天津·期末）如圖，已知平面，，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線的距離.2．（2024·山西運(yùn)城·一模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.(1)求的長度；(2)若是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.3．（2024·廣東梅州·一模）已知三棱柱中，，，且，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面的所成角為60°.如果存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說明理由.4．（23-24高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成的角為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求點(diǎn)到平面的距離.5．（23-24高三上·北京昌平·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，為棱的中點(diǎn).

(1)證明：∥平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.第13講空間向量與距離、探究性問題（2大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.以空間幾何體為載體，考查利用向量方法求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離，屬于中等難度.2.以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關(guān)系或空間角存在的條件，計(jì)算量較大，一般以解答題的形式考查，難度中等偏上．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).考向1點(diǎn)到直線的距離【例1】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意先求出直線的方向向量，然后依次求得，則到直線的距離為，求解即可.【詳解】由題意可知直線的方向向量為：，又，則，，點(diǎn)到直線的距離為：.故選：C.【變式1】（23-24高三上·北京昌平·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.【詳解】由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)檎襟w棱長為1，，所以，不妨設(shè)，所以，而，所以點(diǎn)到直線的投影數(shù)量的絕對(duì)值為，所以點(diǎn)到直線距離，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)到直線距離的最小值為.故選：C.【變式2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】1【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合到直線的距離，即可求解.【詳解】由題意知，點(diǎn)，，，可得，，則，，，所以，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：1.【變式3】（23-24高三上·山東青島·期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，先求出的夾角，在直角三角形中，得出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：根據(jù)塹堵的定義，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得.故選：B.考向2點(diǎn)到平面的距離規(guī)律方法(1)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．(2)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．【例2】2.(2023·湖北省襄陽市第四中學(xué)模擬)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為4，∠A1AB＝60°，點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O.(1)在棱BB1(含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)D使A1D⊥AC1？若存在，求出BD的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離．【解析】解(1)存在．∵點(diǎn)A1在下底面ABC上的投影為AB的中點(diǎn)O，故A1O⊥平面ABC，連接OC，由題意知△ABC為正三角形，故OC⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，A1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，2\r(3)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2\r(3)，0))，B(－2,0,0)，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，0，2\r(3)))，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，2\r(3)，2\r(3)))，設(shè)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，2\r(3)))，可得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2λ－2，0，2\r(3)λ))，∴eq\o(A1D,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2λ－2，0，2\r(3)λ－2\r(3)))，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，2\r(3)，2\r(3)))，假設(shè)在棱BB1(含端點(diǎn))上存在一點(diǎn)D使A1D⊥AC1，則eq\o(A1D,\s\up6(→))⊥eq\o(AC1,\s\up6(→))，∴4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2λ＋2))＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)λ－2\r(3)))＝0，解得λ＝eq\f(1,5)，則BD＝eq\f(1,5)BB1＝eq\f(4,5).(2)由(1)知eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，2\r(3)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2\r(3)，0))，設(shè)平面BCC1B1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BB1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋2\r(3)z＝0，,2x＋2\r(3)y＝0，))令x＝eq\r(3)，則z＝1，y＝－1，則n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，－1，1))，又eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0，－2\r(3)))，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離d＝eq\f(|\o(A1B,\s\up6(→))·n|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n)))＝eq\f(4\r(3),\r(5))＝eq\f(4\r(15),5)，即點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為eq\f(4\r(15),5).