中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第16講 三角形的概念和性質(zhì)(講義3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)22種題型(含8種解題技巧))(原卷版)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章三角形第16講三角形的概念和性質(zhì)（思維導(dǎo)圖+3考點(diǎn)+2命題點(diǎn)22種題型（含8種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)考點(diǎn)二三角形中有關(guān)線段考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的角04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一與三角形有關(guān)的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性?題型02畫三角形的五線?題型03與三角形高有關(guān)的計(jì)算?題型04等面積法求高?題型05求網(wǎng)格中的三角形面積?題型06與三角形中線有關(guān)的計(jì)算?題型07與三角形重心有關(guān)的計(jì)算?題型08與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算?題型09利用角平分線的性質(zhì)求解?題型10角平分線的判定?題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解?題型12垂直平分線線的判定?題型13根據(jù)作圖痕跡求解?題型14利用三角形三邊關(guān)系求解命題點(diǎn)二與三角形有關(guān)的角?題型01利用三角形內(nèi)角和定理求解?題型02三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用?題型03三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用?題型04與角度有關(guān)的折疊問題?題型05利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題?題型06利用三角形外角和定理求解?題型07三角形外角性質(zhì)與平行線的綜合應(yīng)用?題型08三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合

01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求三角形中的重要線段★★理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性；探索并證明三角形的內(nèi)角和定理，掌握它的推論；證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊；了解三角形重心的概念；探索并證明角平分線的性質(zhì)定理；理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理.三角形的三邊關(guān)系★三角形的內(nèi)角和外角★★三角形的垂直平分線★★【命題預(yù)測(cè)】在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考察.02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一三角形的基礎(chǔ)一、三角形的相關(guān)概念三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.二、三角形的分類1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三、三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.【補(bǔ)充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.三角形三邊關(guān)系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說(shuō)明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過(guò)周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．1．（2024·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是DC的中點(diǎn)，連接AE，則圖中的直角三角形有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2022·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3．（2023·吉林·中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度（單位：cm），其中能搭成一個(gè)三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12考點(diǎn)二三角形中有關(guān)線段類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言性質(zhì)∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12用途舉例1）線段垂直．2）角度相等．1）線段相等．2）面積相等．角度相等．類型三角形的中位線三角形的垂直平分線文字語(yǔ)言連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線圖形語(yǔ)言性質(zhì)∵DE是?ABC的中位線∴DE=12∵直線l是AB的垂直平分線∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途舉例1）線段平行．2）線段關(guān)系．1）線段相等．2）角度相等．1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在△ABC中，E是中線AD的中點(diǎn)．若△AEC的面積是1，則△ABD的面積是．2．（2024·河北·中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段BD一定是△ABC的（

）A．角平分線 B．高線 C．中位線 D．中線3．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OB，PD=2，則點(diǎn)P到OA的距離是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC,BC的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（

A．18m B．24m C．36m5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，△ABC的邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，連接BD．若AC=8，CD=5，則BD=．QUOTEQUOTE考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的角三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．則∠1的度數(shù)為（A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場(chǎng)某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°3．（2023·河北張家口·一模）將一副三角板按如圖所示方式擺放，使有刻度的邊互相垂直，則∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三角形紙片沿過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的直線剪開后得到①②兩個(gè)三角形紙片，則一定正確的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B5．（2023·四川遂寧·中考真題）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)的比試1:2:3，這個(gè)三角形是三角形04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一與三角形有關(guān)的線段?題型01三角形的穩(wěn)定性1)三角形具有穩(wěn)定性.2)四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.1．（2022·湖南永州·中考真題）下列多邊形具有穩(wěn)定性的是（）A．B．C．D．2．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）四邊形結(jié)構(gòu)在生活實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，如圖所示的升降機(jī)，通過(guò)控制平行四邊形形狀的升降桿，使升降機(jī)降低或升高，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．平行四邊形的對(duì)角相等C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的內(nèi)角和等于360°3．（2021·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖所示的五邊形木架不具有穩(wěn)定性，若要使該木架穩(wěn)定，則要釘上的細(xì)木條的數(shù)量至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4QUOTEQUOTEQUOTE?題型02畫三角形的五線1．（2023·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線2．（2024·廣東深圳·中考真題）在如圖的三個(gè)圖形中，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，能判斷射線AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上確定一點(diǎn)D，連接BD，使得BD平分△ABC的面積．（不寫作法、保留作圖痕跡）4．（2023·廣東江門·一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根據(jù)要求用尺規(guī)作圖：作AB邊上的高CD交AB于點(diǎn)D；（不寫作法，只保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，求CD的長(zhǎng)．5．（2023·山東青島·中考真題）用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：△ABC．求作：點(diǎn)P，使PA=PC，且點(diǎn)P在△ABC邊AB的高上．

