拓?fù)鋵W(xué)自學(xué)材料

PAGEPAGE6《拓?fù)鋵W(xué)》自學(xué)材料課程名稱：拓?fù)鋵W(xué)；英文名稱：Topology；課程類型:必修課先修課程：數(shù)學(xué)分析解析幾何高等代數(shù)近世代數(shù)集合論一、課程性質(zhì)、目的和任務(wù)拓?fù)鋵W(xué)是十分重要的基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)分支，它的許多概念、理論和方法在數(shù)學(xué)的其他分支中有著廣泛的應(yīng)用，同時在物理學(xué)等方面也有許多應(yīng)用。本課程的任務(wù)是學(xué)習(xí)拓?fù)淇臻g、子空間、積空間和拓?fù)浠母拍詈突拘再|(zhì)，連續(xù)映射的基本概念和性質(zhì)，連通空間、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的基本內(nèi)容以及它們之間的關(guān)系，有關(guān)可數(shù)性公理的四個空間以及它們之間的關(guān)系，正則、正規(guī)和完全正則空間，通過對本課程的學(xué)習(xí)，要求如下：1、熟練掌握拓?fù)淇臻g的概念與性質(zhì)，連續(xù)映射的概念、性質(zhì)和判別，拓?fù)淇臻g的子空間與積空間的概念。2、掌握鄰域、開集、導(dǎo)集、閉集、閉包、內(nèi)部的概念、性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系。3、掌握拓?fù)淇臻g中基的概念和用基確定拓?fù)涞姆椒?，了解子基的概念?、掌握連通空間、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的概念，簡單性質(zhì)以及它們之間的關(guān)系，了解連通性的某些簡單應(yīng)用。5、掌握第一與第二可數(shù)性公理，可分空間，Lindeloff空間的概念和它們之間的關(guān)系。6、掌握正則、正規(guī)和完全正則空間的概念和它們之間的關(guān)系，了解Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理，了解第二可數(shù)且是的空間是可度量化空間。學(xué)習(xí)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的目的是使讀者認(rèn)識拓?fù)淇臻g的基本特征和研究方法，從而把歐式空間連續(xù)函數(shù)的概念拓廣到一般的拓?fù)淇臻g上，使讀者更深入的掌握代數(shù)與分析的知識。其后繼課程有代數(shù)拓?fù)?、幾何拓?fù)涞?。本課程的理論和由它創(chuàng)造的數(shù)學(xué)方法已滲入到每一個重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。二、課程和基本要求1.點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)是拓?fù)鋵W(xué)的一個分支，上世紀(jì)末，由于分析理論的深入發(fā)展，以及集合論的出現(xiàn)，使得人們得以用集合論的觀點(diǎn)和方法對諸如極限以及連續(xù)性等理論加以抽象和推廣，從而在本世紀(jì)初形成了點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)。時至今日，拓?fù)鋵W(xué)早已獲得迅猛發(fā)展，滲透并溝通了許多數(shù)學(xué)分支及其鄰近學(xué)科，它和《代數(shù)學(xué)》構(gòu)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大支柱。拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)和方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至整個科技領(lǐng)域中的重要性早已無庸置疑了。點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)現(xiàn)已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)必修的新三基課程之一。本課程在讀者具備集合論基礎(chǔ)知識、對分析中函數(shù)性質(zhì)與連續(xù)性有較深理解基礎(chǔ)上，研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)研究任意抽象集合的空間形式和數(shù)量關(guān)系，點(diǎn)集拓?fù)涫乾F(xiàn)代數(shù)學(xué)的主要分支之一。因此，它具有高度抽象性，培養(yǎng)讀者邏輯思維，提高讀者獨(dú)立思考和解決問題能力。本門課程研究一方面是歐氏空間、度量空間理論的推廣，另一方面它又是學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。所以認(rèn)真學(xué)習(xí)《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》課是十分重要的。通過本課程的學(xué)習(xí)與作業(yè)，應(yīng)使讀者初步掌握《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》的基本內(nèi)容和方法，從而能以較深刻的觀點(diǎn)加深對古典分析、函數(shù)論以及幾何學(xué)中若干問題的認(rèn)識和理解，拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)和方法應(yīng)成為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)高深理論的基礎(chǔ)。本課程選用教材是熊金城先生編寫的教材《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義》(第三版)，學(xué)習(xí)教材中的一至七章。其中第一章是關(guān)于集合的基礎(chǔ)知識，第二章和第三章是全書的理論基礎(chǔ)，第四章和第七章討論幾個最為重要的拓?fù)湫再|(zhì)，因此第二章至第七章是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的核心，屬于必學(xué)內(nèi)容.2.學(xué)習(xí)時重視動手能力，多畫草圖幫助理解。三、課程各章重點(diǎn)與難點(diǎn)、要求與內(nèi)容第一章集合論初步點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)(Point-setTopology)現(xiàn)稱一般拓?fù)鋵W(xué)(GeneralTopology),它的起源與出發(fā)點(diǎn)都是集合論.作為基本的點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)知識,所需的只是一些樸素集合論的預(yù)備知識.本章介紹本書中要用到的一些集合論內(nèi)容,主要涉及集合及集族的運(yùn)算、等價關(guān)系、映射、可數(shù)集、選擇公理等.作為一教材,講義對各部分內(nèi)容均有較系統(tǒng)的論述,作為授課,我們只強(qiáng)調(diào)一些基本內(nèi)容,而對已有過了解的知識不提或少提.記號:分別表示整數(shù)集,正整數(shù)集,實(shí)數(shù)集和有理數(shù)集.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：集合的基本概念、運(yùn)算，映射的概念；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：選擇公理一.集合的運(yùn)算冪集,交、并、差－(補(bǔ),余).運(yùn)算律:DeMorgan律:(1).(2)利用集合的包含關(guān)系證明(1).類似可定義任意有限個集的交或并,如記.規(guī)定個集的并是,不用個集的交.二.關(guān)系是集合的一個關(guān)系,即記為稱與是相關(guān)的.稱為自反的,若,稱為對稱的,若,則，稱為傳遞的,若,則.