【變式1】（23-24高三下·北京·開學(xué)考試）在正四棱錐中，，與平面所成角為，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)，則平面，因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成角，即，因?yàn)?，所以，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，故，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.【變式2】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由線線平行得到線面平行，直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面法向量，得到點(diǎn)到平面的距離.【詳解】∵，平面，平面，∴平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故直線到平面的距離為.故選：C.【變式3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【分析】解法一：根據(jù)等體積法，即，列出方程解出距離即可；解法二：通過面面垂直的性質(zhì)定理得平面，最后計(jì)算長即可；解法三：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面距離.【詳解】解法一：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d．在中，，AB邊上的高為，點(diǎn)A到平面的距離為，的面積為．∵，∴，因此，故點(diǎn)到平面的距離為．解法二：如圖所示，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，，過點(diǎn)C作，垂足為D．∵，M為AB的中點(diǎn)，∴．∵，M為AB的中點(diǎn)，∴．∵，平面，∴平面，又平面，故平面平面．∵平面平面，，平面，∴平面．因此CD的長度即為點(diǎn)C到平面的距離，也即點(diǎn)到平面的距離．在中，，因此．故點(diǎn)到平面的距離為．解法三：如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO．∵，∴．以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x軸和y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，從而，，．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即，令，得，則．故點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.考點(diǎn)二：空間中的探究性問題與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)(有些是題中已給出)，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．規(guī)律方法解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．【例3】(2023·咸陽模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BB1C1C是邊長為1的正方形，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，AB＝4，∠A1B1B＝60°，G是A1B1的中點(diǎn)．(1)求證：平面GBC⊥平面BB1C1C；(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角P－GB1－B的平面角為30°？若存在，求BP的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)證明在△GBB1中，GB1＝eq\f(1,2)AB＝2，BB1＝1，∠A1B1B＝60°，則GB＝eq\r(GB\o\al(2,1)＋BB\o\al(2,1)－2GB1·BB1cos∠A1B1B)＝eq\r(3)，則GBeq\o\al(2,1)＝BBeq\o\al(2,1)＋GB2，即GB⊥BB1，又平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，且平面BB1C1C∩平面AA1B1B＝BB1，GB?平面AA1B1B，故GB⊥平面BB1C1C.又GB?平面GBC，則平面GBC⊥平面BB1C1C.(2)解存在．由(1)知，BG，BB1，BC兩兩垂直，如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BG，BB1，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，0，0))，B1(0,1,0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，t))(0≤t≤1)，則eq\o(GB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，1，0))，eq\o(B1P,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，t)).設(shè)平面PGB1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(GB1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(B1P,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)x＋y＝0，,－y＋tz＝0，))令z＝eq\r(3)，則y＝eq\r(3)t，x＝t，即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\r(3)t，\r(3))).又平面BB1G的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)，則|cos〈m，n〉|＝eq\f(\r(3),\r(t2＋3t2＋3))＝eq\f(\r(3),\r(4t2＋3))＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，解得t2＝eq\f(1,4)，又0≤t≤1，則t＝eq\f(1,2).故BP＝eq\f(1,2).【變式1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，已知，，，，，是線段上的點(diǎn)．(1)求證：底面；(2)是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）首先證明平面，可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明底面；（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）在中，，所以．在中，，由余弦定理有：，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中：，則，所以，，因?yàn)?，、平面，所以面．?）因?yàn)槠矫?，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)為面的法向量，則有，取，則，所以，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)與平面所成的角為，由題意可得，可得，因?yàn)?，所以．因此，存在點(diǎn)使得與平面所成角的余弦值為，且．【變式2】（2024·全國·一模）如圖，棱柱的所有棱長都等于2，且，平面平面．(1)求平面與平面所成角的余弦值；(2)在棱所在直線上是否存在點(diǎn)P，使得平面．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)P在的延長線，且.【分析】（1）取中點(diǎn)，先證平面.再以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法求二面角所成的余弦.（2）根據(jù)在線段上，設(shè)，再由和平面的法向量，求，即可得解.