?題型03與三角形高有關(guān)的計(jì)算①有高首先想到面積，可以考慮等面積法求高線.②高相等，面積之比等于底邊之比.1．（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12，則BE的長(zhǎng)為（A．1.5 B．3 C．4 D．62．（2024親水縣三模）如圖，已知△ABC的面積為48，AB=AC=8，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，則DE長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

4．（2022·山東青島·中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分別是【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B則S△ABC∵AD=∴S△ABC【性質(zhì)應(yīng)用】(1)如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點(diǎn)．若BD=3,DC=4，則S△ABD(2)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，則S△BEC(3)如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點(diǎn)，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，則QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04等面積法求高等面積法是一種方程思想，即用兩種不同的方法表示同一個(gè)三角形的面積，那么這兩個(gè)表示的面積是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情況下:一種是利用面積公式表示三角形面積,另一種是利用割補(bǔ)法表示三角形的面積.1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A，B，C都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則△ABC中邊BC上的高為（

）A．54 B．2105 C．102．（2024·上海寶山·一模）如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停靠站A的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？奎c(diǎn)A、B之間的距離為25km，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CD⊥AB．則修建公路CD3．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別3和4，這個(gè)直角三角形斜邊兒上的高為．4．（2023·四川樂山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求點(diǎn)C到QUOTE?題型05求網(wǎng)格中的三角形面積1）利用割補(bǔ)法求三角形的面積.2）皮克定理：三角形的面積=內(nèi)點(diǎn)數(shù)+邊點(diǎn)數(shù)÷2-11．（2024恩施市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A?3,?1，B1,3，C2,?3，則三角形ABC

2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A3,?1、B1,?4、C3,?3，將△ABC向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，得到△A'B'C'，其中點(diǎn)A，B(1)請(qǐng)畫出△A(2)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為_________；△3．（2024浙江模擬預(yù)測(cè)）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求4．（2024洛陽(yáng)市模擬）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)求四邊形ABCD的面積；(2)求∠BCD的度數(shù)．?題型06與三角形中線有關(guān)的計(jì)算1．（2024珠海區(qū)模擬）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC邊上的中線，若△ABD的周長(zhǎng)為45，△BCD的周長(zhǎng)是（

）A．47 B．43 C．38 D．252．（2024·山西太原·三模）如圖示，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D是AB邊靠近頂點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接CD，交BE于點(diǎn)F，則DFCF等于（

A．12 B．13 C．143．（2024·云南昆明·二模）如圖，AD，CE是△ABC的兩條中線，連接ED．若S△ABC=16，則陰影部分的面積是（

A．2 B．4 C．6 D．84．（2024南寧市模擬）如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，若S△ABC=12，則陰影部分的面積為（A．10 B．8 C．6 D．4?題型07與三角形重心有關(guān)的計(jì)算1．（2023·浙江·中考真題）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F，若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2024·黑龍江綏化·中考真題）已知：△ABC．(1)尺規(guī)作圖：畫出△ABC的重心G．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）(2)在（1）的條件下，連接AG，BG．已知△ABG的面積等于5cm2，則△ABC的面積是______3．（2024·山東青島·一模）三角形的重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的重心．三角形重心的一個(gè)重要性質(zhì)：重心與一邊中點(diǎn)的連線的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線長(zhǎng)的13下面是小亮證明性質(zhì)的過(guò)程：已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，AD，求證：OE證明：連接ED，∵D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)∴∴△ACO