等價關(guān)系:自反、對稱、傳遞的關(guān)系.如恒同關(guān)系,是等價關(guān)系;小于關(guān)系，是傳遞的,但不是對稱的、不是自反的.設(shè)是上等價關(guān)系,的等價類或等價類或?yàn)榈脑Q為的代表元;商集.定理1.4.1設(shè)是非空集合的等價關(guān)系,則(1);(2)，或者或者；證(2).設(shè),則,于是且,于是.三.映射函數(shù)：.像：；原像：滿射、單射、一一映射(雙射)、可逆映射、常值映射、恒同映射、限制、擴(kuò)張、內(nèi)射集合,笛卡兒積到第個坐標(biāo)集的投射定義為,其中.對等價關(guān)系集合到商集的自然投射定義為.四.集族數(shù)列,有標(biāo)集族,指標(biāo)集Γ,與不同,可記有標(biāo)集族A;類似地,定義其并(或∪A)、交(或∩A),不定義0個集的交.與有限集族有相同的運(yùn)算律,如DeMorgan律,映射對應(yīng)的集族性質(zhì):,五.無限集通過一一映射來確定兩集合的個數(shù)的多少.有限集(或與某}有一一映射),無限集,可數(shù)集(或存在到Z+的單射),不可數(shù)集.易驗(yàn)證:有限集是可數(shù)集,可數(shù)集的子集是可數(shù)集,可數(shù)集的映像是可數(shù)集.定理1.7.3是可數(shù)集是的映像.由此,是可數(shù)集,兩可數(shù)集的笛卡兒積集是可數(shù)集,可數(shù)個可數(shù)集之并集是可數(shù)集.定理1.7.8是不可數(shù)集.利用Cantor對角線法證明開區(qū)間中的實(shí)數(shù)不可數(shù).直觀上,集合中元素的個數(shù)稱為該集合的基數(shù),記為,或..若存在從集合到集合的單射,則定義.連續(xù)統(tǒng)假設(shè):不存在基數(shù),使得.選擇公理:若A是由非空集構(gòu)成的集族,則A,可取定.由選擇公理可證明,若是基數(shù),則下述三式中有且僅有一成立:第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射本章是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)中之基礎(chǔ),從度量空間及其連續(xù)映射導(dǎo)入一般拓?fù)鋵W(xué)中最基本的兩個概念:拓?fù)淇臻g、連續(xù)映射,分析了拓?fù)淇臻g中的開集、鄰域、聚點(diǎn)、閉集、閉包、內(nèi)部、邊界、基與子基的性質(zhì)，幾種不同的角度生成拓?fù)淇臻g，及刻畫拓?fù)淇臻g上的連續(xù)性.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射,鄰域與鄰域系；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：基與子基；可度量化間2.1度量空間與連續(xù)映射在上,表示點(diǎn)與之間的距離.絕對值是一非負(fù)函數(shù),具有三條重要性質(zhì).定義2.1.1設(shè)是一集合,.如果滿足正定性、對稱性和三角不等式,則稱是的一個度量.稱為度量空間,表示兩點(diǎn)之間的距離.例2.1.1實(shí)數(shù)空間.的通常度量.例2.1.2維歐氏空間.對于,記定義為的通常度量,維歐氏空間.稱為歐氏平面或平面.例2.1.3Hilbert空間H.,易證為度量則度量空間稱為Hilbert空間.例2.1.4離散度量空間.度量空間稱為離散的,若,使得不存在中的點(diǎn),滿足.如對集合,按如下方式定義是上的離散度量:定義2.1.2設(shè)是度量空間稱為以為心,為半徑的球形鄰域或鄰域,或球形鄰域.對(R,|.|).. 定理2.1.1度量空間的球形鄰域具有性質(zhì):(1)(2)；(3)若使；證(2)；(3)定義2.1.3的子集稱為的開集,若.每一球形鄰域是開集.例2.1.5中的開區(qū)間是開集.讓則同樣可證,無限開區(qū)也是開集.閉區(qū)間不是開集.定理2.1.2度量空間的開集具有以下性質(zhì):(1)是開集;(2)兩開集的交是開集;(3)任意開集族之并是開集.證(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定義2.1.4設(shè)是度量空間,稱為的鄰域,若有開集,使.定理2.1.3是中點(diǎn)的鄰域.若存在,使.定義2.1.5設(shè)是兩度量空間.,,稱在連續(xù),若的球形鄰域存在的球形鄰域,使稱在連續(xù),若在的每一點(diǎn)連續(xù).定理2.1.4設(shè)是兩度量空間.,,那么(1)在連續(xù)，若是的鄰域,則是的鄰域;(2)在連續(xù)，若是的開集,則是的開集.證(1)利用定義2.1.5,2.1.4.(2)“”是每一點(diǎn)的鄰域.“”證每一點(diǎn)連續(xù),利用(1).由此可見,度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關(guān).它導(dǎo)入建立比度量空間更一般的拓?fù)淇臻g的概念及其連續(xù)性.2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射定義2.2.1設(shè)是集合的子集族,若滿足:稱是的一個拓?fù)涫峭負(fù)淇臻g,的元稱為的開集.

空間的拓?fù)涫堑娜w開集的族.定義2.2.2度量空間.由的所有開集構(gòu)成的族.稱為由度量誘導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g.簡稱為度量拓?fù)?度量空間一定是拓?fù)淇臻g.例2.2.1平庸拓?fù)淦接箍臻g.例2.2.2離散拓?fù)?離散空間的每一子集是開集.由離散度量空間導(dǎo)出的拓?fù)涫请x散拓?fù)?例2.2.4有限補(bǔ)拓?fù)?驗(yàn)證是上的拓?fù)?(1)顯然.(2)討論時分兩種情形,(1)中有一是,(2)都不是;（3）,不妨設(shè)利用DeMorgan律.有限補(bǔ)空間.例2.2.5可數(shù)補(bǔ)拓?fù)涠x2.2.3可度量化空間.離散空間是可度量化空間.多于一點(diǎn)的平庸空間不是可度量化空間.度量化問題是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)研究的中心問題之一.本書將在6.6中給出該問題的一個經(jīng)典的解. 定義2.2.4是兩拓?fù)淇臻g.稱連續(xù),若中每一開集的原象是中的開集.定理2.2.1恒同映射連續(xù).連續(xù)函數(shù)的復(fù)合是連續(xù)的.定義2.2.5稱為同胚或同胚映射,若f是一一映射且及均連續(xù).定義2.2.6稱兩空間與同胚,或同胚于,若存在從到的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(與同胚);同胚同胚(若與同胚,則與同胚);同胚的復(fù)合是同胚(若與同胚,且與同胚,則與同胚). 空間的同胚關(guān)系是等價關(guān)系.拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù):研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).抽象化過程:歐氏空間→度量空間→拓?fù)淇臻g;點(diǎn)距離→度量→開集.2.3鄰域定義2.3.1設(shè)是拓?fù)淇臻g.稱為的鄰域,如果存在使;若是開的,稱為的開鄰域.定理2.3.1設(shè)是的開集是它的每一點(diǎn)的鄰域.證由定義得“”;利用開集之并為開得“”.在的所有鄰域構(gòu)成的族稱為的鄰域系,記為Ux.定理2.3.2Ux的性質(zhì):(1)Ux;Ux,;(2)Ux,Ux;(3)Ux且Ux;(4)UxUx使且Uy.證由定義2.3.1得(1);由開集的交是開集得(2);由定義2.3.1得(3);取為滿足的開集.