中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第16講 三角形的概念和性質(zhì)(練習(xí))(解析版)

第四章三角形第16講三角形的概念和性質(zhì)TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01三角形的穩(wěn)定性??題型02畫三角形的五線??題型03與三角形高有關(guān)的計算??題型04等面積法求高??題型05求網(wǎng)格中的三角形面積??題型06與三角形中線有關(guān)的計算??題型07與三角形重心有關(guān)的計算??題型08與三角形中位線有關(guān)的計算??題型09利用角平分線的性質(zhì)求解??題型10角平分線的判定??題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解??題型12垂直平分線線的判定??題型13根據(jù)作圖痕跡求解??題型14利用三角形三邊關(guān)系求解??題型15利用三角形內(nèi)角和定理求解??題型16三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用??題型17三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用??題型18與角度有關(guān)的折疊問題??題型19利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題??題型20利用三角形外角和定理求解??題型21三角形外角性質(zhì)與平行線的綜合應(yīng)用??題型22三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合??題型01三角形的穩(wěn)定性1．（2024·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，在生活中，為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，這是利用了．【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】本題考查了三角形穩(wěn)定性的特性，理解三角形的穩(wěn)定性即可解題．【詳解】解：為了保證兒童的安全，通常兒童座椅主體框架成三角形，是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．2．（2024·廣西柳州·二模）下列圖形中具有穩(wěn)定性的圖形是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的穩(wěn)定性，注意根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，五邊形，四邊形，六邊形不具有穩(wěn)定性，∴具有穩(wěn)定性的是A選項(xiàng)中的圖形，故選：A．3．（22-23八年級上·江西贛州·期中）如圖，四邊形木架ABDC．(1)加上木條BC后，木架不易變形，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是____________；(2)如∠A=∠D，BC平分∠ABD，求證：AC=DC．【答案】(1)三角形具有穩(wěn)定性(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的穩(wěn)定性解答即可；（2）由BC平分∠ABD，可得∠ABC=∠DBC，然后證明△ABC≌△DBCAAS【詳解】（1）解：∵四邊形木架ABDC加上木條BC后，則四邊形ABDC由△ABC和△DBC拼接而成，∵三角形具有穩(wěn)定性，∴此時木架不易變形．故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．（2）證明：∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC，在△ABC和△DBC中，∠A=∠D∴△ABC≌△DBCAAS∴AC=DC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的穩(wěn)定性，角平分線的定義．掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．4．（2023·廣西欽州·一模）某綜合與實(shí)踐活動小組對其自制的橋梁模型的承重開展了項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動，如表是活動的設(shè)計方案．請你參與該項(xiàng)目式學(xué)習(xí)活動，并完成下列問題：項(xiàng)目主題橋梁模型的承重試驗(yàn)活動目標(biāo)經(jīng)歷項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的全過程，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問題驅(qū)動問題當(dāng)橋梁模型發(fā)生不同程度的形變時，水桶下降的高度方案設(shè)計工具狀態(tài)一（空水桶）狀態(tài)二（水桶內(nèi)加一定量的水）示意圖說明：C為AB的中點(diǎn)(1)該綜合與實(shí)踐活動小組在設(shè)計橋梁模型時，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計單元，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是．A．三角形具有穩(wěn)定性B．兩點(diǎn)確定一條直線C．兩點(diǎn)之間線段最短(2)在水桶內(nèi)加入一定量的水后，橋梁發(fā)生了如圖2所示的形變，若其他因素忽略不計，CD=20cm,∠C【答案】(1)A(2)7.5【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，線段熟練掌握銳角三角的性質(zhì)，三角形的穩(wěn)定性，函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，即可解答；（2）設(shè)AC'=xcm，根據(jù)題意可得：DC⊥AB，然后分別在Rt△ACC'和Rt【詳解】（1）解：該綜合與實(shí)踐活動小組在設(shè)計橋梁模型時，選用了三角形結(jié)構(gòu)作為設(shè)計單元，這樣設(shè)計依據(jù)的數(shù)學(xué)原理是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：A；（2）設(shè)AC由題意得：DC⊥AB，在Rt△ACC'∴CC在Rt△AC'∴C'∵CD=30cm∴C'∴x?0.2x=30，解得：x=37.5，∴CC∴此時水桶下降的高度CC'約為??題型02畫三角形的五線5．（2024商洛市二模）在△ABC中，∠BAC是鈍角，下列圖中畫AB邊上的高線正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了三角形的高，根據(jù)三角形的高的定義可知，AB邊上的高線是經(jīng)過C點(diǎn)向AB邊所作的垂線段，依此求解即可，解題的關(guān)鍵是正確理解定義：從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．【詳解】由題意可得，在△ABC中，∠BAC是鈍角，畫AB邊上的高線是CD，故選：B．6．（23-24九年級下·吉林白城·階段練習(xí)）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C均為小正方形的頂點(diǎn)，僅用無刻度的直尺按要求畫圖，保留作圖痕跡．

(1)在圖①中，畫出BC邊上的中線AD．(2)在圖②中，畫出AC邊上的點(diǎn)E，使得AEEC(3)在圖③中，畫出AB邊上的高CF．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，畫三角形的高和中線等等：（1）取BC于格線的交點(diǎn)D，連接AD，線段AD即為所求；（2）如圖所示，取格點(diǎn)G、H，連接GH交AC于E，點(diǎn)E即為所求；（3）如圖所示，取格點(diǎn)D，連接CD交AB于F，線段CF即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段AD即為所求；

（2）解：如圖所示，取格點(diǎn)G、H，連接GH交AC于E，點(diǎn)E即為所求；易證明△AEG∽△CEH，則AECE

（3）解：如圖所示，取格點(diǎn)I，連接CI交AB于F，線段CF即為所求．

7．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的9×7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列要求完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．(1)在圖1中按下列步驟完成畫圖．①畫出△ABC的高CD；②畫△ACD的角平分線AE；③畫點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D'(2)如圖2，P是網(wǎng)格線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的線段MN分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，且PM=PN，畫出線段MN．【答案】(1)①見解析；②見解析；③見解析(2)見解析【分析】（1）①取格點(diǎn)T，連接CT交AB于點(diǎn)D，此時CD是△ABC的高；②取格點(diǎn)H，CD與BH的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，連接AE；③分別畫AB，CT關(guān)于AC的對稱線段AB'和CT'，AB'和CT(2)連接BP并延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)Q，則BP=PQ，連接AP并延長交網(wǎng)格線于點(diǎn)L，則AP=PL，連接QL交BC于點(diǎn)N，延長NP交AB于點(diǎn)M，則線段MN即為所畫的線段．【詳解】（1）解：（1）①如圖所示,CD為所求；②如圖所示,AE為所求；③如圖所示,D'（2）如圖所示,線段MN為所求．【點(diǎn)睛】此題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題,屬于中考?？碱}型．8．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖是由單位長度為1的小正方形組成的7×7網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在格點(diǎn)，C點(diǎn)在網(wǎng)線上，僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程中用虛線表示．

