中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第19講 直角三角形(講義4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)18種題型(含5種解題技巧))(原卷版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第19講直角三角形（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)18種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一直角三角形考點(diǎn)二勾股定理考點(diǎn)三勾股定理逆定理考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定?題型01由直角三角形的性質(zhì)求解?題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形命題點(diǎn)二勾股定理?題型01利用勾股定理求解?題型02判斷勾股數(shù)問(wèn)題?題型03以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積?題型04與直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題?題型05勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題?題型06勾股定理與折疊問(wèn)題?題型07勾股定理與無(wú)理數(shù)?題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系?題型09勾股定理的證明方法?題型10趙爽弦圖?題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題命題點(diǎn)三勾股定理逆定理?題型01在網(wǎng)格中判定直角三角形?題型02利用勾股定理逆定理求解命題點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用?題型01用勾股定理解決實(shí)際生活問(wèn)題?題型02用勾股定理逆定理解決實(shí)際生活問(wèn)題?題型03求最短路徑問(wèn)題

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理;勾股定理★★探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.勾股定理逆定理★★【考情分析】該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，?？伎键c(diǎn)為:直角三角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問(wèn)題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重點(diǎn).出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問(wèn)題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：性質(zhì)直角三角形兩個(gè)銳角互余.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.圖示幾何描述在△ABC，∠C=90°∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，CD為AB邊的中點(diǎn)，∴∠A+∠B=90°在△ABC，∠C=90°，∠B=30°，∴AB=2AC判定：1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.面積公式：S=12ab=121．（2024·海南·中考真題）設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x度（0<x<90），另一個(gè)銳角為y度，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．y=180+x B．y=180?x C．y=90+x D．y=90?x2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在Rt△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，∠BDC=60°，AC=6，則BC的長(zhǎng)是（

A．3 B．6 C．3 D．33．（2023·浙江衢州·中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO4．（2023·貴州·中考真題）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開(kāi)幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（

）

A．4m B．6m C．10m5．（2023·湖南·中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣=12矩，1欘=112宣（其中，1矩=90°），問(wèn)題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若∠A=1矩，∠B=1

考點(diǎn)二勾股定理文字語(yǔ)言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號(hào)語(yǔ)言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=cc=a2+b2【易錯(cuò)點(diǎn)】1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形；2）如果已知的兩邊沒(méi)有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．3）應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=勾股定理的驗(yàn)證方法一：如圖一，用4個(gè)全等的直角三角形，可以得到一個(gè)以為邊長(zhǎng)的小正方形和一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的大正方形.即4SΔ+S正方形EFGH方法二（圖二）：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2=方法三：如圖三，用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形，可以得到一個(gè)直角梯形.S梯形=12圖一圖二圖三1．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是（1）中方程的根，求第三邊的長(zhǎng)．2．（2023·遼寧大連·中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過(guò)O作直線l⊥OB于點(diǎn)O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．3．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問(wèn)這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書(shū)中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

5．（2024·江蘇南通·中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，nm>n．若小正方形面積為5，m+n2=21A．12 B．13 C．14 D．15QUOTEQUOTE考點(diǎn)三勾股定理逆定理1.勾股數(shù)勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即滿足關(guān)系a2勾股數(shù)需要滿足的兩個(gè)條件：1）這三個(gè)數(shù)均是正整數(shù)；2）兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.常見(jiàn)的勾股數(shù)：1）3，4，5；2）6，8，10；3）5，12，13等.2.勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2【補(bǔ)充說(shuō)明】1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法；2）勾股定理的逆定理通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2+b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，①若a2+②若a2+b2<c2③若a2+b2>c21．（2024·江蘇揚(yáng)州·三模）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（

）A．3，4，5 B．9，15，17 C．25，7，24 D．8，6，102．（2024·江蘇南京·三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（

）A．3,4,5 B．1,1,23．（21-22八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則∠ABC的度數(shù)為度．4．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．以格點(diǎn)為頂點(diǎn)．(1)在圖①中，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為2的線段；(2)在圖②中，畫(huà)一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是2、22、105．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若a?1+a?b+c?22=0，則以a考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1.利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：1）從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形；2）確定與問(wèn)題相關(guān)的直角三角形；3）找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；4）求得符合題意的結(jié)果.2.利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型1）直接利用勾股定理列方程解決實(shí)際問(wèn)題；2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問(wèn)題；3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關(guān)的問(wèn)題；4）利用勾股定理解決有關(guān)幾何圖形的面積問(wèn)題.