由鄰域系出發(fā)可建立拓?fù)淇臻g的理論,顯得自然,但不流行.利用鄰域與開集的關(guān)系(定理2.3.1)導(dǎo)出開集,從Ux具有定理2.3.2的性質(zhì)的(1)-(4)出發(fā),定義Ux,則是拓?fù)淇臻g,且這空間中每一點(diǎn)的鄰域系恰是Ux.詳見定理2.3.3.定義2.3.2(點(diǎn)連續(xù))映射稱為在點(diǎn)連續(xù),如果是在Y中的鄰域,則是在中的鄰域.定理2.1.4保證了在度量空間中點(diǎn)的連續(xù)性與由度量導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g中的點(diǎn)的連續(xù)性的一致.另一方面,關(guān)于點(diǎn)的連續(xù)性,易驗(yàn)證(定理2.3.4),恒等映射在每一點(diǎn)連續(xù),兩點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)之復(fù)合仍是點(diǎn)連續(xù)的.定義2.2.4與定義2.3.2所定義的“整體”連續(xù)與每一“點(diǎn)”連續(xù)是一致的.定理2.3.5設(shè)則連續(xù)在每一連續(xù).證“”若是的鄰域,開集使,“”若是的開集,,是的鄰域,是的鄰域,所以在中開.2.4導(dǎo)集、閉集、閉包定義2.4.1設(shè)稱為的聚點(diǎn)(凝聚點(diǎn),極限點(diǎn)),如果的每一鄰域中有中異于的點(diǎn),即.的全體聚點(diǎn)之集稱為的導(dǎo)集,記為稱為的孤立點(diǎn),若不是的聚點(diǎn),即存在的鄰域使,即例2.4.1是離散空間.若,則.取U={x},則所以.例2.4.2是平庸空間,若,則;若,則;若,則.對于,若是的鄰域,則,于是由此,易計(jì)算.定理2.4.1,則(1);(2);(3);(4)證由定義2.4.1得(1)和(2).關(guān)于(3).由(2)得.設(shè),分別存在的鄰域使得,令,則.

關(guān)于(4).設(shè),存在的鄰域,使得取的開鄰域,則.定義2.4.2稱為的閉集,如果.定理2.4.2閉開.證“”,由于,存在的鄰域使，于是.“”所以.例2.4.3的閉區(qū)間是閉集.開集.不是閉集,因?yàn)槭蔷埸c(diǎn).定理2.4.3記F是空間的全部閉集族,則(1)F;(2)FF;(3)F對任意交封閉.證利用DeMorgan定律及拓?fù)涞亩x.F直接驗(yàn)證可得(1)、(2)、(3)Cantor集(例2.4.4)是集合論、點(diǎn)集拓?fù)浠驅(qū)嵶兒瘮?shù)論中是具有特別意義的例子,它說明中的閉集可以是很復(fù)雜的,在此不介紹.定義2.4.3)稱為的閉包,記為.定理2.4.5對,有(1);(2);(3)(4).證(3).(4)上述4條確定了閉包運(yùn)算,稱為Kuratowski閉包公理,由此可建立拓?fù)淇臻g的概念.事實(shí)上阿記此運(yùn)算為,定義,則是拓?fù)淇臻g,且這空間中每一,詳見定理2.4.8.關(guān)于閉包的幾個相關(guān)結(jié)果:(1)對的任一鄰域有.(定義2.4.3后)(2)；(3)閉.(定理2.4.4)

(4)是閉集.(定理2.4.6)(5)是包含的所有閉集之交,是包含的最小閉集.(定理2.4.7:設(shè)F是包含的所有閉集之交,則,所以.)定義2.4.5是度量空間.對非空的定義.定理2.4.9對度量空間的非空子集(1);(2).證明：定理2.4.10設(shè),則下述等價(1)連續(xù);(2)若閉于,則閉于;(3)證明；是的閉集，是的開集，是的開集,是的閉集..設(shè)是的開集，是的閉集且是閉，是開.2.5內(nèi)部、邊界定義2.5.1若是的鄰域,則稱是的內(nèi)點(diǎn).的所有內(nèi)點(diǎn)的集合稱為的內(nèi)部,記為.定理2.5.1對證明：由于于是從而反之的鄰域，因此，.從而.定理2.5.3對,有(1);；；.證明：（1），（2）是顯然的.而關(guān)于內(nèi)部的幾個結(jié)果：（1）是的鄰域；(2)是開集；（3）是開集；（4）是所包含的所有開集之并，是含于內(nèi)的最大開集.證明：是開集（3）A開閉（4）設(shè)是含于內(nèi)的所有開集之并，所以證明：（3）.2.6基與子基度量空間球形鄰域開集拓?fù)?在度量空間中球形鄰域的作用就是拓?fù)淇臻g中基的作用.定義2.6.1設(shè)是空間的拓?fù)?B,如果中每一元是B中某子集族之并,稱B是的基.所有單點(diǎn)集的族是離散空間的基.定理2.6.2設(shè)B,B為的基及的鄰域,使.證“”存在開集使得,B1B使得B1,B1B使;“”設(shè),B使,從而B且在度量空間中,所有球形鄰域的族是度量拓?fù)涞幕?定理2.6.1).所有開區(qū)間的族是的基.定理2.6.3拓?fù)淇臻g的基B滿足:(i)B;(ii)B,B,.反之,若集合的子集族B滿足(1)、(2),定義,則是的以B作為基的唯一拓?fù)?證驗(yàn)證是的拓?fù)?(1).(2)先設(shè)B,,B使,于是.如果,設(shè)B1,B2,則B1,B2}..(3)設(shè)BAB,使得BA,那么BA|.較強(qiáng)于(ii)且易于驗(yàn)證的條件是(ii)B,B.例2.6.1實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g.令B,則B為上一拓?fù)涞幕?這空間稱為實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g,記為開區(qū)間是中的開集,因?yàn)?定義2.6.2設(shè)是拓?fù)淇臻g,S.若S的元之所有有限交構(gòu)成的族是的基,則稱S是的子基.S的元之有限交構(gòu)成的族S,.顯然,空間的基是子基.例2.6.2S是的子基.對照定理2.6.3,集合的子集族S要作為子基生成上的拓?fù)涞某湟獥l件是∪S.(定理2.6.4)映射的連續(xù)性可用基、子基來刻畫或驗(yàn)證.定理2.6.5設(shè)是兩拓?fù)淇臻g,,下述等價:(1)連續(xù);(2)基B,使得B中每一元的原像在中開;(3)有子基S,使得S中每一元的原像在中開.證(3)(2)設(shè)B是S的元之所有有限交構(gòu)成的族,則B滿足(2).(2)(1)設(shè)在中開,則B1,于是B1在中開.類似地,可定義點(diǎn)的鄰域基與鄰域子基的概念,同時用它們來驗(yàn)證映射的連續(xù)性等.在第五章中定義第一可數(shù)性時再介紹這些概念.2.7拓?fù)淇臻g中的序列可以與中一樣地定義序列、常值序列、子序列,見定義2.7.1,2.7.3..定義2.7.2中序列極限,收斂序列.平庸空間中任意序列收斂于空間中的任一點(diǎn).數(shù)學(xué)分析中的一些收斂性質(zhì)還是保留的,如常值序列收斂,收斂序列的子序列也收斂.(定理2.7.1)定理2.7.2中序列證的鄰域所以.定理2.7.3在連續(xù)且證設(shè)是的鄰域,則是的鄰域,,當(dāng)時有,從而.上述兩定理的逆命題均不成立.例2.7.1設(shè)是不可數(shù)集賦予可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?則(1)在中,當(dāng)時有;(2)若是的不可數(shù)子集,則.證（1）的必要性，令，則是的鄰域，時有，即證的鄰域（可數(shù)集），所以定理2.7.2的逆命題不真.如例2.7.1,取定,讓,則,但中沒有序列收斂于.定理2.7.3的逆命題不真.取是實(shí)數(shù)集賦予可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?讓是恒等映射,若在中,則在中,但在不連續(xù),因?yàn)樵诘拈_鄰域的原像在中不是開的.定理2.7.4設(shè)是度量空間中的序列,則.證的鄰域,當(dāng)時有當(dāng)i>n時有當(dāng)時有.