【詳解】（1）如圖：取中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)楦骼忾L均為2，且，所以是等邊三角形.所以.又因?yàn)椋?，所以是等邊三角?所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，所以可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.那么：，，，.設(shè)平面的法向量為，則，取；因?yàn)槠矫?，可取平面的法向?則，即為平面與平面所求角的余弦值.（2）因?yàn)椋O(shè)，因?yàn)樵谏希稍O(shè)，則，可得.設(shè)平面的法向量為，則，取.由.所以存在點(diǎn)P，使得平面，此時(shí)點(diǎn)P在的延長線，且.【變式3】（2024·貴州黔東南·二模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面，，，，.(1)證明：平面平面；(2)試問線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為的中點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而可證面面垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)椋移矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，則.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以令，則.因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值為，所以，解得或（舍去），所以存在滿足題意，且為的中點(diǎn).強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測(cè)）平面的一個(gè)法向量為，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算中，點(diǎn)到平面的距離公式求解即可得.【詳解】平面的一個(gè)法向量為，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：B.2．（2023高三·全國·專題練習(xí)）“類比推理”簡(jiǎn)稱“類比”，是一種重要的邏輯推理方法，也是研究問題、發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要方法．下面通過“類比”所得到的結(jié)論中不正確的是（

）A．設(shè)O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)存在a，b滿足，使得．類比到空間得：設(shè)A，B，C不共線，則A，B，C，D四點(diǎn)共面當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足，使得B．已知平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離為．類比到空間得：空間中點(diǎn)到平面的距離為C．設(shè)平面內(nèi)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為，，則直線的（截距式）方程為．類比到空間得：空間中不過坐標(biāo)原點(diǎn)的平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為，，，則平面的（截距式）方程為D．設(shè)平面內(nèi)一直線與x軸和y軸所成的角分別為，，則有．類比到空間得：設(shè)空間中一直線與x軸、y軸和z軸所成的角分別為，，，則有【答案】D【詳解】根據(jù)法向量的余弦的結(jié)論可知．D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選D．3．（23-24高三上·上海奉賢·期中）如圖，己知四棱錐的底面是直角梯形，，，，平面，，下列說法正確的是（

）

A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．與平面所成的角的正弦值是D．是線段上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離最大值為【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線線角、線面角、面面角以及點(diǎn)到面的距離問題.【詳解】，，，平面，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，，對(duì)于A，，且，，與所成的角是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以，顯然平面的法向量為，，平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，是線段上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，為中點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到平面距離為,當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以，點(diǎn)到平面距離，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，，點(diǎn)到平面距離的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由直線的方程可得直線的方向向量和所過的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合空間點(diǎn)到直線距離的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，，，則，故在上的射影為：，故點(diǎn)到直線的距離為：.故選：D.5．（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P沿著棱從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來越?。虎鬯拿骟w的體積不變．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，以及錐體體積計(jì)算公式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為，則，設(shè)，由得，，所以存在點(diǎn)，使得，所以①正確.，，所以到的距離為，的對(duì)稱軸為，而，所以隨的增大而減小，所以的面積隨的增大而減小，所以②正確.對(duì)于③，，的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離，等于到平面的距離，此距離為定值，所以四面體的體積不變.所以③正確.綜上所述，正確的有個(gè).故選：D【點(diǎn)睛】空間中，要求三角形的面積，關(guān)鍵是求點(diǎn)到直線的距離，空間向量法求點(diǎn)到直線的距離公式比較復(fù)雜，需要記憶準(zhǔn)確.空間中求三棱錐的體積，關(guān)鍵是求點(diǎn)到面的距離，本題中，到平面的距離為定值，另外，也可以利用向量法來求點(diǎn)面距.6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體的棱長為2，棱的中點(diǎn)分別是，點(diǎn)是底面內(nèi)任意一點(diǎn)（包括邊界），則三棱錐的體積的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的面積，求得平面的法向量為，設(shè)，求得點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求得體積的取值范圍.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以，所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，由，則，所以的面積，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)，則，所以點(diǎn)到平面的距離，所以，又因?yàn)?，所以，?故選：C.