(1)在圖1中，畫BC中點(diǎn)D，再過點(diǎn)D畫線段EF，使EF=BC；(2)在圖2中，畫線段AB的垂直平分線MN，再在直線AB右側(cè)找一點(diǎn)P，連接AP，使∠PAB=∠ABC．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】（1）利用網(wǎng)格特征作出線段BC的中點(diǎn)D，延長ED后有EF=BC；（2）取AB的中點(diǎn)J，點(diǎn)K作直線MN即可，延長CB交MN與點(diǎn)T，設(shè)AC交直線MN于點(diǎn)R，射線TA，射線BR交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）如圖1中，點(diǎn)D，線段EF即為所求；

（2）如圖2中，直線MN，點(diǎn)P即為所求．

【點(diǎn)睛】此題考查了作圖?應(yīng)用與設(shè)計作圖，軸對稱變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．??題型03與三角形高有關(guān)的計算9．（2024·湖北·模擬預(yù)測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點(diǎn)A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關(guān)系，先由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，根據(jù)等面積法求出?=2.4，即可得解．【詳解】解：∵AB∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設(shè)斜邊BC上的高為?，則S△ABC∴?=AB?AC∴以頂點(diǎn)A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是相切，故選：C．10．（2024·上?！つM預(yù)測）在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD交于O，若△BCD面積是△ABD面積的2倍，那么△BOC與△BDC【答案】2:3【分析】本題考查了平行線間的距離，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.過點(diǎn)D作DM⊥BC,垂足為M，過點(diǎn)B作BN⊥AD,交DA的延長線于點(diǎn)N，根據(jù)已知易得DM=BN,再根據(jù)S△BCD=2S△ABD，從而可得BC=2AD，然后再證明△AOD∽△COB,，利用相似三角形的性質(zhì)可得ADBC=DO【詳解】解：過點(diǎn)D作DM⊥BC,垂足為M,過點(diǎn)B作BN⊥AD,交DA的延長線于點(diǎn)N,∵AD∥BC,∴BN=DM,∵S∴1∴BC=2AD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠ACB,∴△AOD∽△COB,∴AD∴BO∵△BOC與△BDC的高相等,∴S故答案為:2:3.11．（2024·重慶·三模）如圖，△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，AB⊥CE于點(diǎn)E，CE與BD相交于點(diǎn)H，已知AD=HD=2，CD=6，則△ABC的面積為．【答案】24【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)ASA證明△ADB≌△HDC，得到BD=CD=6，再根據(jù)△ABC的面積=12AC·BD【詳解】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠HDC=∠ADB=∠AEC=90°，∴∠A+∠HCD=90°，∠DHC+∠HCD=90°，∴∠A=∠DHC，在△ADB與△HDC中，∠A=∠DHCAD=HD∴△ADB≌△HDCASA∴BD=CD=6，∵AC=AD+CD=2+6=8，∴△ABC的面積=1故答案為：24．12．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分別是邊BC上的中線和高，AE＝2，SA．5－1 B．3－1 C．1 D．3【答案】A【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，求三角形的面積，先根據(jù)三角形的面積公式求出BD，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得AD=CD，然后根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而得出答案．【詳解】∵AE=2，S△ABD∴12解得BD=5∵AD是Rt△ABC∴AD=CD=BD=5在Rt△ADE中，DE=∴CE=CD?DE=5故選：A．??題型04等面積法求高13．（2024·陜西西安·二模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A?B?C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC

【答案】4105【分析】本題主要考查了求三角形的高，割補(bǔ)法求三角形面積，勾股定理，先利用割補(bǔ)法求出△ABC的面積，再利用勾股定理求出AC的長，再利用三角形面積公式求出BD即可．【詳解】解：S△ABC由勾股定理得AC=1∵BD是△ABC的高，∴S△ABC∴S△ABC∴BD=4故答案為：41014．（2024·陜西商洛·二模）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則AC邊上的高為（

）A．302 B．855 C．5【答案】B【分析】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、網(wǎng)格中求三角形的面積，先利用割補(bǔ)法和勾股定理求得三角形的面積和AC，再利用三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，S△ABCAC=2∴AC邊長的高=2S故選：B．15．（2024貴州省模擬）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．若AD⊥BC于點(diǎn)D，則線段AD的長為（

）A．5 B．25 C．1 D．2【答案】D【分析】此題主要考查了勾股定理以及三角形面積求法，利用勾股定理得出BC的長，再利用等面積法得出AD的長．【詳解】解：由圖可知：S△ABC=4×4?1∵S△ABC=∴S△ABC=解得：AD=2．故選：D．??題型05求網(wǎng)格中的三角形面積1．（2024·河北唐山·二模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，將△ABC向右平移1個單位長得到△A（1）△ABC的面積為；（2）陰影部分的面積為．【答案】59【分析】本題考查借助網(wǎng)格求面積，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）借助網(wǎng)格求面積即可；（2）設(shè)AB與A'C'的交點(diǎn)為E，BC與A'C【詳解】解：（1）△ABC的面積為：3×4?1故答案為：5；（2）設(shè)AB與A'C'的交點(diǎn)為E，BC與A根據(jù)格點(diǎn)可得，四邊形AA'CD是矩形，對角線交于點(diǎn)G，△ABC∴點(diǎn)G和點(diǎn)H是兩個相鄰格點(diǎn)的中點(diǎn)∴BH=2?0.5=1.5，BG=3?0.5=2.5，由平移的性質(zhì)可知，A'∴△BEF∽△BAC，∴S△BEF∵S∴S即陰影部分的面積為95故答案為：9517．（2024瓊海市三模）如圖，已知A0,2，B2,1，(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC；(2)在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A'B'C'（點(diǎn)A、B、C的對稱點(diǎn)分別為(3)已知P為y軸上一點(diǎn)，若△A'C'P【答案】(1)見解析(2)見解析(3)P0,0或【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，在平面直角坐標(biāo)系中畫三角形以及畫關(guān)于x軸的對稱的圖性，及其根據(jù)三角形面積求點(diǎn)的坐標(biāo)．1先根據(jù)A0,2，B2,1，2先求出A，B，C三點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后描點(diǎn)連接即可．3設(shè)點(diǎn)P0,m，根據(jù)題意，得PA'=m+2，根據(jù)△A'C'P【詳解】（1）解：根據(jù)題意，A0,2，B2,1，則△ABC即為所求．（2）根據(jù)A0,2，B2,1，C4,3，得到關(guān)于x軸對稱的△A'B'則△A（3）設(shè)點(diǎn)P0,m根據(jù)題意，得PA∵△A'C∴1解得m=0或m=?4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P0,0或P18．（2024莆田市模擬）如圖，每個小正方形的邊長為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數(shù)．【答案】(1)17.5(2)∠BCD=90°【分析】本題考查勾股定理和逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．（1）利用網(wǎng)格割補(bǔ)法求面積進(jìn)行求解即可；（2）先用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）四邊形ABCD的面積=5×7?1（2）解：連接BD，根據(jù)勾股定理得AB=12+CD=12+∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°．19．（2024金沙縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