第三章子空間、積空間、商空間介紹三種從原有的拓?fù)淇臻g或拓?fù)淇臻g族構(gòu)造新空間的經(jīng)典方法,引入遺傳性、可積性、可商性等概念,這些是研究拓?fù)湫再|(zhì)的基本構(gòu)架.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：子空間與積空間；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：子空間、（有限）積空間和商空間3.1子空間對于空間的子集族A及,A在上的限制A|YA.(定義3.1.2)引理3.1.2設(shè)是空間的子集,則是上的拓?fù)?證按拓?fù)涞娜齻€條件逐一驗(yàn)證.如,設(shè),使得,于是定義3.1.3對稱為的子空間,稱為相對拓?fù)?“子空間”=“子集”+“相對拓?fù)洹?易驗(yàn)證,若是的子空間,且是的子空間,則是的子空間.(定理3.1.4),定理3.1.5(3.1.7)設(shè)是的子空間,,則(1)若分別為的拓?fù)?則;(2)若F,F*分別為的全體閉集族,則F*=F|Y;(3)若Uy,Uy*分別為在中的鄰域系,則Uy*=U;(4)若B是的基,則B|Y是的基.證(2)F*.(4)開于,存在的開集,使得,B1B,滿足B1,則(B1|Y).在的子空間中是閉集.定理3.1.6設(shè)是的子空間,,則證(1)在中的鄰域,所以.反之,設(shè),在中的鄰域在中的鄰域使,于是,所以.(2).3.2有限積空間就平面的球形鄰域而言,我們知道球形鄰域內(nèi)含有方形鄰域,方形鄰域內(nèi)含有球形鄰域.從基的角度而言,形如的集合就是平面拓?fù)涞幕?對于兩個拓?fù)淇臻g,在笛卡兒積集中可考慮形如的集合之全體,其中分別是的開集.對于有限個空間,可考慮形如的集合.定理3.2.2設(shè)是個拓?fù)淇臻g,則有唯一的拓?fù)?以的子集族B為它的一個基.證驗(yàn)證B滿足定理2.6.3的條件(i),(ii).(1)B,∪B=X;(2)若B,則B.

定義3.2.2以定理3.2.2中B為基生成上的唯一拓?fù)?稱為拓?fù)涞姆e拓?fù)?稱為的(有限)積空間.定理3.2.4設(shè)是積空間,Bi是的基,則BBi,是積拓?fù)涞幕?證利用定理2.6.2.設(shè)使Bi使,那么.例3.2.1形如的集合構(gòu)成的基.設(shè)是兩個度量空間.令,則是上的度量,導(dǎo)出上的度量拓?fù)?對于個度量空間之積可類似地定義.(定義3.2.1)定理3.2.1度量空間的有限積:積拓?fù)渑c度量拓?fù)湟恢?驗(yàn)證的情形.易驗(yàn)證于是每一是積拓?fù)涞拈_集,且每一是度量拓?fù)涞拈_集,所以導(dǎo)出相同的拓?fù)?定理3.2.5有限積空間以S為子基,其中是的拓?fù)?是投射.僅證的情形.,所以B.定義3.2.3稱為開(閉)映射,若開(閉)于,則開(閉)于.定理3.2.6是滿、連續(xù)、開映射,未必是閉映射.由于,所以連續(xù).由于,所以是開的.但是不是閉的.定理3.2.7設(shè)映射其中是積空間.則連續(xù)連續(xù).證充分性.對的子基S開于.多元函數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它的每一分量連續(xù).定理3.2.8積拓?fù)涫鞘姑恳煌渡涠歼B續(xù)的最小拓?fù)?即設(shè)是積空間的積拓?fù)?若集合的拓?fù)錆M足:每一投射連續(xù),則.證由于，所以.3.3商空間回憶,商集,及自然投射定義為.問題:設(shè)是拓?fù)淇臻g,要在上定義拓?fù)?使連續(xù)的最大的拓?fù)?討論更一般的情形,設(shè)是拓?fù)淇臻g且是滿射.賦予集合什么拓?fù)?使連續(xù)的最大的拓?fù)?若連續(xù),且是的開集,則是的開集.讓,易驗(yàn)證是上的拓?fù)?定義3.3.1(3.3.2)稱是的相對于滿射而言的商拓?fù)?稱為商映射.這時,在中開在中開;在中閉在中閉.