7．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最小時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的距離公式，求得點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，利用夾角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，設(shè)是平面的法向量，則，令，可得，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中不正確的是（）A．若平面，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段B．存在Q點(diǎn)，使得平面C．當(dāng)且僅當(dāng)Q點(diǎn)落在棱上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐的體積最大D．若，那么Q點(diǎn)的軌跡長度為【答案】B【分析】取中點(diǎn)，證明平面，得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由與此法向量平行確定點(diǎn)位置，判斷B，利用空間向量法求得到到平面距離的最大值，確定點(diǎn)位置判斷C，利用勾股定理確定點(diǎn)軌跡，得軌跡長度判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，分別取中點(diǎn)，連接，，由與，平行且相等得平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，連接，，，所以，同理平面，，平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，所以平面，即點(diǎn)軌跡是線段，A正確；選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)（），，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，則，若平面，則，所以存在，使得，，解得，因此正方形內(nèi)（含邊界）不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)，三棱錐的體積最大，，到平面的距離為，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，d有最大值1，時(shí)，，時(shí)，d有最大值，綜上，時(shí)，d取得最大值1，故與重合時(shí)，d取得最大值，三棱錐的體積最大，C正確；選項(xiàng)D，平面，平面，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，圓心角是，軌跡長度為，D正確．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過且與平面平行的平面，由體積公式，在正方形內(nèi)的點(diǎn)到平面的距離最大，則三棱錐體積最大．二、多選題1．（23-24高三上·河北保定·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面B．C．直線與所成角的余弦值為D．點(diǎn)到直線的距離為1【答案】BCD【分析】對(duì)于A，假設(shè)四點(diǎn)共面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理推出矛盾的結(jié)論，即可判斷；對(duì)于B，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量的數(shù)量積，即可判斷位置關(guān)系；對(duì)于C，利用空間角的向量求法即可判斷，對(duì)于D，利用空間距離的向量求法，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，假設(shè)四點(diǎn)共面，連接，在正方體中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又，則四邊形為平行四邊形，故，所以，與與不平行矛盾，故四點(diǎn)不共面，故錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，所以，所以，所以，則，故B正確；又，所以，所以，而異面直線所成角的范圍為，所以直線與所成角的余弦值為，故正確；因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：BCD.2．（2024·江西上饒·一模）如圖，棱長為1的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與底面所成的角為30° B．到直線的距離為C．平面 D．平面【答案】BC【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，對(duì)A，可借助空間向量計(jì)算直線與底面所成角的正弦值即可判斷；對(duì)B，借助空間中點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可得；對(duì)C，借助空間向量可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可得；對(duì)D，假設(shè)平面，則有，結(jié)合空間向量計(jì)算可得與不垂直，故假設(shè)不成立，即可得解D.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、，對(duì)A：由，，故，易得平面的法向量可為，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，，有，又，故，故B正確；對(duì)C：由，，故，又，有，故，又平面，平面，故平面，故C正確；對(duì)D：由，，故，又，有，故與不垂直，若平面，由平面，則會(huì)有，與已知矛盾，故假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在長方體中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．平面C．點(diǎn)到直線的距離為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A,根據(jù)線線平行即可判斷B，根據(jù)向量法即可求解空間距離，判斷CD.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，．

A，，，所以A錯(cuò)誤；B，顯然，平面,平面,可得平面，所以B正確；C，記直線的單位方向向量為，則，又，所以向量在直線上的投影向量為，則有到直線的距離為，故C正確；D，設(shè)平面的法向量為，由，令，可得，又，所以點(diǎn)到平面的距離，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】【分析】根據(jù)空間向量求解即可.【詳解】由題可知，則，，故點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：2．（2024·福建廈門·一模）已知平面的一個(gè)法向量為，且點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【分析】由題設(shè)得，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】由題設(shè)，則點(diǎn)到的距離為.故答案為：3．（23-24高三上·北京房山·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點(diǎn)到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.【答案】①②④【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后逐個(gè)分析即可得.【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、，則、、、、、、，設(shè)，，則，，故，故①正確；設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，有，故，又平面，則平面，故②正確；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，即，即此時(shí)直線與直線所成角為，故③錯(cuò)誤；由，，則，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)空間中線上動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)出未知數(shù)表示該動(dòng)點(diǎn)分線段所得比例，從而用未知數(shù)的變化來體現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的變化.四、解答題1．（23-24高三上·天津·期末）如圖，已知平面，，，，，，.(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，證明，即可解決；（2）寫出平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，通過，即可求解；（3）利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，，所以平面，且平面，所以平面.（2）由題知，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為.（3），，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即點(diǎn)到直線的距離為.2．（2024·山西運(yùn)城·一模）如圖，在矩形紙片中，，，沿將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，點(diǎn)在平面的射影落在邊上.(1)求的長度；(2)若是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，說明理由.【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用投影性質(zhì)以及線面垂直性質(zhì)可得，再利用三角形相似可求得；（2）建