【答案】14【分析】利用割補(bǔ)法求解即可，【解答】解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．??題型06與三角形中線有關(guān)的計算20．（2024·上海浦東新·一模）如圖，在△ABC中，AB=4，AC=6，E為BC中點(diǎn)，AD為△ABC的角平分線，△ABC的面積記為S1，△ADE的面積記為【答案】1:10【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出面積關(guān)系解答．根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DM⊥AB,DN⊥AC，∵AD為△ABC的角平分線，∴DM=DN,

∵AB=4,AC=6,E為BC中點(diǎn)，∴S∴設(shè)S△ABD=2x,S△ADC則S2故答案為：1:10．21．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AD:DB=2:1，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，取線段AE的中點(diǎn)F，連接DF．若DF=4，則△ABC中AC邊上的中線長為（A．2 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線的定義，熟練掌握知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．證明出△ADF∽△ABH，得到DFBH【詳解】解：取AC中點(diǎn)為H，連接BH，則BH為AC邊上的中線，∵DE∥BC，∴ADDB設(shè)AE=4x,EC=2x，則AC=6x，∴AH=3x，∵線段AE的中點(diǎn)F，∴AF=2x，∴AFAH∵∠A=∠A，∴△ADF∽△ABH，∴DFBH∴4BH∴BH=6，故選：B．22．（2024·廣東廣州·二模）如圖，已知△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cos∠ABC=45，BE(1)求AC的長；(2)求△BED的面積．【答案】(1)AC=6(2)18【分析】本題考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定義及三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)∠ABC的余弦求出AB的長，再利用勾股定理即可解決問題．（2）根據(jù)BE為AD邊上的中線可知，△BED的面積是△ABD面積的一半，據(jù)此可解決問題．【詳解】（1）∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．在Rt△ABCcos∠ABC=∴AB=8AC=10（2）∵BE為AD邊上的中線，∴S又∵S∴S23．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D是AB邊靠近頂點(diǎn)B的一個三等分點(diǎn)，連接CD，交BE于點(diǎn)F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中線的性質(zhì)，作EH∥AB，交CD于點(diǎn)H，證明△CEH∽△CAD，結(jié)合三角形中線的性質(zhì)，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根據(jù)題意得到BD=1【詳解】解：作EH∥AB，交CD于點(diǎn)∴△CEH∽△CAD，∵BE是△ABC的中線，∴CHCD=CEAC∵點(diǎn)D是AB邊靠近頂點(diǎn)B的一個三等分點(diǎn)，∴BD=1∴BD=EH，∵EH∥∴△EHF∽△BDF，∴DF即DF=HF=12DH=∴DFCF故選：B．??題型07與三角形重心有關(guān)的計算24．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖①，是某教材七年級下冊某一頁的插圖，這幅插圖告訴我們可以用鉛筆支起一張均勻的三角形卡片．請用尺規(guī)作圖法，在圖②的△ABC中找到這個支點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不寫作法）．【答案】見解析【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)．作AC和BC的垂直平分線得到三角形的兩條中線，它們的交點(diǎn)為P．【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．25．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)O，則OD的長為（

A．53 B．56 C．52【答案】B【分析】本題考查了勾股定理定理，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線交點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理可求出AB=5，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得CD=1【詳解】解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB=B∵點(diǎn)D，E是AB，BC中點(diǎn)，∴CD=12AB=52∴OC=2OD，∴OD=1故選：B．26．（2024·山東聊城·二模）綜合與實(shí)踐教材重現(xiàn)：取一塊質(zhì)地均勻的三角形木板，用一枚鐵釘頂在這個三角形的重心上，木板會保持平衡（如圖），這是重心的物理性質(zhì)．

瑩瑩提前準(zhǔn)備了一個等腰三角形紙片ABC，如圖，AB=AC=5，BC=6．為了找到重心，以便像教材上那樣穩(wěn)穩(wěn)用筆尖頂起，她先把點(diǎn)B與點(diǎn)C重疊對折，得折痕AE，展開后，她把點(diǎn)B與點(diǎn)A重疊對折，得折痕DF，再展開后連接CD，交折痕AE于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是△ABC的重心．

(1)初步觀察：連接AF，判斷AF與BF的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)猜想驗(yàn)證：瑩瑩通過測量發(fā)現(xiàn)OA與OE，OC與OD有同樣的數(shù)量關(guān)系，寫出它們的關(guān)系并說明理由；(3)嘗試運(yùn)用：利用（2）的結(jié)論計算△AOC的面積；(4)拓展探究：瑩瑩把△AFC剪下后得△A'F'C'，發(fā)現(xiàn)可以與△ABF拼成四邊形，且拼的過程中點(diǎn)【答案】(1)AF=BF，見解析(2)OA=2OE，OC=2OD，見解析(3)4(4)OA'的長為97【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)即可得到答案；（2）連接DE，易得DE為△ABC的中位線，則DE∥AC，DE=1（3）由折疊可知，BE=CE=12BC=3（4）連接OB，由（2）知OA=83，則OE=43，利用勾股定理求得OB=973，由折疊可知∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，AD=BD=52，易證△FBD∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)可求得BF=25【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B與點(diǎn)A重疊對折，得折痕DF，∴△ADF≌∴AF=BF；故答案為：AF=BF；（2）解：猜想：OA=2OE，OC=2OD理由如下：連接DE．

∵點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∴∠ODE=∠OCA，∠OED=∠OAC，∴△ODE∽△OCA，∴OEOA∴OA=2OE，OC=2OD；（3）解：由折疊可得，BE=CE=12BC=3∵AC=5，∴AE=A由（2）知，OA=2OE，∵OA+OE=AE=4，∴OA=2∴S△AOC（4）解：如圖，連接OB，

由（2）知，OA=8∴OE=4?8在Rt△OBE中，OB=由折疊可知，∠ADF=∠BDF=90°，AF=BF，∴∠BDF=∠BEA=90°，∵∠FBD=∠ABE，∴△FBD∽∴BDBE=BF∴BF=25∴EF=BF?BE=25當(dāng)A'與點(diǎn)B重合時，如圖①②，連接OB

此時OA

∵∠AFB+∠AFC=180°，∴∠AFB+∠A此時拼成的圖形為三角形，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)A'與點(diǎn)F重合時，如圖③④