定理3.3.1商拓?fù)涫鞘惯B續(xù)的最大拓?fù)?證設(shè)是商映射.顯然,是連續(xù)的.如果是的拓?fù)涫惯B續(xù),則,于是即,所以是使f連續(xù)的最大拓?fù)?定理3.3.2設(shè)是商映射.對于空間,映射連續(xù)映射連續(xù).證設(shè)連續(xù),開于開于由于是商映射,所以開于,故連續(xù).定理3.3.3連續(xù),滿開(閉)映射商映射.證設(shè)是連續(xù)的滿開(閉)映射,是的相對于而言的商拓?fù)?要證.由定理3.3.1,.反之,.對于開映射的情形,對于閉映射的情形,,所以總有.定義3.3.3設(shè)是空間的等價關(guān)系,由自然投射確定了的商拓?fù)?稱為商空間,這時是商映射.例3.3.1在中定義等價關(guān)系~:或者,或者商空間是由兩點(diǎn)組成的平庸空間.由于在中既不是開集,也不是閉集,所以單點(diǎn)集在中既不是開集,也不是閉集.習(xí)慣上,把說成是在中將所有有理點(diǎn)和所有無理點(diǎn)分別粘合為一點(diǎn)所得到的商空間.例3.3.2在上定義等價關(guān)系或者,或者是在中粘合兩點(diǎn)所得到的商空間,這商空間同胚于單位圓周.第四章連通性本章起的四章介紹類重要的拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).本章討論連通性、道路連通性、局部連通性及其在實(shí)分析中的一些簡單的應(yīng)用.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：連通空間、局部連通空間；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：連通分支.4.1連通空間在拓?fù)渲性鯓佣x連通,分隔區(qū)間的關(guān)系與的關(guān)系不同,雖然他們都不相交,但相連的程度不一樣.定義4.1.1設(shè)若,則稱是隔離的.區(qū)間隔離,但區(qū)間不隔離.幾個基本事實(shí):(1)兩不交的開集是隔離的;(2)兩不交的閉集是隔離的;(3)隔離子集的子集是隔離的.定義4.1.2稱為不連通的,若中有非空的隔離子集使,即可表為兩非空隔離集之并.否則稱為連通的.包含多于一個點(diǎn)的離散空間不連通,平庸空間是連通的.定理4.1.1對空間,下述等價:(1)是不連通的;(2)可表為兩非空不交閉集之并;(3)可表為兩非空不交開集之并;(4)存在既開又閉的非空真子集.證(1)(2)設(shè)隔離集之并是.同理,也是閉的.(2)(3)設(shè)是兩非空不交閉集之并,則是兩非空不交開集之并.(3)(4)設(shè)是兩非空不交開集之并,則都是的既開又閉的非空真子集.(4)(1)若是的開閉集,則隔離.例4.1.1不是的連通子空間,因?yàn)?定理4.1.2是連通的.證若不連通,則是兩非空不交閉集之并.取定不妨設(shè).令則是兩非空不交閉集且.讓.因是閉的,,因是閉的,,從而,矛盾. 定義4.1.3若的子空間是連通的,則稱為連通子集,否則,稱為不連通子集. 定理4.1.3設(shè),則是的隔離集是的隔離集. 證;同理,.定理4.1.4設(shè)是的連通子集.如果有隔離子集使,則或.證是的隔離集,所以,或,于是或.定理4.1.5若是的連通子集且,則是連通的.證若不連通,的非空隔離集使,于是或,不妨設(shè),那么,于是,矛盾.定理4.1.6設(shè)是空間的連通子集族.如果，則連通.證若是中隔離集之并,取定,不妨設(shè),則，所以，于是.定理4.1.7設(shè).若的連通子集使,則連通.證設(shè)，取定,則且,所以連通.定理4.1.8(連續(xù)映射保持)設(shè)連續(xù).若連通,則連通.證若不連通,則含有非空的開閉真子集.由于連續(xù),于是是的非空開閉真子集.連續(xù)映射保持性可商性拓?fù)洳蛔冃?有限可積性.對于拓?fù)湫再|(zhì)P,要證有限可積性,因?yàn)橥哂?所以只須證:若具性質(zhì)P,則具有性質(zhì)P.定理4.1.9(有限可積性)設(shè)連通,則連通.證僅證若連通,則連通.取定令由于同胚于同胚于,所以，,都連通且，由定理41.6,連通且,再由定理4.1.7連通.4.2連通性的應(yīng)用利用連通性的證明(定理4.1.2)知,區(qū)間都是連通的.區(qū)間有9類：無限區(qū)間5類：有限區(qū)間4類：.定理4.2.1設(shè),則連通是區(qū)間.證若不是區(qū)間,,使但令，則是不交的非空開集之并.定理4.2.2設(shè)連通,連續(xù),則是的一個區(qū)間.注,如果介于與之間,則,使.事實(shí)上,不妨設(shè)則所以,使.定理4.2.3(介值定理)設(shè)連續(xù),若介于與之間,則使.定理4.2.4(不動點(diǎn)定理)設(shè)連續(xù),則使.證不妨設(shè).定義使,則連續(xù)且使得,即.定義為,則連續(xù)且,于是是連通的.對稱為的對徑點(diǎn),映射定義為稱為對徑映射,則連續(xù).定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)設(shè)連續(xù),則,使.證定義為，則連續(xù).若,使得則,由定理4.2.2,,使得,即.定理4.2.6連通,其中證只證的情形.令,則.由于,所以連通.同理連通,從而連通.定理4.2.7與不同胚.證若存在同胚,令,則連續(xù),從而連通,矛盾.4.3連通分支將不連通集分解為一些“最大”連通子集(“連通分支”)之并.定義4.3.1稱為連通的,若的連通子集同時含,記為.點(diǎn)的連通關(guān)系~是等價關(guān)系：.定義4.3.2空間關(guān)于點(diǎn)的連通關(guān)系的每一等價類稱為的一個連通分支.x~yx,y屬于的同一連通分支.是的全體連通分支的互不相交并.定理4.3.1設(shè)是空間的連通分支,則(1)若是的連通子集且,則;(2)是連通的閉集.證(1)取定則所以(2)取定的連通集，由于，于是且,所以是連通的.從而連通且,于是,故閉.以上說明：連通分支是最大的連通子集.連通分支可以不是開集.的連通分支都是單點(diǎn)集,不是的開子集,由定理4.2.1,不存在的連通子集同時含有,所以的連通分支都是單點(diǎn)集.PAGEPAGE514.4局部連通空間例4.4.1(拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線)令,則,于是連通.在中,中點(diǎn)與中點(diǎn)的“較小的”鄰域表現(xiàn)出不同的連通性.定義4.4.1設(shè)若的每一鄰域中都含有的某一連通的鄰域,稱在是局部連通的.空間稱為局部連通的,若在每一點(diǎn)是局部連通的.是連通,非局部連通的.多于一點(diǎn)的離散空間是局部連通,非連通的.定理4.4.1對空間,下述等價:(1)是局部連通;(2)的任一開集的任一連通分支是開集;(3)有一個基,每一元是連通的.證(1)(2)設(shè)是的開集的連通分支.的連通的鄰域,于是,所以是的鄰域,故開.(2)(3)令B是的開集的連通分支},則B是的基.(3)(1)設(shè)是的鄰域,存在開集使,連通開集使,所以局部連通.定理4.4.2設(shè)是連續(xù)開映射.若局部連通,則局部連通.證,及在中的鄰域,取,則是的鄰域,的連通開集使,于是.定理4.4.3局部連通性是有限可積性,即設(shè)局部連通,則局部連通.證僅證若局部連通,則局部連通.設(shè)B1,B2分別是的由連通開集組成的基,則{B1,B2}是的由連通開集組成的基(定理3.2.4).4.5道路連通空間定義4.5.1設(shè)是拓?fù)淇臻g,連續(xù)映射稱為中的一條道路,分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn),稱為從到的一條道路,稱為中的一條曲線.若,稱為閉路.定義4.5.2對空間,如果中從到的道路,則稱是道路連通的.類似可定義道路連通子集.是道路連通的,,定義為.定理4.5.1道路連通連通.證設(shè)道路連通.中從到的道路,這時是中含的連通子集,所以連通.拓?fù)鋵W(xué)家正弦曲線是連通,非道路連通的空間.定理4.5.2設(shè)連續(xù).若道路連通,則道路連通.證使，存在道路使,則是中從到的道路.定理4.5.3道路連通性是有限可積性.證僅證若是道路連通,則道路連通.,則存在道路使，定義為,則是從到的道路.可引進(jìn)局部道路連通空間的概念.同時,與連通分支類似,可建立道路連通分支:空間中最大的道路連通子集.