1．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問(wèn)：水深幾何？”這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問(wèn)題．即AC=5，DC=1，BD=BA，則BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．132．（2021·江蘇宿遷·中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，適與岸齊．問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為尺．

3．（2024·上海寶山·一模）在馬拉松比賽過(guò)程中，嘉琪和李明之間一直用最遠(yuǎn)對(duì)講距離為300米的對(duì)講設(shè)備聯(lián)系．嘉琪運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，嘉琪用對(duì)講機(jī)與朋友李明聯(lián)系，李明告知嘉琪正在通過(guò)路口B向C運(yùn)動(dòng)后，就失去了聯(lián)系，已知嘉琪的跑步速度為2m/s，李明的跑步速度為4m/A．150s B．60s C．100s D．不會(huì)再取得聯(lián)系4．（2023·陜西西安·二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A

04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定?題型01由直角三角形的性質(zhì)求解1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C=20°，則∠CAD=°．2．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D．若△ACD的面積為8，則△ABD的面積是（A．8 B．16 C．12 D．243．（2023·湖南郴州·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則AB4．（2023·海南·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為6,0，將△ABO繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）

A．33,3 B．3,33 C．6,35．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=120°，邊AB在數(shù)軸上，將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（

）A．1 B．1?3 C．0 D．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形1．（2022·湖南株洲·中考真題）如圖所示，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，下列結(jié)論不一定正確的是（A．OB=12CE C．BC=12AE2．（2024·福建南平·一模）如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)．AD=AC，∠CAB=α，⊙O是△BCD的外接圓，點(diǎn)E在DBC上（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），且∠CED=90°?α．

(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)如圖2，若CE是⊙O的直徑，且CE=2，折線ADF是由折線ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到．①當(dāng)α=30°時(shí)，求△CDE的面積；②求證：點(diǎn)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線．3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線L：y=33x?22+m與x軸交于點(diǎn)A，B，與y(1)求m的值；(2)點(diǎn)D是直線BC下方拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）條件下，將拋物線L向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到拋物線M，設(shè)拋物線M與拋物線L的交點(diǎn)為E，AF⊥BC，垂足為F．證明△DEF是直角三角形．命題點(diǎn)二勾股定理?題型01利用勾股定理求解1．（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則它的內(nèi)切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．32．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形AOBC的頂點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在直線y=34x上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8，為點(diǎn)CA．(?1,6) B．(?2,6) C．(?3,6) D．(?4,6)3．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（

）A．3118π B．118π 4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一條對(duì)角線，E是AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，連接DE．若CE=AF，則DE的長(zhǎng)為．5．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（

）A．245 B．6 C．485 ?題型02判斷勾股數(shù)問(wèn)題1）確定是三個(gè)正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計(jì)算較小的兩個(gè)數(shù)的平方a2+b1．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2?12，c=12．（2023·四川瀘州·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計(jì)算公式：a=12m2?n2，b=mn，c=12A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，253．（2024·河北秦皇島·一模）我們把滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a，b(1)當(dāng)b=n+7，c=n+8時(shí)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示a2，并直接寫(xiě)出n取何值時(shí)，a(2)當(dāng)b=2n2+2n，c=b+1時(shí)，用含nabc_____40411160_____4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就對(duì)勾股定理和勾股數(shù)有過(guò)一定的描述，所謂勾股數(shù)一般是指能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，觀察下面的表格中的勾股數(shù)：abc3=1+24=2×1×25=2×1×2+15=2+312=2×2×313=2×2×3+17=3+424=2×3×425=2×3×4+19=4+540=2×4×541=2×4×5+1………(1)當(dāng)a=11時(shí)，b=______，c=______．(2)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．(3)請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．QUOTE?題型03以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積作正方形作半圓作等邊三角形作等腰直角三角形圖示結(jié)論1．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長(zhǎng)作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹(shù)”．若圖①中的直角三角形斜邊長(zhǎng)為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．2．（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、

A．414π?20 B．412π?20 3．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測(cè)）在直線L上依次擺放著七個(gè)正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別1、4、9，正放置的四個(gè)正方形的面積依次為S1，S2，S3，S4，則4．（2024·廣西梧州·二模）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME?7）的會(huì)徽，會(huì)徽的主題圖案是由圖2中七個(gè)直角三角形演化而成的，其中OA1=