在Rt△OEF中，OF=∴OA綜上所述，OA'的長為973【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)、中線的定義、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是讀懂題意，熟知折疊的性質(zhì)，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想解決問題．??題型08與三角形中位線有關(guān)的計算27．（2024·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若CD=3cm，則EF=【答案】3【分析】本題考查了三角形的中位線以及為直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等知識點(diǎn)，由題意得：CD=12AB，再結(jié)合EF【詳解】解：由題意得：CD=1∴AB=6cm∵E、F分別是BC、CA的中點(diǎn)，∴EF是Rt△ABC∴EF=1故答案為：328．（2024·青海西寧·二模）在探索平面圖形的性質(zhì)時，往往需通過剪拼的方式幫助我們尋找解題思路．（1）【知識回顧】在證明三角形中位線定理時，就采用了如圖①的剪拼方式，將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形使問題得以解決，請寫出已知，求證，并證明三角形中位線定理．（2）【數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)】如圖②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)是腰DC的中點(diǎn)，請你沿著如圖③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰AB、DC的中點(diǎn)，我們把EF叫做梯形ABCD的中位線．請類比三角形的中位線的性質(zhì)，猜想EF和AD、【證明猜想】（3）證明（2）的結(jié)論，并在“AD=5，BC=7”的條件下，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）畫圖見解析，猜想：EF∥AD∥【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定：（1）根據(jù)三角形中位線定理的內(nèi)容寫出對應(yīng)的已知，求證和證明過程即可；（2）延長AF交BC延長線于M，證明△ADF≌△MCFAAS（3）如圖③，連接AF并延長，交BC延長線于點(diǎn)M，證明△ADF≌△MCFAAS得到AD=MC，AF=MF，在△ABM中，利用三角形的中位線可證得EF∥BM，EF=12【詳解】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE=1證明：如圖所示，過點(diǎn)C作CF∥AB交DE延長線與F，∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD=BD，∵CF∥AB，∴∠EAD=∠ECF，∴△ADE≌△CFEAAS∴DE=FE，∴CF=BD，∴四邊形BCFD是平行四邊形，∴BC=DF=2DE，∴DE=1（2）如圖所示，延長AF交BC延長線于M，則把△ADF延AF剪開后放置到△MCF的位置，△ABM即為所求；猜想：EF∥AD∥（3）連接AF并延長，交BC延長線于點(diǎn)M，∵AD∥BC∴∠M=∠DAF．∵F是DC的中點(diǎn)，∴DF=CF．∵∠AFD=∠MFC，∴△ADF≌△MCFAAS∴AD=MC，AF=MF．∴點(diǎn)F是AM的中點(diǎn)，又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EF是△ABM的中位線，∴EF∥BM，EF=1∴EF=1∵AD∥BC，∴EF∥AD．∴EF∥AD∥∵AD=5，BC=7，∴EF=129．（2024·山西·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：下面是小華同學(xué)，課后學(xué)習(xí)過程中遇到的一個問題：如圖①，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，CD，BE相交于點(diǎn)P．求證：PEBE小華認(rèn)真思考后，寫出下面的證明過程：連結(jié)DE．∵D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE=1∵……；∴……．∴PE任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)是指：______．(2)將材料中的證明過程補(bǔ)充完整．(3)如圖②，在△ABC中，AB=AC，AD為邊BC的中線．點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)O，BF與AD交于點(diǎn)P．則S△POF【答案】(1)三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）(2)見解析(3)S【分析】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．（1）利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可；（2）證明△PDE∽△PCB，即可解答；（3）如圖中，連接DF．設(shè)△POF的面積為a．證明EF∥BC，得出OPPD=OFBD=12，從而得出S【詳解】（1）解：依據(jù)：三角形中位線定理（三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半）．（2）解：補(bǔ)充如下：∵DE∥∴∠DEP=∠CBP，∠EDP=∠BCP，∴△PDE∽△PCB，∴PE∴PE（3）解：如圖中，連接DF．設(shè)△POF的面積為a．∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥CB，∵AE=EB，AF=FC，∴EF∥BC，∴△AOF∽△ADC，∴AOAD∴AO=12AD∵OF∥∴△OFP∽△DBP，∴OP∴S∴S∵AF=CF，∴S∴S四邊形∴S△POF30．（2024·山東棗莊·一模）下面是小穎同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請你仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)10月30日