第五章可數(shù)性公理本章主要介紹4種與可數(shù)性相關(guān)的拓?fù)湫再|(zhì),它們與度量空間性質(zhì)、下章要討論的分離性公理都是密切相關(guān)的.本章的要點(diǎn)是給出它們之間的基本關(guān)系.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：第一與第二可數(shù)性公理；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：空間的相互關(guān)系.5.1第一與第二可數(shù)性定理第二章介紹的空間的基,在生成拓?fù)淇臻g,描述局部連通性,刻畫連續(xù)性等方面都發(fā)揮了積極的作用.較少的基元對于進(jìn)一步討論空間的屬性是重要的.定義5.1.1若有可數(shù)基,稱滿足第二可數(shù)(性)公理,或是第二可數(shù)空間,簡稱空間.定理5.1.1.證令B,定理2.6.2,B是的可數(shù)基.離散空間具有可數(shù)基，是可數(shù)集.下面討論“局部基”性質(zhì).(定義2.6.3)對,設(shè)Ux是的鄰域系,若VxUx滿足:Ux,Vx使,則稱Vx是的鄰域基,若更設(shè)Vx中每一元都是開的,則稱Vx是的開鄰域基或局部基.易驗(yàn)證,(1)若Vx是在的鄰域基,則Vx}是在的局部基;(2)(定理2.6.7)若B是空間的基,,則BxB是的局部基.定義5.1.2若的每一點(diǎn)有可數(shù)鄰域基,稱滿足第一可數(shù)(性)公理,或是第一可數(shù)空間,簡稱空間.定理5.1.2度量空間.證是的可數(shù)鄰域基.例5.1.1不可數(shù)多個點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間，非證有可數(shù)局部基V，V使從而不可數(shù)集可數(shù)集,矛盾. 定理5.1.3.證若B是的可數(shù)基,則BxB是的可數(shù)鄰域基.逆命題不成立,不可數(shù)的離散空間是反例.定理5.1.4設(shè)連續(xù)、滿、開映射,則是是.證設(shè)B是的可數(shù)基,則B*B}是的可數(shù)基.事實(shí)上,設(shè)是在中的鄰域,取,則是的鄰域,B使.證明也適用于:設(shè)V是在的局部基,則V*V}是在的局部基.可遺傳性質(zhì)(如,離散性,平庸性),開遺傳性質(zhì)(如,局部連通性),閉遺傳性質(zhì).定理5.1.5都是可遺傳性質(zhì).證設(shè).若B是的可數(shù)基,則B|Y是的可數(shù)基.若且V是在中的鄰域基,則V|Y是在中的可數(shù)鄰域基.定理5.1.6都是有限可積性.證僅證若是空間,則是空間.,分別設(shè)在的可數(shù)局部基是V1,V2,令VV1,V2},則V是在中的可數(shù)局部基.事實(shí)上,設(shè)是在中的鄰域,則分別的開集，使V1,V2,使且,則推論5.1.7的每一子空間是.作為2.7的繼續(xù),下面討論第一可數(shù)空間的序列性質(zhì).中的集列稱為下降的,如果定理5.1.8在有可數(shù)鄰域基在有下降的可數(shù)鄰域基.證“”設(shè)是在的可數(shù)鄰域基,令.定理5.1.9設(shè)是A1空間,中序列.證定理2.7.2已證“”,下證“”.設(shè)是在中下降的可數(shù)鄰域基.則事實(shí)上,的鄰域使.定理5.1.10設(shè)是空間.連續(xù).證定理2.7.3已證“”,下證“”.若在某點(diǎn)不連續(xù),存在的鄰域使不是的鄰域.設(shè)是在中下降的可數(shù)鄰域基,那么每一于是,從而有,矛盾.5.2可分空間定義5.2.1稱為的稠密子集,若,即若是的非空開集,則.定義5.2.2若有可數(shù)的稠密子集,稱為可分空間.定理5.2.2可分.證設(shè)B是的可數(shù)基,B,取定,令B},則可數(shù).及的任一鄰域B使,那么,所以,即由此,的每一子空間是可分的;的每一子空間是可分的.例5.2.1設(shè)是拓?fù)淇臻g,定義.易驗(yàn)證,是拓?fù)淇臻g;B是的基B*B是的基.(1)是可分空間,因?yàn)槭堑某砻芗?(2)是是;(3)是的(閉)子空間,因?yàn)?現(xiàn)在取是不可數(shù)的離散空間,則不是可分空間,是可分,非空間,所以,(1)可分的不一定是的；(2)可分性不是(閉)遺傳性.定理5.2.4可分度量.證設(shè)是度量空間的可數(shù)稠密集.令B,則B是的可數(shù)基.事實(shí)上,及在中的鄰域使.由于，那么B且.(設(shè) 由此,可分度量空間的每一子空間是可分的.5.3Lindelof空間定義5.3.1設(shè)A是的子集族,若A,則稱A是的覆蓋,并且當(dāng)A是可數(shù)集(有限集,開集,閉集)族時,稱A是的可數(shù)(有限,開,閉)覆蓋.若A的子集A1覆蓋,則A1稱為A的子覆蓋.數(shù)學(xué)分析中的Heine-Borel定理:的閉區(qū)間的每一開覆蓋有有限子覆蓋.定義5.3.2稱為Lindelof空間,若的每一開覆蓋有可數(shù)子覆蓋.含有不可數(shù)多個點(diǎn)的離散空間不是Lindelof空間.定理5.3.1(Lindelof定理)Lindelof.證設(shè)有可數(shù)基B.讓A是的任一開覆蓋,令B1={BB|A使A使.則是A的可數(shù)子覆蓋.事實(shí)上,A使B使,設(shè),那么.由此,空間的每一子空間是Lindelof空間.(推論5.3.2)例5.3.1含有不可數(shù)個點(diǎn)的可數(shù)補(bǔ)空間:Lindelof空間.