5．（2024·江蘇宿遷·二模）小明在一塊畫(huà)有Rt△ABC的紙片上（其中∠ABC=90°，BC＜AB）進(jìn)行了如下操作：第一步分別以AB、BC為邊向外畫(huà)正方形ABFG和正方形BCDE；第二步過(guò)點(diǎn)A、B分別作AC的垂線和AC的平行線，將紙片ABFG－分成②、③、④、⑤四塊，如圖1；第三步將圖1中的正方形紙片BCDE、△ABC紙片及紙片②、③、④、⑤剪下，重新拼接成圖2．若CMPM=67

6．（2020·江西·中考真題）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，類比探究（1）如圖2，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為斜邊向外側(cè)作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1=∠2=∠3，則面積S1，S2，S3推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在Rt△ABC中，BC為斜邊，分別以AB,AC,BC為邊向外側(cè)作任意△ABD，△ACE，△BCF，滿足∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A=∠E=∠C=105°，∠ABC=90°，AB=23，DE=2，點(diǎn)P在AE上，∠ABP=?題型04與直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題1．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2=23OA1，連接OA2交A1B于點(diǎn)C2．（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，并以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S20243．（23-24九年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）如圖（1），已知小正方形ABCD的面積為1，把它的各邊延長(zhǎng)一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B

4．（2023·山東青島·二模）【問(wèn)題背景】如圖1，△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=90°，AC=BC=2．取AC、BC、AB中點(diǎn)進(jìn)行第1次剪取，記所得正方形面積為S1，如圖2，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個(gè)相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個(gè)正方形面積和為S2【問(wèn)題探究】（1）S2（2）如圖3，再在余下的四個(gè)三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個(gè)相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個(gè)正方形面積和為S3繼續(xù)操作下去…，則第10次剪取時(shí)，S10=______；第n【拓展延伸】在第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和為_(kāi)_____．?題型05勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題正方形網(wǎng)格中的每一個(gè)角都是直角，在正方形網(wǎng)格中的長(zhǎng)度計(jì)算都可以歸結(jié)為求任意兩個(gè)點(diǎn)之間的距離，一般情況下都是運(yùn)用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是確定每一條邊所在的直角三角形.1．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．

(1)在圖①中，△ABC的面積為92(2)在圖②中，△ABC的面積為5(3)在圖③中，△ABC是面積為522．（2023·吉林·中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．在圖①、圖②、圖③中以AB為邊各畫(huà)一個(gè)等腰三角形，使其依次為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，且所畫(huà)三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在6×7的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)求sinD(2)操作與計(jì)算：用尺規(guī)作圖法過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，并直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）?題型06勾股定理與折疊問(wèn)題解決“翻折”問(wèn)題時(shí)，要弄清翻折前后的邊、角的對(duì)應(yīng)情況，將待求線段或角與已知線段、角歸結(jié)到一起，尤其是求線段長(zhǎng)度時(shí)，常常利用勾股定理直接求出未知線段的長(zhǎng)度或通過(guò)勾股定理列方程使問(wèn)題得以解決.1．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，D是邊AC的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)，連接BD、DE．將△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處，則CE=2．（2023·湖南婁底·中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處，若BC=10．sin∠AFB=45，則

3．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長(zhǎng)為

4．（2024·四川廣元·中考真題）已知y=3x與y=kxx>0的圖象交于點(diǎn)A2,m，點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，將△OAB沿OA翻折，使點(diǎn)B恰好落在y=k

?題型07勾股定理與無(wú)理數(shù)1．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段AB，按以下步驟作圖：①過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC=12AB，連接AC；②以點(diǎn)C為圓心，以BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)E．若AE=mAB，則m

A．5?12 B．5?22 C．2．（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）如圖，BA=BC，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，則a的值最接近的整數(shù)是．3．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）為了比較5+1與10的大小，小亮先畫(huà)了一條數(shù)軸，然后在原點(diǎn)O處作了一條垂線段OA，且OA=1，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，點(diǎn)C表示的數(shù)為3，連接AB，AC，由AB+BC>AC推出5+1>10A．統(tǒng)計(jì)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合 C．模型思想 D．分類討論4．（2024南寧三中模擬）利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為2、3、5、?的線段，如圖：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，則AC的長(zhǎng)等于______．在按同樣的方法，可以在數(shù)軸上畫(huà)出表示2、3、5、?

