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文檔簡介

2正交矩陣的性質(zhì)第八節(jié)正交矩陣1正交矩陣的定義正交矩陣有以下幾種等價定義.

定義1：

A為n階實矩陣,若ATA=E,則稱A為正交矩陣.

定義2：

A為n階實矩陣,若AAT=E,則稱A為正交矩陣.

定義3：

A為n階實矩陣,若AT=A-1,則稱A為正交矩陣.

定義4：

A為n階實矩陣，若A的n個行（列）向量是兩兩正交的單位向量，則稱A為正交矩陣.一、正交矩陣的定義例如，單位矩陣E為正交矩陣.

再如，矩陣也為正交矩陣.

一、正交矩陣的定義

性質(zhì)1：

設(shè)為A正交矩陣，則：

1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩陣；

3）AT，A*也是正交矩陣.

證：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1.

對正交矩陣A，當(dāng)|A|=1時，我們稱A為第一類正交矩陣；當(dāng)|A|=-1時，則稱A為第二類正交矩陣.2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又(A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E.故A-1是正交矩陣.3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩陣.而A*=|A|A-1=A-1,有(A*)T=(A-1)T=A=(A*)-1,故A*是正交矩陣.二、正交矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2

設(shè)A，B都是正交矩陣，則：1)AB，Am(m為自然數(shù)),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩陣；

證:1)由AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，所以AB為正交矩陣，從而再由性質(zhì)1可推知:Am(m為自然數(shù)),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA均為正交矩陣。二、正交矩陣的性質(zhì)二、正交矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)3:

1）設(shè)A，B為正交矩陣，且|A|=-|B|，則A+B必不可逆；

2）設(shè)為A，B奇數(shù)階正交矩陣，且|A|=|B|，則必A-B不可逆.

證：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A|=-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B|得|A+B|=0,即A+B不可逆.2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A|=|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1

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