第18章 平行四邊形知識(shí)清單-正方形的性質(zhì)和判定 2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

第五課時(shí)正方形的性質(zhì)與判定【課前預(yù)習(xí)】【知識(shí)點(diǎn)1正方形的定義】有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．【知識(shí)點(diǎn)2正方形的性質(zhì)】①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．【知識(shí)點(diǎn)3正方形的判定】①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．【題型分類】【1】正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）【2】正方形的性質(zhì)（求線段的長度）【3】正方形的性質(zhì)（求面積、周長）【4】正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）【5】正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用【6】判定正方形成立的條件【7】正方形判定的證明【8】正方形的判定與性質(zhì)綜合【課堂互動(dòng)】【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例1】如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊△ADE，則∠ABE的度數(shù)是．【訓(xùn)練1-1】如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，BE交AD于點(diǎn)F，∠ADE＝75°，則∠AFB＝°．【訓(xùn)練1-2】如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝°．【訓(xùn)練1-3】在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．連接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)．【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長度）】【例2】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為．【訓(xùn)練2-1】邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC、FD，點(diǎn)G，H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連結(jié)GH，則GH的長為．【訓(xùn)練2-2】如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在CD上，AB＝5，CE＝2，T為AF的中點(diǎn)，求CT的長．【訓(xùn)練2-3】正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°．（1）求證：EF＝AE+CF；（2）當(dāng)AE＝1時(shí)，求EF的長．【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長）】【例3】正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE＝CF，線段BF、AE相交于點(diǎn)O，若圖中陰影部分的面積為14，則△ABO的周長為．【訓(xùn)練3-1】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)H．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為3：4，則△BCH的周長為（）A．25?4 B．25 C．25+4 D．2【訓(xùn)練3-2】如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（）A．14 B．16 C．18 D．12【訓(xùn)練3-3】將5個(gè)邊長為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，A3，A4是正方形的中心，則這個(gè)正方形重疊部分的面積和為（）A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】【例4】如圖，若在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長線上一點(diǎn)，且DE＝DF，則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【訓(xùn)練4-1】如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作AM⊥DE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．（1）直接寫出OE與OF的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長線上，AM⊥DE于點(diǎn)M，AM交BD的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變．試探究OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【訓(xùn)練4-2】四邊形ABCD是正方形，G是直線BC上任意一點(diǎn)，BE⊥AG于點(diǎn)E，DF⊥AG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)（如圖1），易證DF﹣BE＝EF．（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長線上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)G在CB延長線上時(shí)，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【訓(xùn)練4-3】如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O．（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式直接寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【題型5正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】【例5】（1）如圖1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長．【訓(xùn)練5-1】已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長線于點(diǎn)P．（1）求證：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的邊長為4，求△ACP的面積；（3）求證：CP＝BM+2FN．【訓(xùn)練5-2】如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的任意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【訓(xùn)練5-3】在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OC上，點(diǎn)F在線段AB上，連接BE，連接EF交BD于點(diǎn)M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如圖1，求證：EB＝EF；（2）如圖2，點(diǎn)N在線段EF上，AN＝EN，AN延長線交DB于H，連接DF，求證：DF=2AH【題型6判定正方形成立的條件】【例6】下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①對(duì)角線互相垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；③對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【訓(xùn)練6-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【訓(xùn)練6-2】已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90?，③AC＝BD，④AC⊥BD選①② B．選①③ C．選②③ D．選②④【訓(xùn)練6-3】如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是．【題型7正方形判定的證明】【例7】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．【訓(xùn)練7-1】已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是兩銳角平分線的交點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，求證：四邊形CDEF是正方形．【訓(xùn)練7-2】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝°時(shí)，四邊形MPND是正方形，并說明理由．【訓(xùn)練7-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)、F是AC中點(diǎn)，AN是△ABC的外角∠MAC的平分線，延長DF交AN于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，則四邊形ADCE的面積為多少？（3）直接回答：當(dāng)△ABC滿足時(shí)，四邊形ADCE是正方形．【題型8正方形的判定與性質(zhì)綜合】【例8】四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的長度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【訓(xùn)練8-1】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝42，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE、過點(diǎn)E作EF⊥DE．交BC點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【訓(xùn)練8-2】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AD于點(diǎn)F，DG