高考數(shù)學第二輪專題第6講-三角恒等變換與解三角形

高考第二輪專題數(shù)學新高考2第6講三角恒等變換與解三角形1.[2019·全國卷Ⅱ]已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,則sinα= A.15 B.55 C.33 2.[2018·全國卷Ⅱ]在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB= (A.42 B.30C.29 D.253.[2020·全國卷Ⅲ]在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則cosB= (A.19 B.13 C.12 4.[2018·全國卷Ⅲ]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC的面積為a2+b2-cA.π2 B.π3 C.π4 5.[2020·全國卷Ⅰ]如圖M2-6-1,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=.

圖M2-6-16.[2019·浙江卷]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

三角恒等變換與求值1(1)已知cosπ4+θ=223,則sin2θ的值是 ()A.-79 B.-29 C.29 (2)若sinα+π5=-13,α∈(0,π),則cosπ20-α= ()A.4-26 C.-4-26 D【規(guī)律提煉】三角恒等變換主要是利用兩角和與差的公式及二倍角公式解決相關的三角函數(shù)問題.一般地,若α∈[0,π],應該選擇計算它的余弦值,若α∈-π2,π2,應該選擇計算它的正弦值,可以避免不必要的兩解.如果題中給出的是部分角的正切值,那么可以去求所求角的正切值.總之,要根據(jù)角的范圍合理選擇正弦、余弦、正切,減少討論.測題1.設α,β滿足tanα+3π4=3,tanβ+π4=2,則tan(α+β)= ()A.-1 B.-12 C.17 D2.已知α∈0,π2,β∈0,π2,若sin2αcosβ=2cos2α(1+sinβ),則下列說法中正確的是 ()A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=3.已知tanθ+π4=12,則tanθ-π2=.

利用正、余弦定理解三角形角度1三角形中基本量的求解2(1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知C=2π3,sinB=3sinA,若△ABC的面積為63,則c= (A.22 B.226 C.214 D.47(2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,則“asinB=b+csinC+sinA”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【規(guī)律提煉】三角形中共有七個幾何量(三邊三角以及外接圓的半徑),一般地,知道其中的三個量(除三個角外),可以求得其余的四個量.(1)如果知道三邊或兩邊及其夾角,那么用余弦定理;(2)如果知道兩邊及一邊所對的角,那么用正弦定理(也可以用余弦定理求第三條邊);(3)如果知道兩角及一邊,那么用正弦定理.測題1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且acosC-(2b-c)cosA=0,則角A的大小為()A.π4 B.π3 C.π2 2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若A=60°,b>1,c=a+12,則當△ABC的周長最短時,b的值為 (A.2+22 B.2C.1+22 D.1+3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=.

角度2三角形的綜合問題3(1)設a,b,c分別為銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且滿足cosAa+cosBb=23sinC3a,若b=2A.3 B.23 C.233 D(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積等于8,a=5,tanB=-43,則△ABC的外接圓的半徑為 (A.565 B.565C.5654 D【規(guī)律提煉】1.三角形的綜合問題,常常和基本不等式、基本函數(shù)甚至導數(shù)相聯(lián)系,特別地,如a+b+ab≥2ab+ab,再令ab=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題,或a+b+ab≤a+b+a+b22,再令a+b=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問題等.有時利用余弦定理、正弦定理與等角(或角互補)構造等式解題2.三角形中的取值范圍問題.解三角形中的求最值與取值范圍問題主要有兩種方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小值;二是將所求式轉(zhuǎn)化為含有三角形某一個角的三角函數(shù)的形式,結(jié)合角的取值范圍確定所求式的取值范圍.測題1.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,且c=2a,則sinB的值為 ()A.34 B.74 C.1 D2.在△ABC中,若B=π3,AC=3,則AB+2BC的最大值為.圖M2-6-23.如圖M2-6-2,在平面凸四邊形ABCD中,AB=AD=CD=2BC=4,P為對角線AC的中點.若PD=3PB,則PD=,∠ABC=.

解三角形的實際應用4(1)春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式,圖M2-6-3開始時使用提水吊桿——桔槔,后發(fā)展成轆轤.19世紀末,由于電動機的發(fā)明,離心泵得到了廣泛應用,為發(fā)展機械提水灌溉提供了條件.圖M2-6-3為灌溉抽水管道在等高圖上的投影,在A處測得B處的仰角為37°,在A處測得C處的仰角為45°,在B處測得C處的仰角為53°,A點所在等高線值為20米,若BC管道長為50米,則B點所在等高線值為參考數(shù)據(jù):sin37°=35 ()A.30米 B.50米C.60米 D.70米(2)如圖M2-6-4,為測量某公園內(nèi)湖的岸邊A,B兩處間的距離,一無人機在空中P點處測得A,B的俯角分別為α,β,此時無人機的高度為h,則A,B間的距離為 ()圖M2-6-4A.h1sin2αC.h1cos2α【規(guī)律提煉】解三角形的實際應用主要體現(xiàn)在解決一些實際問題中的測高和測距問題,這樣就需要將實際問題中已知以及待求的角度、距離等融合到一個或幾個三角形中,再結(jié)合正、余弦定理求解.測題1.珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的,這種擠壓一直在進行,珠穆朗瑪峰的高度也一直在變化.由于地勢險峻,氣候惡劣,通常采用人工攀登的方式為珠峰“量身高”.攀登者們攜帶高精度測量儀器,采用分段測量的方法,從山腳開始,直到到達山頂,再把所有的高度差累加,就會得到珠峰的高度.2020年5月,中國珠峰高程測量登山隊8名隊員開始新一輪的珠峰測量工作.在測量過程中,已知豎立在B點處的測量覘標BC高10米,攀登者們在A處測得覘標底點B和頂點C的仰角分別為70°,80°,如圖M2-6-5所示,則A,B的高度差約為(參考數(shù)據(jù):sin70°≈0.94,sin80°≈0.98) ()圖M2-6-5A.10.00米 B.9.80米 C.9.40米 D.8.62米2.如圖M2-6-6,某濕地為拓展旅游業(yè)務,現(xiàn)準備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為120°