星期一

晴今天上午的數(shù)學(xué)課上，我們小組對“測量某池塘寬度AB”進(jìn)行了熱烈討論．我發(fā)現(xiàn)：同學(xué)們都能學(xué)以致用，我學(xué)到的測量方法也特別多，現(xiàn)舉幾例，賞析如下．小麗的方法：如圖（1），在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線l上確定一點(diǎn)D，使點(diǎn)D可直接到達(dá)點(diǎn)A，連接AD，在AB的延長線上確定一點(diǎn)C，使CD=AD，測出BC的長，則AB=BC．小麗的理由：∵CD=AD，DB⊥AC，∴AB=BC．小強(qiáng)的方法：如圖（2），在地面上選取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，連接AC，BC，在AC，BC，上分別取點(diǎn)D、E，使AD=CD，BE=CE，連接DE，測出DE的長，則AB=2DE．小強(qiáng)的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE．（依據(jù)2）．小亮的方法：如圖（3），在BA的延長線上取一點(diǎn)C，在過點(diǎn)C且與AB垂直的直線a上確定一點(diǎn)D，使從點(diǎn)D可直接到達(dá)點(diǎn)B，在過點(diǎn)A且與AB垂直的直線b上確定一點(diǎn)E，使點(diǎn)B，E，D在同一條直線上，測出AC，AE，CD的長，即可求出AB的長．我的方法：在過點(diǎn)A且與AB垂直的直線l上確定一點(diǎn)C，只需測得∠BCA的度數(shù)和CA的長度，就可求出池塘AB的寬度．我感悟：數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，我們遇到問題要想辦法，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，同一問題可以用不同的方法來解決．我要會用“數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界．任務(wù)：(1)填空：依據(jù)1指的是______；依據(jù)2指的是______；(2)若按照小亮的方法測出AC=10m，AE=40m，CD=60m(3)小穎同學(xué)的方法如圖，若測得∠BCA=30°，CA的長度為34米，求池塘AB的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【答案】(1)等腰三角形三線合一，三角形中位線定理(2)池塘AB的寬度為20(3)池塘AB的寬度約為20【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理解決問題即可；（2）證明△BAE∽（3）根據(jù)含30°角三角形的性質(zhì)得到AB，BC間的關(guān)系，再利用勾股定理列方程可求出池塘AB的寬度．【詳解】（1）解：小麗的方法：如圖（1），在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線l上確定一點(diǎn)D，使點(diǎn)D可直接到達(dá)點(diǎn)A，連接AD，在AB的延長線上確定一點(diǎn)C，使CD=AD，測出BC的長，則AB=BC．小麗的理由：∵CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，∵DB⊥AC，∴DB是等腰三角形△ADC的高，∴AB=BC．小強(qiáng)的方法：如圖（2），在地面上選取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A、B的點(diǎn)C，連接AC，BC，在AC，BC，上分別取點(diǎn)D、E，使AD=CD，BE=CE，連接DE，測出DE的長，則AB=2DE．小強(qiáng)的理由：∵AD=CD，BE=CE，∴DE是△ABC的中位線，∴AB=2DE．（三角形中位線定理）．答案為：等腰三角形三線合一；三角形中位線定理；（2）解：∵AB⊥直線a，AB⊥直線b，∴AE∥∴△BAE∽∴ABCB∵AC=10m，AE=40m，CD=60m∴ABAB+10解得AB=20m答：池塘AB的寬度為20m（3）∵BA⊥AC，∠BCA=30°，∴BC=2AB，在Rt△ABC由勾股定理，得BC∵AC=34米，∴2AB2解得AB≈20米，（負(fù)的已舍），答：池塘AB的寬度約為20m【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形相似的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，能綜合運(yùn)用與三角形有關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．??題型09利用角平分線的性質(zhì)求解31．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AE交BC于點(diǎn)E，ED⊥AB于點(diǎn)D，若△ABCA．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，證得Rt△ADE≌Rt△ACEHL，可得【詳解】解：∵AE平分∠BAC，ED⊥AB，EC⊥AC，∴DE=EC，∠ADE=∠ACE=90°，又∵AE=AE，∴Rt△ADE≌∴AD=AC，∵△BDE的周長為4，△ABC的周長為12，∴BD+DE+BE=BD+EC+BE=BD+BC=4，AB+AC+BC=AD+BD+AC+BC=BD+BC+2AC=12，∴4+2AC=12，∴AC=4，故選：B．32．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺規(guī)作圖法作出射線AE，AE交BC于點(diǎn)D，CD=5，P為AB上一動點(diǎn)，則PD的最小值為（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查基本作圖——作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短．當(dāng)DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。俑鶕?jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DP=CD，即得．【詳解】解：當(dāng)DP⊥AB時，根據(jù)垂線段最短可知，此時DP的值最?。勺鲌D知：AE平分∠BAC，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵DP⊥AB，∴DP=CD=5．∴PD的最小值為5，故選：D．33．（2024·青?！ひ荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．(1)求證：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的長．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，（1）由角平分線的性質(zhì)得到DC=DE，證明Rt△ADC≌（2）由勾股定理求出AC，由（1）知AC=AE，由BE=AB?AE=AB?AC，即可得解；掌握角平分線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC=DE，在Rt△ADC和RtDC=DEAD=AD∴Rt△ADC≌∴AC=AE；（2）解：∵∠C=90°，BC=4，AB=5，∴AC=A由（1）知：AC=AE，∴BE=AB?AE=AB?AC=5?3=2，∴BE的長為2．34．（2024·甘肅嘉峪關(guān)·二模）如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的邊AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若BC=3，求DE的長．【答案】(1)見詳解(2)3【分析】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作已知線段的垂直平分線）是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和解直角三角形、角平分線的性質(zhì)．（1）利用基本作圖作AB的垂直平分線即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=BE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和正切定義即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，DE為所作；（2）解：連接BE，∵DE是AC的垂直平分線，∴AE=BE,DE⊥AB，∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，∴∠ABE=∠A=30°,∠ABC=60°，∴∠CBE=30°，∴∠CBE=∠ABE，又∠ACB=∠BDE=90°，∴DE=CE=BC?tan故DE的長為3．??題型10角平分線的判定35．（2024·重慶·模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)了四邊形后，小麥同學(xué)想繼續(xù)探索鄰邊相等的四邊形特征，請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：(1)用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)C作CN⊥AB交AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作CM⊥AD交AD于點(diǎn)M，（只保留作圖痕跡）(2)在（1）所作圖形中，四邊形ABCD，DC=BC，∠BAD+∠BCD=180°，連接AC，求證：AC平分∵CM⊥AD，∴∠CMD=∠CNB=90°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠CDM=180°，∴①，∵CD=CB，∴△CDM≌△CBN（②