性質(zhì)應(yīng)用：(1)如圖1，在△ABC中，點(diǎn)G是△ABC的重心，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若AG=4，則AE=______；

(2)如圖2，在△ABC中，中線AE，CF相交于點(diǎn)G，若△ABC的面積為48，則

(3)如圖3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

?題型08與三角形中位線有關(guān)的計(jì)算1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF=3，則BD的長(zhǎng)為．2．（2024·湖南·中考真題）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F(xiàn)分別是AB，4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別是E,F,G,H，若對(duì)角線AC=24,BD=18，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是．?題型09利用角平分線的性質(zhì)求解1．（2024·云南·中考真題）已知AF是等腰△ABC底邊BC上的高，若點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為（

）A．32 B．2 C．3 D．2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（）A．2 B．23 C．4 D．4+233．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交BD于點(diǎn)I，連接CI，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內(nèi)心D．I到A，B，C三點(diǎn)的距離相等4．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，則點(diǎn)E到直線AD的距離為．

?題型10角平分線的判定1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)I到Rt△ABC三邊的距離相等，則∠AIB的度數(shù)為2．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知在銳角△ABC中，∠BAC的平分線AD交邊BC于D，∠ACB的平分線CF交邊AB于F，AD與CF交于O，連接BO并延長(zhǎng)交AC于E(1)尺規(guī)規(guī)范作圖，寫出已知(2)求證：BE平分∠ABC(3)求證：BD3．（2024·江西贛州·二模）【課本再現(xiàn)】思考我們知道，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，反過(guò)來(lái)，角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理；角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【定理證明】（1）為證明此逆定理，某同學(xué)畫出了圖形，并寫好“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：如圖1，在∠ABC的內(nèi)部，過(guò)射線BP上的點(diǎn)P作PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分別為D，E，且PD=PE．求證：BP平分∠ABC．【知識(shí)應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，過(guò)內(nèi)部一點(diǎn)P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，且PD=PE=PF，∠A=120°，連接PB，PC．①求∠BPC的度數(shù)；②若PB=6，PC=23，求BC?題型11利用垂直平分線的性質(zhì)求解已知垂直平分線，立馬得到以下三個(gè)結(jié)論:1）垂直；2）平分；3）連垂直平分線上某點(diǎn)和線段兩端，那么這兩個(gè)距離相等.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于點(diǎn)D，若△ACD的周長(zhǎng)為50A．25?cm B．45?cm C．50?cm54．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，扇形AOB的半徑為2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P，∠BOP=35°，則AB的長(zhǎng)l=．（結(jié)果保留

2．（2023·四川攀枝花·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠EBC=．

3．（2023·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若AB=5，AC=8，則△ABD的周長(zhǎng)是.

?題型12垂直平分線線的判定1）根據(jù)線段垂直平分線的定義，也就是經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，使用這種方法必須滿足兩個(gè)條件：一是垂直，二是平分；2）可以證明直線上有兩個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可以判定這兩點(diǎn)所在的直線就是這條線段的垂直平分線.1．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，直徑AD交BC于點(diǎn)E，若DE:AD=1:4，則BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:42．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形ABCD，AB≤BC．用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PA+PC=BC，則下列做法正確的是（）A． B．C． D．3．（2024·黑龍江佳木斯·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，則BC的長(zhǎng)為（

）A．45 B．35 C．53?題型13根據(jù)作圖痕跡求解1．（2023·湖北荊州·中考真題）如圖，∠AOB=60°，點(diǎn)C在OB上，OC=23，P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，點(diǎn)P到OA的距離為

2．（2023·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠CAB的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫射線AP與BC

