2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新教材)第39講-直線、平面平行的判定與性質(zhì)

課前基礎(chǔ)鞏固課堂考點(diǎn)探究第39講直線、平面平行的判定與性質(zhì)作業(yè)手冊1.從立體幾何的有關(guān)定義和基本事實出發(fā),了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理,并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理.

2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.課標(biāo)要求類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定一條直線與一個平面

,

則稱這條直線與這個平面平行a∩α=??a∥α證明直線與平面平行如果平面外__________

平行,那么該直線與此平面平行

a?α,b?α,且a∥b?a∥α1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)課前基礎(chǔ)鞏固?知識聚焦?沒有公共點(diǎn)

一條直線與此平面內(nèi)的一條直線類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用性質(zhì)一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與

a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b證明直線與直線平行(續(xù)表)課前基礎(chǔ)鞏固交線平行類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定如果一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面平行,那么這兩個平面平行

a?α,b?α,a∩b=P,a∥β,b∥β?α∥β證明平面與平面平行垂直于____________

的兩個平面平行

a⊥α,a⊥β?α∥β2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)課前基礎(chǔ)鞏固相交直線同一條直線類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用性質(zhì)兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必____

于另一個平面

α∥β,a?α?a∥β證明直線與平面平行兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條

平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b證明直線與直線平行(續(xù)表)課前基礎(chǔ)鞏固平行交線[常用結(jié)論]

1.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.2.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.3.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想,解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.課前基礎(chǔ)鞏固題組一常識題1.[教材改編]已知直線a∥平面α,P∈α,那么過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有___

條.

課前基礎(chǔ)鞏固?對點(diǎn)演練?1

[解析]過點(diǎn)P與直線a作平面β,設(shè)β∩α=b,則a∥b,由作圖的過程可知滿足條件的直線b只有1條.2.[教材改編]在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,與棱AA1平行的平面共有

個.

課前基礎(chǔ)鞏固

[解析]易知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D,所以與棱AA1平行的平面共有3個.3.[教材改編]如圖7-39-1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為DD1的中點(diǎn),則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為

.

課前基礎(chǔ)鞏固

[解析]如圖,連接BD,設(shè)BD∩AC=O,連接EO,在△BDD1中,E為DD1的中點(diǎn),O為BD的中點(diǎn),所以EO為△BDD1的中位線,所以BD1∥EO,又BD1?平面ACE,EO?平面ACE,所以BD1∥平面ACE.圖7-39-14.[教材改編]如圖7-39-2,平面α∥平面β,△PAB所在的平面與α,β分別交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=

.

課前基礎(chǔ)鞏固

圖7-39-2題組二常錯題索引:對面面平行判定定理的條件“平面內(nèi)兩條相交直線”認(rèn)識不清致誤;對空間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化條件理解不夠致誤.5.下列條件中,能判斷兩個平面平行的是

.(填序號)

①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面;②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面;③一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面;④一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面.課前基礎(chǔ)鞏固④課前基礎(chǔ)鞏固[解析]由兩個平面平行的判定定理可知,如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面平行,那么這兩個平面平行,故①②不能判斷兩個平面平行;當(dāng)平面α∩平面β=直線l時,α內(nèi)有無數(shù)條與交線l平行的直線與β平行,故③不能判斷兩個平面平行;根據(jù)面面平行的定義可知④能判斷兩個平面平行.6.下列說法中正確的是

.(填序號)

①若a,b是兩條直線,且a∥b,則a平行于經(jīng)過b的任何平面;②若直線a和平面α滿足a∥α,則a與α內(nèi)的任何直線平行;③平行于同一條直線的兩個平面平行;④若直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,則b∥α.課前基礎(chǔ)鞏固

[解析]對于①,a可以在經(jīng)過b的平面內(nèi),故①錯誤;對于②,a與α內(nèi)的直線平行或異面,故②錯誤;對于③,兩平面也可以相交,故③錯誤;對于④,若a∥b,a∥α,b?α,則b∥α,故④正確.例1

(1)α,β是兩個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是(

)

A.存在一條直線a,a∥α,a∥β

B.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一平行關(guān)系的基本問題[思路點(diǎn)撥]根據(jù)平行的相關(guān)定理和結(jié)論逐項分析;[解析]對于選項A,若存在一條直線a,a∥α,a∥β,則α∥β或α與β相交,故A錯誤;對于選項B,若存在一條直線a,a?α,a∥β,則α∥β或α與β相交,故B錯誤;對于選項C,若存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,則α∥β或α與β相交,故C錯誤.故選D.D

課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]由題意作出圖形,取CE的中點(diǎn)I,連接AI,證出AI∥GH,利用線面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不與平面ACE平行,即可得解.B

課堂考點(diǎn)探究

B[總結(jié)反思]解決空間中線面、面面平行的基本問題要注意以下幾個方面:(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視定理成立的條件;(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形進(jìn)行判斷;(3)舉反例否定結(jié)論.課堂考點(diǎn)探究變式題

設(shè)α,β,γ為三個不同的平面,a,b為兩條不同的直線,給出下列條件:①a?α,b?β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ;③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b.其中能推出α∥β的條件是

.(填上所有正確的序號)