），∴CM=CN，∴∠BAC=∠DAC（依據(jù)：③

）小麥同學(xué)進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，四邊形中滿足鄰邊相等，且對角互補(bǔ)，均有以上特征，請你依照題意完成下面命題：若四邊形鄰邊相等，對角互補(bǔ)，則④．【答案】(1)見詳解(2)①∠B=∠CDM；②AAS；③角平分線判定定理；④四邊形的對角線平分相等臨邊所夾角的對角【分析】本題考查了作圖——基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理．（1）利用垂線的基本作圖，解答即可；（2）根據(jù)垂直的定義，三角形的全等判定和性質(zhì)，根據(jù)角平分線的判定證明即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意作圖即可；（2）證明：∵CM⊥AD，∴∠CMD=∠CNB=90°，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，又∵∠ADC+∠CDM=180°，∴①∠B=∠CDM，∵CD=CB，∴△CDM≌△CBN（②AAS），∴CM=CN，∴∠BAC=∠DAC（③角平分線判定定理）依照題意完成下面命題：若四邊形鄰邊相等，對角互補(bǔ)，則④四邊形的對角線平分相等臨邊所夾角的對角．故答案為：①∠B=∠CDM；②AAS；③角平分線判定定理；④四邊形的對角線平分相等臨邊所夾角的對角．36．（2024·江蘇南通·二模）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一射線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊OA、OB上的點(diǎn)，連接PM，PN且PM=PN，∠求證：OC是∠AOB小星的解答如下：證明：在△POM和△PON中，∵PM=PN，∠PMO=∠PNO∴△POM≌△PON……第一步∴∠POM=∴OC是∠AOB(1)小星的解答從第步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出你認(rèn)為正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB于點(diǎn)D，E，根據(jù)AAS證明△PMD≌△PNE，即可得到PD=PE，然后根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）小星的解答從第一步開始出現(xiàn)錯誤，故答案為：一；（2）證明：過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB于點(diǎn)D，E，∴∠PDM=∵∠PMO=∴∠PDM=又∵PM=PN，，∴△PMD≌△PNE(AAS∴PD=PE，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB37．（22-23九年級下·山東臨沂·期中）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF，∠BPC=130°，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．65° B．80° C．100° D．70°【答案】B【分析】先根據(jù)點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF得到BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分線，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=80°，然后利用角平分線性質(zhì)從而利用角平分線的定義可得∠ABC+∠ACB，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P到三邊AB，AC，BC的距離PD=PE=PF，∴BP、CP是∠ABP、∠ACP的角平分線，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∵∠BPC=130°，∴∠PBC+∠PCB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2∠PBC+∠PBC∴∠BAC=180°?∠ABC+∠ACB故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線判定定理是解題的關(guān)鍵．38．（2021·湖北孝感·二模）已知ON⊥OM，△ABC的頂點(diǎn)A在ON上，頂點(diǎn)B在OM上，且CA=CB，CA⊥CB．連接OC，與AB交于點(diǎn)D．（1）如圖1，若CA⊥ON，求證：OC平分∠MON；（2）如圖2，若CA與ON不垂直，OC是否仍平分∠MON?請作出結(jié)論，并說明理由（3）如圖3，若ODCD=12，【答案】（1）見解析；（2）OC仍平分∠MON．理由見解析；（3）3【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）證明△ACF≌△BCE，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明；（3）作CH⊥AB，垂足為H．由△BCD∽△OCB求得CD，再解Rt△CHD【詳解】（1）證明：∵ON⊥OM，CA⊥CB，CA⊥ON，∴∠AOB=∠OAC=∠ACB=90°，∴∠OBC=90°，∴CB⊥OM．又∵CA⊥ON，CA=CB，∴OC平分∠MON．（2）OC仍平分∠MON．理由如下：如圖1，作CE⊥OM，CF⊥ON．∴∠CEO=∠CFO=90°，∴∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠BCE．又∵CA=CB，∴△ACF≌△BCE(AAS∴CF=CE．又∵CE⊥OM，CF⊥ON，∴OC平分∠MON．（3）解：如圖2，作CH⊥AB，垂足為H．由（2）知，OC平分∠MON，∴∠BOC=1∵CA⊥CB，CA=CB，∴∠CBA=∠CAB=45°．∴∠CBA=∠BOC．又∵∠BCD=∠OCB，∴△BCD∽△OCB．∴BC∵OD∴設(shè)OD=k，則CD=2k，OC=3k∴63k=∴CD=26在Rt△ACB中，AB=∵CA=CB，CH⊥AB，∴AH=BH=32，CH=在Rt△CHD中，DH=∴AD=AH?DH=32【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟悉以上定理是解題的關(guān)鍵．??題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解39．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，ED垂直平分AB，若AC=12，EC=5，則BE的長為．【答案】13【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理．首先根據(jù)勾股定理可以求出AE=13，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=AE=13．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=12，EC=5，∴AE∴AE∴AE=13，∵ED垂直平分AB，∴BE=AE=13．故答案為：13．40．（2024·湖北宜昌·一模）如圖，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為圓心，大于12BC為半徑作弧，兩弧相交于A、M兩點(diǎn)；作直線AM；連接(1)△ABC是什么三角形？說明理由；(2)在△ABC中，CE是∠ACB平分線，BF是∠ABC平分線．求證：BF=CE．【答案】(1)△ABC是等腰三角形，見解析；(2)見解析．【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由作圖知AM是BC的垂直平分線，據(jù)此可證明△ABC是等腰三角形；（2）證明△BCF≌△CBE，即可得到BF=CE．【詳解】（1）解：△ABC是等腰角形，理由如下：根據(jù)作圖，AM是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形；（2）證明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵CE是∠ACB平分線，BF是∠ABC平分線，∴∠FBC=12∠ABC∴∠FBC=∠ECB，又∵BC=BC，∴△BCF≌△CBEASA∴BF=CE．41．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，BC=6，AC=8，∠C=90°，點(diǎn)F，G分別在邊AB和BC上，且GF=GB，作AF的垂直平分線交AC于點(diǎn)E，則EG的最小值．【答案】5【分析】本題考查了解直角三角形，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)G作GM⊥BF，交BF于點(diǎn)M，勾股定理算出AB，設(shè)GB=x，則GF=x，表示出FM=BM=35x，根據(jù)EH是AF的垂直平分線，得出FH=AH=5?35【詳解】解：過點(diǎn)G作GM⊥BF，交BF于點(diǎn)M，如圖，∵∠C=90°，BC=6，AC=8，∴AB=A∵GM⊥BF，∴∠GMB=90°，設(shè)GB=x，則GF=x，∴∠GFB=∠B,FM=BM=GB?cos∵EH是AF的垂直平分線，∴FH=AH=5?3∴EF=AE=AHcosA∴EG=G∴x=3時，EG=5最小．故答案為：5．42．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=135°，AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E、連接CE，則CE的長為（

）A．6 B．26 C．43【答案】B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠A=45°,AB=BC=4,然后得到AE=EB，利用勾股定理解得BE長，然后在Rt△BCE中再利用勾股定理求出CE【詳解】連接BE，如圖，在菱形ABCD中，菱形ABCD的邊長為4，∴AD∥BC，AB=BC=4,∵∠ABC=135°，∴∠A=180°?∠ABC=45°,∵EF垂直平分AB，∴AE=EB,∠BFE=90°∴∠A=∠ABE=45°，∴∠AEB=90°，△ABE為等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC?∠ABE=90°∴EF=BF=1∴BE=B∴在Rt△BCE中，∴CE=B故選：B．43．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，交直線AC于點(diǎn)E，連接BE，若∠BED=50°，則∠ABC的度數(shù)為．【答案】70°或20°【分析】本題考查了垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意，畫出示意圖，分點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)E在CA延長線上，兩種情況討論即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AC上時，∵D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠BAE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠AED=∠BED=50°，∵∠BDE=∠ADE=90°，∴∠ABE=∠BAE=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=180°?∠BAE如圖，當(dāng)點(diǎn)E在CA延長線上，同理可得：∠ABE=∠BAE=40°，∴∠BAC=180°?∠BAE=140°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=180°?∠BAE綜上，∠ABC的度數(shù)為70°或20°，故答案為：70°或20°．??題型12垂直平分線線的判定44．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，則BC的長為（