例5.1.1已證明不是空間.設(shè)A是的開覆蓋.取定A,A使,則是A的可數(shù)子覆蓋.故是Lindelof空間.同理,的每一子空間也是Lindelof空間.定理5.3.3Lindelof+度量.證設(shè)是Lindelof的度量空間.的開覆蓋Ak有可數(shù)子覆蓋Bk。下證是的可數(shù)稠密集.對的任一非空開集使.由于Bk是的覆蓋,使,那么，于是.故是可分空間,由定理5.2.4,是.定理5.3.4Lindelof是可閉遺傳性質(zhì).證設(shè)是Lindelof空間的閉子空間.A是的開覆蓋,A,的開集使.那么的開覆蓋A有可數(shù)子覆蓋于是是A關(guān)于的可數(shù)子覆蓋.第六章分離性公理本章介紹分離性公理與可度量化定理,其中包含著名的Urysohn引理、Tietze擴(kuò)張定理和Urysohn嵌入定理,這是全書中最難證明的幾個重要定理.幾類分離性公理的刻畫及相互關(guān)系(6.1-6.4)是本章的主要內(nèi)容.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：、、Hausdorff空間、正則、正規(guī)、、空間；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：分離性公理.6.1空間定義6.1.1稱為空間,若中任兩個不同點(diǎn)中必有一點(diǎn)有一個開鄰域不包含另一點(diǎn),即,或者有開鄰域不含,或者有開鄰域不含.定理6.1.1是.證,若有鄰域使,,所以.同理,若有鄰域使,那么.由于,不妨設(shè),如果那么,矛盾,于是,所以.定義6.1.2稱為空間,若中任兩不同點(diǎn)中每一點(diǎn)有一個開鄰域不包含另一點(diǎn),即的鄰域使.反之不成立,如.定理6.1.2是是閉集.證,存在的鄰域使,那么,從而；.單點(diǎn)集是閉集等價于有限集是閉集,因?yàn)槎ɡ?.1.3設(shè)是空間,.則的鄰域是無限集.只須證“”.若不然,的鄰域使是有限集,則是閉集,于是是的開鄰域且,矛盾.定義6.1.3稱為空間或Hausdorff空間,若中不同點(diǎn)存在互不相交的開鄰域.即分別的鄰域使得.反之不成立.例6.1.1含有無限多個點(diǎn)的有限補(bǔ)空間非.的每一有限子集是閉集,所以是空間.由于中任兩個非空開集必定相交,所以不是空間.定理6.1.5空間中,任意收斂序列有唯一極限點(diǎn).證設(shè)空間中的序列,又有且,分別的開鄰域使,使有矛盾.在空間中,定理6.1.5可以不成立.如對例6.1.1中的空間,中的任一由兩兩不同點(diǎn)構(gòu)成的序列收斂于任意.事實(shí)上,設(shè)是的開鄰域,則是有限集,,使當(dāng)時有,所以.正則,正規(guī),空間定義6.2.1(集的鄰域)設(shè),若,稱是的鄰域.若還是開(閉)集,稱是的開(閉)鄰域.定義6.2.2稱為正則空間,如果,及的不含的閉集,則與有不相交的開鄰域,即的不交開集使且.定理6.2.1是正則空間及的開鄰域開集使.證對的開鄰域的不交開集使從而及的閉集使,那么,開集V使,令,則是不交開集且.定義6.2.3稱為正規(guī)空間,如果中不交閉集存在不交的開鄰域,即若是的不交的閉集,存在不交開集使.定理6.2.2是正規(guī)空間為閉集及的開鄰域開集使與定理6.2.1的證明類似.例6.2.1正則+正規(guī)未必是.令,則是拓?fù)淇臻g.由于的開集也是閉集,所以是正則、正規(guī)空間.由兩點(diǎn)2,3可見,不是空間.例6.2.2(Smirnov刪除序列拓?fù)?Hausdorff空間,非正則空間.的通常拓?fù)錇?令.可以驗(yàn)證是上的拓?fù)淝?于是是空間.由于的閉集與沒有不交的開鄰域,所以不是正則空間.正則未必正規(guī),關(guān)鍵在于“單點(diǎn)集未必是閉集”.定義6.2.4正則+,正規(guī)+.定理6.2.3度量空間.證對度量空間,先證是則是的不交的開鄰域.設(shè)是的不交的非空閉集.,由定理2.4.9,如果,則;如果,則.記,并令則分別是的開鄰域.以下證明.若不然,,使于是,矛盾.6.3Urysohn引理和Tietze擴(kuò)張定理用函數(shù)分離與存在連續(xù)擴(kuò)張的方式刻畫正規(guī)性.定理6.3.1(Urysohn引理)是正規(guī)空間對的任兩不交閉集,存在連續(xù)映射使.應(yīng)用一例.定理6.3.2空間中任意多于一點(diǎn)的連通子集是不可數(shù)集.設(shè)是空間的多于一點(diǎn)的連通集.取定,存在連續(xù)映射使.由連通,，于是是不可數(shù)集.定理6.3.4(Tietze擴(kuò)張定理)是正規(guī)空間對的任一閉集及連續(xù)映射,存在連續(xù)映射是的擴(kuò)張,即.6.4完全正則空間,Tychonoff空間定義6.4.1稱為完全正則空間,如果及不含的閉集,存在連續(xù)映射使.完全正則的空間稱為Tychonoff空間,或空間.定理6.4.1完全正則正則.證及不含的閉集,存在連續(xù)映射使.令則是的不交開集且定理6.4.2正則+正規(guī)完全正則.證及不含的閉集,由正則性,存在開集使,則是的不交閉集,由Urysohn引理,存在連續(xù)映射使,這時定理6.4.3(Tychonoff定理)正則+Lindelof正規(guī).證對正則Lindelof空間的不交閉集開集使的覆蓋存在可數(shù)子覆蓋,這時每一.同理,B有可數(shù)開覆蓋使每一。令,則是開集且有.