（1）在數(shù)軸上作出表示?2的點(diǎn)M（2）在數(shù)軸上作出表示3的點(diǎn)N（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．?題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系1．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖1，對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O．猜想：AB2+C（3）解決問(wèn)題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE2．（2024·山西朔州·二模）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)收集的一篇數(shù)學(xué)小論文，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).構(gòu)圖法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用構(gòu)圖法指的是構(gòu)造與數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)的幾何圖形，用幾何圖形中反映的數(shù)量關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.巧妙地構(gòu)造圖形有助于我們把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰解題的路徑，也有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論.本文通過(guò)列舉一個(gè)例子，介紹構(gòu)圖法在解題中的應(yīng)用，例：如圖1，已知P為等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=113°，∠APC=123°.求以AP，BP，CP為邊的三角形中各個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解析：如何求所構(gòu)成的三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)？由于沒(méi)有出現(xiàn)以AP，BP，CP為邊的三角形，問(wèn)題難以解決.于是考慮通過(guò)構(gòu)圖法構(gòu)造長(zhǎng)度為AP，BP，CP的三角形來(lái)解決問(wèn)題．解：將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AQB，則△AQB≌△APC．∴BQ=CP，AQ=AP，∠1=∠CAP．由旋轉(zhuǎn)可知∠QAP=60°，∴△APQ是等邊三角形．【依據(jù)】∴QP=AP，∠3=∠4=60°．∴△QBP就是以AP，BP，CP為邊的三角形．∵∠APB=113°，∴∠5=∠APB?∠4=53°．∵∠AQB=∠APC=123°.∴∠6=∠AQB?∠3=63°．∴∠QBP=180°?∠5?∠6=64°．∴以AP，BP，CP為邊的三角形中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為64°，63°，53°.構(gòu)造圖形的關(guān)鍵在于通過(guò)圖形的變化，能使抽象的數(shù)量關(guān)系集中在一個(gè)圖形上直觀地表達(dá)出來(lái)，使問(wèn)題變簡(jiǎn)單．任務(wù)：(1)上面小論文中的“依據(jù)”是________．(2)如圖2，已知點(diǎn)P是等邊三角形ABC的邊BC上的一點(diǎn)，若∠APC=102°，則在以線段AP，BP，CP為邊的三角形中，最小內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)_______°．(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=30°，∠ABC=60°，AB=BC．求證：BD3．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上．

(1)判斷∠ACD與∠BCE間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)直接寫(xiě)出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．4．（2023·陜西咸陽(yáng)·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB的中點(diǎn)，作∠POQ=90°．分別交AC，BC于點(diǎn)P，Q，連接(1)【嘗試探究】如圖1，若AC=BC，求證AP(2)【深入研究】如圖2，試探索（1）中的結(jié)論在一般情況下是否仍然成立；(3)【解決問(wèn)題】如圖3，若AC=6，BC=8，點(diǎn)C，P，O，Q在同一個(gè)圓上，求△PCQ面積的最大值．?題型09勾股定理的證明方法1．（2023·北京大興·一模）下面是用面積關(guān)系證明勾股定理的兩種拼接圖形的方法，選擇其中一種，完成證明．勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．已知：如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c．求證：a2方法一如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為a+b，小正方形的邊長(zhǎng)為c．證明方法二如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為c，小正方形的邊長(zhǎng)為b?a．證明2．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考：請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．從勾股定理的“無(wú)字證明”談起在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)運(yùn)用一些幾何圖形驗(yàn)證勾股定理．如圖1是古印度的一種證明方法：過(guò)正方形ADEC的中心O，作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一個(gè)大正方形．這種方法，不用運(yùn)算，單靠移動(dòng)幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．

意大利著名畫(huà)家達(dá)·芬奇用如圖2所示的方法證明了勾股定理，其中圖甲的空白部分是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)直角三角形組成，圖丙的空白部分由兩個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成．設(shè)圖甲中空白部分的面積為S1，圖丙中空白部分的面積為S任務(wù)：(1)下面是小亮利用圖2驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，請(qǐng)你幫他補(bǔ)充完整．解：根據(jù)題意，得S1=S2∵S1∴________，即________．(2)我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一．東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注中依據(jù)割補(bǔ)術(shù)而創(chuàng)造了勾股定理的無(wú)字證明“青朱出入圖”．如圖3，若CB=6，CG=8，則IN的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．(3)在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式．一些代數(shù)恒等式也可以通過(guò)“無(wú)字證明”來(lái)解釋．可以借助圖4直觀地解釋的代數(shù)恒等式為_(kāi)_______．借助此方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀且具有可操作性，從而幫助我們解決問(wèn)題，在此過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是________．A．分類討論思想