）A．45 B．35 C．53【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD、OB，延長BO交CD于點(diǎn)M，由勾股定理得AC=10，利用中線的性質(zhì)得OD=OC=OB=12AC=5，再證BM⊥CD，CM=DM=【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OD、OB，延長BO交CD于點(diǎn)M，∵AD=6，CD=8，∠ADC=90°，∴AC=A∵∠ABC=∠ADC=90°，O是CD的中點(diǎn)，∴OD=OC=OB=1∴點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上，∵BD=BC，∴點(diǎn)B在線段CD的垂直平分線上，∴BM⊥CD，CM=DM=12∴OM=O∴BM=OB+OM=8，∴BC=B故選∶A．45．（2024·湖南長沙·一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求證：(1)AE=AC；(2)直線AD是線段CE的垂直平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定；（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DC，從而證明Rt△AED≌（2）根據(jù)垂直平分線的判定證明即可．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DC，∴Rt△AED≌∴AE=AC；（2）∵AE=AC，∴點(diǎn)A在線段CE的垂直平分線上，∵DE=DC，∴點(diǎn)D在線段CE的垂直平分線上，∴AD是線段CE的垂直平分線．46．（2024·江蘇連云港·一模）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD對角線AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BE交CD于點(diǎn)F．連接BF交AC于點(diǎn)G,BE=AD．(1)求證：∠FEC=∠FCE；(2)試判斷線段BF與AC的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)BF垂直AC，見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定；（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合已知得出BE=BC，即∠ECB=∠CEB，再根據(jù)∠FEC=∠BCD=90°可得結(jié)論；（2）根據(jù)FE=FC，BE=BC，可得BF垂直平分EC，則BF垂直AC．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠BCD=90°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠ECB=∠CEB，∵EF⊥BE，∴∠FEB=∠BCD=90°，∴∠FEC=∠FCE；（2）BF垂直AC；理由：∵∠FEC=∠FCE，∴FE=FC，∴點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上．又∵BE=BC，∴點(diǎn)B在線段EC的垂直平分線上．∴BF垂直平分EC，∴BF垂直AC．??題型13根據(jù)作圖痕跡求解47．（2024·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，利用尺規(guī)在BC，BA上分別截取BE，BD，使BE=BD；分別以D，E為圓心、以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G．若CG=1，P為AB上一動點(diǎn)，當(dāng)GP最小時，AC的長為(A．1 B．3 C．1+2 【答案】C【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角想性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H，由角平分線的性質(zhì)得出GH=GC=1，再證明△AGH是等腰直角三角形，得出AH=GH=1得出AG=A【詳解】如圖，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時，GP最小，由作圖可知，BG平分∠ABC，∵GH⊥BA，GC⊥BC，∴GH=GC=1，∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，∴∠A=45°，△AGH是等腰直角三角形，∴AH=GH=1，∴AG=所以AC=CG+AG=1+2故選：C．48．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC．用尺規(guī)進(jìn)行以下操作：①以C為圓心BC長為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，連接CD；②以C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BC，CD于點(diǎn)N，M；③分別以M，N為圓心，以大于12MN長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，做射線CE．若∠A=42°，則∠ACE的度數(shù)為（A．42° B．48° C．50° D．52°【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的作圖及其性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)作圖可知，CB=CD，CE平分∠BCD，然后由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得∠ACB=∠DBC=∠CDB=69°，∠BCD=42°，再利用角平分線的性質(zhì)可求得∠BCE=21°，最后根據(jù)角的和差即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可知，CB=CD，CE平分∠BCD∵AB=AC，∠A=42°∴∠ACB=∠ABC=又∵CB=CD∴∠DBC=∠CDB=69°∴∠BCD=180°?∠DBC?∠CDB=180°?69°?69°=42°∵CE平分∠BCD∴∠BCE=∴∠ACE=∠ACB?∠BCE=69°?21°=48°故選：B．49．（2024·海南省直轄縣級單位·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°，AC=4，按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD，使AD=AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于12DE，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是線段AF上的一個動點(diǎn)，連接CPA．2 B．3+1 C．23 【答案】C【分析】本題是一道典型的利用胡不歸模型解決線段和最值得問題，胡不歸模型的重點(diǎn)就在于能否把a(bǔ)+kb轉(zhuǎn)化成為a+c，根據(jù)題目中的條件構(gòu)造直角三角形是解決本道題的關(guān)鍵．根據(jù)題目中所給的條件，判斷AF為角平分線，由問題可知，需要利用胡不歸模型構(gòu)建直角三角形，轉(zhuǎn)化兩條線段和為一條線段，利用三角函數(shù)求出線段長度．【詳解】解：由作圖步驟可知，射線AM為∠CAB的角平分線，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF＝過點(diǎn)C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°∴PN=1∴CP+1根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時CP+NP值最小，在Rt△ACN中，∠CAN=60°∴sinCN=sin∴CP+1故選：C．50．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°閱讀以下作圖步驟：（1）分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)D，E，作直線DE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)H，畫射線（2）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M，交CF于點(diǎn)N；（3）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠BCF的內(nèi)部交于點(diǎn)G，畫射線CG，則射線下列說法不正確的是（

）A．AF=CF B．FH=12CH C．CG⊥AB 【答案】B【分析】由DE垂直平分線段AC可判斷A，由30度角的性質(zhì)可判斷B，由等邊三角形的判定可判斷D，由三線合一可判斷C．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60∴∠A=90°?60°=30°，由作圖可知DE垂直平分線段AC，∴FA=FC，故選項(xiàng)A正確，∴∠A=∠FCA=30°，∵∠FHC=90°，∴FH=1∴∠FCB=90°?30°=60°，∴∠FCB=∠B=∠CFB=60°，∴△BCF是等邊三角形，故選項(xiàng)D正確，由作圖可知CG平分∠BCF，∴CG⊥AB，故選項(xiàng)C正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線，含30度的直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．51．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）如圖，△ABC的面積為16，且AB=AC，BC=4，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，作直線EF．已知D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)，則BM+DM的長度的最小值為（A．4 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】本題主要考查了三線合一定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，連接AD，AM，由三線合一定理得到AD⊥BC，再由三角形面積計算公式得到AD=8，由作圖方法可知，EF垂直平分AB，則AM=BM，故當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時，AM+DM有最小值，即此時BM+DM有最小值，最小值為【詳解】解：如圖所示，連接AD，∵在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵△ABC的面積為16，∴12∵BC=4，∴AD=8；由作圖方法可知，EF垂直平分AB，∴AM=BM，∴BM+DM=AM+DM，∴當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時，AM+DM有最小值，即此時BM+DM有最小值，最小值為AD的長，∴BM+DM的最小值為8，故選：C．??題型14利用三角形三邊關(guān)系求解52．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若3，6，x是某三角形的三邊長，則x可取的最大整數(shù)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．設(shè)第三邊長為x，然后再利用三邊關(guān)系列出不等式組，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：∵3，6，x是某三角形的三邊長，∴6?3<x<6+3，即：3<x<9，∴x可取的最大整數(shù)為8故選：C．53．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2?9x+18=0的兩個根，則該三角形的周長是（A．9 B．15 C．12或15 D．不能確【答案】B【分析】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．也考查了三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的定義．先利用因式分解法解x2?9x+18=0得到x1【詳解】解：x2(x?3)(x?6)=0，x?3=0或x?6=0，解得：x1=3，當(dāng)三角形的腰為6，底為3時，三角形的周長為6+6+3=15，當(dāng)三角形的腰為3，底為6時，3+3=6，故不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去，所以三角形的周長為15．故選：B．54．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）若a，b，c是三角形的三邊長，則式子c2?a?bA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定【答案】A【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)三角形中任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊得到c+a?b>0，c?a+b>0，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三邊長，∴c+b>a，c+a>b，∴c+a?b>0∴c2故選：A．55．（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測）已知等腰三角形的三邊長分別是2，x，6，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8+x B．10 C．10或14 D．14【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵．分兩種情況討論：若等腰三角形的腰長為2，底邊長為6，則等腰三角形不存在；若等腰三角形的腰長為6，底邊長為2，則周長為14，即可求解．【詳解】解：若等腰三角形的腰長為2，底邊長為6，∵2+2<6，∴不能構(gòu)成三角形；若等腰三角形的腰長為6，底邊長為2，則等腰三角形的周長是6+6+2=14，故選：D??題型15利用三角形內(nèi)角和定理求解56．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．65° D．75°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC=∠ABD，再根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，∠ABD=1【詳解】解：∵BA平分∠CBD，∴∠ABC=∠ABD，∵AB是⊙O的直徑，∠AOD=50°，∴∠ACB=90°，∠ABD=1則∠ABC=25°，∴∠A=180°?∠C?∠ABC=180°?90°?25°=65°，故選：C．57．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D=70°，OA⊥BC交交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊對等角，三角形的內(nèi)角和定理，連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠D=140°，根據(jù)垂徑定理得∠COA=12∠BOC=70°【詳解】解：如圖所示，連接OB，OC，