再令,則是的不交開集且.6.5分離性公理與子空間、積空間和商空間一、分離性公理是拓?fù)湫再|(zhì)定理6.5.1設(shè)空間同胚,若是完全正則,則也是完全正則.證設(shè)同胚及不含的閉集,則中的閉集不含,存在連續(xù)映射使且,于是連續(xù)且.二、、正則、完全正則是可遺傳性質(zhì),、正規(guī)是閉遺傳性質(zhì).定理6.5.2正則性是可遺傳性質(zhì).證設(shè)是正則空間,及不含的閉集的閉集使,那么,存在中不交開集使且,從而.三、、正則、完全正則是有限可積性質(zhì),、正規(guī)不是有限可積的.定理6.5.3完全正則性是有限可積性.證僅證若是完全正則空間,則是完全正則空間.及不含的閉集,分別存在的開集,的開集,使得.對存在連續(xù)映射使得.定義映射為,易驗(yàn)證,連續(xù)且,則或2使,從而,于是,即.本節(jié)習(xí)題3表明:實(shí)數(shù)下限拓?fù)淇臻g是空間,但是不是正規(guī)空間.有例子說明,分離性都不是可商性質(zhì).例3.3.1表明,存在商映射使是由兩點(diǎn)組成的平庸空間.具有下述介紹的所有分離性質(zhì),但是不是空間.因此,分離公理不是可商性質(zhì).例6.5.1正則性,完全正則性,正規(guī)性都不是可商性質(zhì).記的子集在上定義等價關(guān)系.如下同時屬于或之一.則商集為,商拓?fù)涫?易見是空間.考察兩點(diǎn),不是空間.考察兩閉集既不是正則空間,也不是正規(guī)空間,從而不是完全正則空間(定理6.4.1).6.6可度量化空間可度量化空間(定義2.2.3):空間的拓?fù)渑c某一度量拓?fù)湟恢?嵌入:設(shè)是兩拓?fù)淇臻g,映射稱為嵌入,如果是到的同胚;也稱可嵌入.回憶Hilbert空間H.定理6.6.1(Urysohn嵌入定理)第二可數(shù)的空間可嵌入H.證設(shè)是第二可數(shù)的正則空間,則是正規(guī)空間(Tychonoff定理6.4.3).設(shè)B是的不含空集的可數(shù)集，令A(yù)BB因存在連續(xù)映射使.定義使.則是一個嵌入.定理6.6.2H是可分空間.證令則是H的可數(shù)稠密集.只須證,使.于是所以定理6.6.3下述等價:(1)是第二可數(shù)的空間;(2)可嵌入H;(3)是可分的度量空間.證由已證命題可知H是可分的度量空間,H的子空間也是可分度量空間,從而是可分度量空間.上述定理中的條件是必不可少的,如例6.2.2中的空間使的空間,但不是空間.第七章緊致性可度量性與緊致性是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中最重要的兩個拓?fù)湫再|(zhì).本章介紹緊致性及它與分離性公理、可數(shù)性公理的關(guān)系,分析了度量空間中緊致性的幾種等價形式,引進(jìn)了緊致性的兩種本質(zhì)推廣局部緊致性與仿緊致性.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：致性與分離性公理,緊致空間；學(xué)習(xí)難點(diǎn)：Lindel?ff空間幾種緊致性以及其間的關(guān)系.7.1緊致空間Lindelof空間的定義.Heine-Borel有限覆蓋定理.定義7.1.1緊致空間:的每一開覆有有限子覆蓋.緊Lindelof,反之不然.如由可數(shù)無限個點(diǎn)組成的離散空間.例7.1.1不是緊致空間.的開覆蓋A沒有有限子覆蓋.定義7.1.2的子集稱為緊致子集,如果作為子空間是緊致空間.定理7.1.1設(shè),則緊致由中開集構(gòu)成的覆蓋有有限子覆蓋.證“設(shè)A是的這樣一個覆蓋,A|Y有有限子覆蓋,則覆蓋.設(shè)A是的開覆蓋,A的開集使A有有限子覆蓋,則是的有限子覆蓋.定義7.1.3有限交性質(zhì):每一有限子族具有不空的交.定理7.1.2緊致具有有限交性質(zhì)的閉集族有非空的交.證：是的具有有限交性質(zhì)的閉集族，如果F則F那么有覆蓋，從而,矛盾.“”設(shè)A是的開覆蓋,因?yàn)椤華,于是∩A,所以某有限子集之交∩,即，從而A有有限子覆蓋.定理7.1.3設(shè)B是的基.如果的由B中元構(gòu)成的每一覆蓋有有限子覆蓋,則是緊致空間.證設(shè)A是的開覆蓋.令BBA使，則B.事實(shí)上,A使B使那么B.于是B的某些有限子集覆蓋A使,則是A的有限子覆蓋.定理7.1.4設(shè)連續(xù).若是的緊致子集,則是的緊致子集.證設(shè)C是由的開集組成的的覆蓋,則C是的開集組成的的覆蓋,它有有限子覆蓋,于是是的有限子覆蓋.定理7.1.5緊致性是可閉遺傳性.證設(shè)是緊致空間的閉集.設(shè)A是由中開集組成的的覆蓋,則A是的開覆蓋,它有有限子覆蓋,從而是的覆蓋.緊致性是否是可開遺傳性?定理7.1.6(Alexandroff一點(diǎn)緊化定理)每一拓?fù)淇臻g必定是某一緊致空間的開子空間.證設(shè)是拓?fù)淇臻g,.令,其中是中緊致閉集}.則(1)是上的拓?fù)?(2)是緊致空間:設(shè)C是的開覆蓋,C使,那么是緊致的,有C的有限子集C*覆蓋,則C*是的有限子覆蓋.(3)由于,所以是的開子空間.定理7.1.7緊致性是有限可積性.證設(shè)是緊致的,要證是緊致的.B分別是的開集}是的基.設(shè)A是由B中元構(gòu)成的的覆蓋.同胚于,所以A有有限子集A覆蓋,不妨設(shè).令，則的開集含點(diǎn)x且∪A.這時的開覆蓋有有限子覆蓋.令A(yù)*A,則A*是A的有限子覆蓋.7.2緊致性與分離性公理定理7.2.1是空間.若是不交的緊致子集,則中不交的開集分別含.證固定不交開集分別含的覆蓋有有限子覆蓋,令