A．∠CAD=∠BAD B．CD=DE C．AD=53 D．3．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)，作直線PQ交AB，AC于點(diǎn)D，E，連接CD．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A．直線PQ是AC的垂直平分線 B．CD=C．DE=12BC4．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以頂點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，作直線MN分別與BC，AC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，AC于點(diǎn)H和點(diǎn)G，再分別以點(diǎn)H，點(diǎn)G為圓心，大于12HG的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP①∠C=30°；②AP垂直平分線段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)?題型14利用三角形三邊關(guān)系求解若滿足：最短的線段長(zhǎng)+中間的線段長(zhǎng)＞最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，即可構(gòu)成三角形.1．（2023·山東·中考真題）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC內(nèi)切圓的半徑r<1 D．當(dāng)AB=7時(shí)，△ABC2．（2023·福建·中考真題）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，m，則m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．93．（2022·西藏·中考真題）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是三角形兩邊的長(zhǎng)，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．84．（2022·湖南益陽(yáng)·中考真題）如圖1所示，將長(zhǎng)為6的矩形紙片沿虛線折成3個(gè)矩形，其中左右兩側(cè)矩形的寬相等，若要將其圍成如圖2所示的三棱柱形物體，則圖中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4命題點(diǎn)二與三角形有關(guān)的角1）三角形的內(nèi)角和為180°；2）直角三角形中兩銳角和為90°；3）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.?題型01利用三角形內(nèi)角和定理求解1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，則∠DCE的度數(shù)為．2．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)F，作射線AF3．（2023·新疆·中考真題）如圖，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，則∠C=°

4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）將一個(gè)含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°?題型02三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用1．（2024·四川德陽(yáng)·中考真題）如圖是某機(jī)械加工廠加工的一種零件的示意圖，其中AB∥CD，DE⊥BC,∠ABC=70°，則∠EDC等于（

）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2024·山西·中考真題）如圖1是一個(gè)可調(diào)節(jié)的電腦桌，它的工作原理是利用液體在封閉的管路中傳遞力和能量．圖2是將其正面抽象成的圖形，其中桌面AB與底座CD平行，等長(zhǎng)的支架AD,BC交于它們的中點(diǎn)E，液壓桿FG∥BC．若∠BAE=53°，則∠GFD的度數(shù)為（

）A．127° B．106° C．76° D．74°3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE．則∠A=4．（2024·山東·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，則∠CAB=QUOTE?題型03三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．現(xiàn)分別作出BC邊上的高AD和∠A的平分線AE．則∠DAE的度數(shù)為（

A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF交于點(diǎn)F．若將△ABC沿DE翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，則（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°?∠1+∠2 D．3．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則4．（2023·陜西西安·二模）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD為∠ACB的平分線，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ECD度數(shù)為（

）A．5° B．8° C．10° D．12°?題型04與角度有關(guān)的折疊問題1．（2020·湖南邵陽(yáng)·中考真題）將一張矩形紙片ABCD按如圖所示操作：（1）將DA沿DP向內(nèi)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1（2）將DP沿DA1向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點(diǎn)P落在點(diǎn)P1處，折痕與邊AB若P1M⊥AB，則∠DPA．135° B．120° C．112.5° D．115°2．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,∠B=20°，點(diǎn)D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將三角形紙片沿AD對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，當(dāng)B'D⊥BC時(shí)，∠BAD

3．（2023·吉林長(zhǎng)春·中考真題）如圖，將正五邊形紙片ABCDE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕為AM，展開后，再將紙片折疊，使邊AB落在線段AM上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，折痕為AF，則∠AFB'

4．（2021·吉林·中考真題）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）若AB=a．直接寫出CD的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足為G，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，連接CF，如圖②，判斷四邊形ADFC的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若DF⊥AB，直接寫出∠BDE的度數(shù)．?題型05利用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）小華將一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如圖所示的方式擺放，其中AB∥EF，則∠1的度數(shù)為（

A．45° B．60° C．75° D．105°2．（2022·山東德州·中考真題）將一副三角板（厚度不計(jì)）如圖擺放，使含30°角的三角板的斜邊與含45°角的三角板的一條直角邊平行，則∠α的度數(shù)為（

）A．100° B．105° C．110° D．120°3．（2020·江蘇泰州·中考真題）如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為65°，則圖中角α的度數(shù)為．4．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）將