∵∠D=70°，∴∠BOC=2∠D=140°，∵OA⊥BC，OB=OC，∴∠COA=1∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=1故選：C．58．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，將正五邊形紙片ABCDE沿BP折疊，得到△BC'P，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，BC'的延長線交DE于點(diǎn)F，若A．30° B．45° C．60° D．72°【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由正五邊形紙片ABCDE，可得∠ABC=∠C=180°×5?25=108°，由DF=EF，可得∠FBC=12∠ABC=54°【詳解】解：∵正五邊形紙片ABCDE，∴∠ABC=∠C=180°×∵DF=EF，∴∠FBC=1由折疊的性質(zhì)可知，∠BC'P=∠C=108°∴∠BPC故選：B．59．（2024·福建莆田·模擬預(yù)測）將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置在A4紙片上，其中點(diǎn)A，B分別落在紙片邊上．若∠1=105°，則∠2的度數(shù)為（

）

A．15° B．60° C．65° D．75°【答案】D【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，由已知條件可得出∠ABC=30°∠1=105°，由直角三角形兩銳角互余以及平角的定義可得出∠BAC=60°，∠3=45°，再由三角形三角和定理可得出∠4=45°，最后根據(jù)平角的定義可求出∠2．【詳解】解：∵∠ABC=30°∠1=105°，∴∠BAC=90°?30°=60°，∠3=180°?∠ABC?∠1=180°?30°?105°=45°，∴∠4=180°?90°?45°=45°，∴∠2=180°?45°?60°=75°，故選D．

??題型16三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用60．（2024·四川眉山·一模）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．40° B．43° C．46° D．54°【答案】A【分析】本題考查的知識點(diǎn)是三角形內(nèi)角和、角平分線的定義及平行線性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)概念與性質(zhì)．先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，再根據(jù)角平分線定義及平行線性質(zhì)可得∠ADE=∠BAD=1【詳解】解：∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，且∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=1∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故選：A．61．（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）將一副三角板（∠E=30°）按如圖方式擺放，使EF∥AB，則∠FPC=（

）A．105° B．115° C．75° D．90°【答案】C【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠F=180°?90°?∠E=60°，然后由平行線的性質(zhì)得到∠FCP=∠A=45°，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵∠E=30°∴∠F=180°?90°?∠E=60°∵EF∥AB∴∠FCP=∠A=45°∴∠FPC=180°?∠F?∠FCP=75°．故選：C．62．（2021·湖南婁底·二模）如圖，在△ABC中，∠BAC=72°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB'C'的位置，使得CCA．60° B．36° C．54° D．50°【答案】B【分析】首先證明∠ACC′=∠AC′C；然后運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理求出∠CAC′=40°即可解決問題．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得：AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C；∵CC′∥AB，且∠BAC=72°，∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=72°，∴∠CAC′=180°-2×72°=36°；由題意知：∠BAB′=∠CAC′=36°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．??題型17三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用63．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，BD是△ABC的角平分錢，AE⊥BD，垂足為F，交BC于點(diǎn)E，連接DE．若∠ABC=35°，∠C=50°，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】D【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的概念等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC=95°，利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BED=∠BAD=95°，即可解決問題．【詳解】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，∴∠BAC=95°，∵BD是△ABC的角平分錢，∴∠ABF=∠EBF．在△BFA和△BFE中∠ABF=∠EBFBF=BF∴△BFA≌△BFEASA∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，BA=BE∠ABD=∠EBD∴△BDA≌△BDESAS∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CED=180°?∠BED=85°，∴∠CDE=180°?∠C?∠CED=45°．故選：D．64．（2024重慶市模擬）如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A

A．α2 B．α22023 C．α【答案】C【分析】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形的外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=12【詳解】解：∵A1B是∠ABC的平分線，A1∴∠A1BC=又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A∴12∴∠A∵∠A=α，∴∠A同理可得∠A2=12∴∠A∴∠A故選：C．65．（2024·寧夏銀川·二模）如圖，把△ABC剪成三部分，邊AB，BC，AC放在同一直線l上，點(diǎn)O都落在直線MN上，直線MN∥l．在△ABC中，若∠BOC=130°，則∠BAC的度數(shù)為（

）A．50° B．65° C．75° D．80°【答案】D【分析】本題考查三角形內(nèi)心，讀懂題意，熟練掌握三角形內(nèi)心的判定及性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．過點(diǎn)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，得到點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，即點(diǎn)O為三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵直線MN∥l，∴OD=OE=OF，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，即點(diǎn)O為三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+∠OCB∴∠BAC=180°?∠ABC+∠ACB故選：D．66．（2024·廣東惠州·二模）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠B=44°，∠C=70°，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．10° B．12° C．13° D．15°【答案】C【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵．先求出∠BAD=90°?∠B=46°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC=180°?∠C?∠B=66°，由角平分線的定義得到∠BAE=12∠BAC=33°【詳解】解：∵AD⊥BC，∠B=44°，∴∠BAD=90°?∠B=46°，∵∠C=70°，∴∠BAC=180°?∠C?∠B=180°?70°?44°=66°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=1∴∠DAE=∠BAD?∠BAE=46°?33°=13°，故選：C．??題型18與角度有關(guān)的折疊問題67．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖所示，在△ABC中，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A，B都與點(diǎn)C重合，若∠NCF