B．公理化思想

C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

D．從特殊到一般的思想(4)借助圖5可以直觀解釋的式子為_(kāi)_______．（填序號(hào)）①a+32=a2+9③a+32≠a2+9(5)實(shí)際上，初中數(shù)學(xué)還有一些代數(shù)恒等式（除上述涉及的）也可以借助“無(wú)字證明”來(lái)直觀解釋，請(qǐng)你舉出一例，畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出所解釋的代數(shù)恒等式．?題型10趙爽弦圖內(nèi)弦圖模型外弦圖模型條件在正方形內(nèi)部，有四個(gè)全等的直角三角形.圖示結(jié)論1）四邊形ABMN為正方形2）3）1）四邊形CMHG為正方形2）3）1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD．直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2．若BE=kAE(k>1)，則用含k的式子表示S12．（2023·湖北鄂州·中考真題）2002年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽選定了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個(gè)全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFGH，連接AC和EG，AC與DF、EG、BH分別相交于點(diǎn)P、O、Q，若BE:EQ=3:2，則OPOE的值是

3．（2023·湖北黃岡·中考真題）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中AF=a，DF=b，連接AE,BE，若△ADE與△BEH的面積相等，則b2a

4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在趙爽弦圖中，正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形ABF，BCG，CDH，DAE和一個(gè)小正方形EFGH組成的．若把四個(gè)直角三角形分別沿斜邊向外翻折，可得正方形MNPQ，連接PH并延長(zhǎng)，交MQ于點(diǎn)O．若正方形MNPQ的面積為196，正方形EFGH的面積為4，則：（1）正方形ABCD的面積為．（2）OH的長(zhǎng)為．?題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題1．（2024·遼寧撫順·一模）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是明代數(shù)學(xué)家程大位．書(shū)中記載了一道“蕩秋千”問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉；良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾?”譯文：“秋千靜止的時(shí)候，踏板高地1尺，將它往前推送兩步(兩步＝10尺)時(shí)，此時(shí)踏板升高到離地5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)秋千繩索有多長(zhǎng)?”如圖，若設(shè)秋千繩索長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（）A．x2+10C．(x?4)2+102．（2023·四川瀘州·一模）我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成．若a=6，b=8，則該矩形的面積為（）

A．96 B．1532 C．19943．（2022·貴州遵義·二模）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2A．32ab B．a(chǎn)b C．124．（2023·湖南衡陽(yáng)·一模）在日常生活中我們經(jīng)常會(huì)使用到訂書(shū)機(jī)，如圖MN是裝訂機(jī)的底座，AB是裝訂機(jī)的托板，始終與底座平行，連接桿DE的D點(diǎn)固定，點(diǎn)E從A向B處滑動(dòng)，壓柄BC可繞著轉(zhuǎn)軸B旋轉(zhuǎn)．已知BC=AB=12cm，BD=5(1)當(dāng)托板與壓柄夾角∠ABC=37°時(shí)，如圖①，點(diǎn)E從A點(diǎn)滑動(dòng)了2cm，求連接桿DE(2)當(dāng)壓柄BC從（1）中的位置旋轉(zhuǎn)到與底座AB的夾角∠ABC=127°，如圖②．求這個(gè)過(guò)程中點(diǎn)E滑動(dòng)的距離．（答案保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，命題點(diǎn)三勾股定理逆定理?題型01在網(wǎng)格中判定直角三角形1．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A．35 B．255 C．22．（2023·廣東·中考真題）綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫(huà)出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫(xiě)出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．3．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則S△ABCS4．（23-24九年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，在5×6的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）?題型02利用勾股定理逆定理求解1．（2023·湖北·中考真題）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（

）

A．52π?74 B．52π?2．（2023·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M、作PN⊥BC于點(diǎn)N，連接MN，線段MN的長(zhǎng)度y與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則函數(shù)圖象最低點(diǎn)

A．5，5 B．6,245 3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，X，Y，Z是某社區(qū)的三棟樓，XY=40m，YZ=30m，XZ=50m．若在XZ中點(diǎn)M處建一個(gè)5G網(wǎng)絡(luò)基站，該基站的覆蓋半徑為A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y4．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)A0,3B4,0，點(diǎn)C在第一象限，且AC=55，BC=10，則直線命題點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用?題型01用勾股定理解決實(shí)際生活問(wèn)題1．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號(hào)）．2．（2020·四川·中考真題）如圖，海中有一小島A，它周圍10.5海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行．在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，那么漁船