課堂考點(diǎn)探究[解析]由條件①或條件③可知α∥β或α與β相交;由α∥γ,β∥γ?α∥β,條件②滿足;在④中,a⊥α,a∥b?b⊥α,又b⊥β,從而α∥β,④滿足.故填②④.②④角度1直線與平面平行的判定例2如圖7-39-3,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,G,F分別是BE,DC的中點(diǎn).求證:GF∥平面ADE.課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)二線面平行的判定與性質(zhì)[思路點(diǎn)撥]通過作輔助線DH,證明GF∥DH,即可證明線面平行.圖7-39-3課堂考點(diǎn)探究

圖7-39-3[總結(jié)反思]證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,E分別為AC,B1C1的中點(diǎn).證明:DE∥平面ABB1A1.證明:方法一:如圖,取BC的中點(diǎn)F,連接DF,EF,因為F是BC的中點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),所以DF∥AB,又DF?平面ABB1A1,AB?平面ABB1A1,所以DF∥平面ABB1A1.因為E,F分別是B1C1,BC的中點(diǎn),所以EF∥B1B,又EF?平面ABB1A1,BB1?平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A1.因為DF∩EF=F,所以平面DEF∥平面ABB1A1.因為DE?平面DEF,所以DE∥平面ABB1A1.圖7-39-4課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,E分別為AC,B1C1的中點(diǎn).證明:DE∥平面ABB1A1.

圖7-39-4角度2直線與平面平行的性質(zhì)例3

如圖7-39-5,已知圓O的直徑AB長為2,上半圓的圓弧上有一點(diǎn)C,∠COB=60°,點(diǎn)P是弧AC上的動點(diǎn)(不與A,C重合),點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn),現(xiàn)以AB為折線,將下半圓向上折起,連接PD,CD.當(dāng)AB∥平面PCD時,求線段PC的長.課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得AB∥PC,再證出△OCP為正三角形,從而求得結(jié)論.圖7-39-5例3

如圖7-39-5,已知圓O的直徑AB長為2,上半圓的圓弧上有一點(diǎn)C,∠COB=60°,點(diǎn)P是弧AC上的動點(diǎn)(不與A,C重合),點(diǎn)D是弧AB的中點(diǎn),現(xiàn)以AB為折線,將下半圓向上折起,連接PD,CD.當(dāng)AB∥平面PCD時,求線段PC的長.課堂考點(diǎn)探究解:∵AB∥平面PCD,AB?平面OCP,平面OCP∩平面PCD=PC,∴AB∥PC.連接PO,由∠COB=60°,可得∠OCP=60°,又OC=OP,∴△OCP為正三角形,∴PC=1.圖7-39-5[總結(jié)反思]應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-6所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是EF的中點(diǎn).(1)求證:AM∥平面BDE;證明:記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE(圖略).因為O,M分別是AC,EF的中點(diǎn),四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.圖7-39-6課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-6所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是EF的中點(diǎn).(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.證明:l∥m,證明如下:由(1)知,AM∥平面BDE.因為AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM.因為AM?平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.圖7-39-6例4如圖7-39-7所示,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:(1)BE∥平面DMF;課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)[思路點(diǎn)撥]由面面平行推出線面平行即可;圖7-39-7課堂考點(diǎn)探究證明:如圖,取DC的中點(diǎn)P,連接PE,PB,PM.因為四邊形ABCD為平行四邊形,M是AB的中點(diǎn),所以DPMB,所以四邊形MBPD為平行四邊形,所以PB∥DM.又PB?平面BPE,DM?平面BPE,所以DM∥平面BPE.又PMAD,ADFE,所以PMFE,所以四邊形FEPM為平行四邊形,所以FM∥PE,又FM?平面BPE,PE?平面BPE,所以FM∥平面BPE.因為FM∩DM=M,FM,DM?平面DMF,所以平面DMF∥平面BPE.因為BE?平面BPE,所以BE∥平面DMF.圖7-39-7課堂考點(diǎn)探究[思路點(diǎn)撥]由線面平行及面面平行的判定定理推出面面平行即可.證明：因為M,N分別是AB,AD的中點(diǎn),所以MN∥

BD,又MN?平面BDE,BD?平面BDE,所以MN∥平面BDE.同理可證GN∥平面BDE.又MN∩GN=N,MN,GN?平面MNG,所以平面BDE∥平面MNG.例4如圖7-39-7所示,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:(2)平面BDE∥平面MNG.圖7-39-7[總結(jié)反思]證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β);(3)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-8所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;證明:∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.圖7-39-8課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-8所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn),求證:(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明:∵E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵G,E分別為A1B1,AB的中點(diǎn),A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.又∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.圖7-39-8例5如圖7-39-9所示,四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面,且該四邊形為平行四邊形.(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[思路點(diǎn)撥]由四邊形EFGH為平行四邊形,得EF∥HG,從而EF∥平面ABD,再證出EF∥AB,進(jìn)而得AB∥平面EFGH,同理可證CD∥平面EFGH;圖7-39-9例5如圖7-39-9所示,四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面,且該四邊形為平行四邊形.(1)求證:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH;課堂考點(diǎn)探究證明:∵四邊形EFGH為平行四邊形,∴EF∥HG.∵HG?平面ABD,EF?平面ABD,∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,∴EF∥

AB.∵AB?平面EFGH,EF?平面EFGH,∴AB∥平面EFGH.同理可證,CD∥平面EFGH.圖7-39-9例5如圖7-39-9所示,四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面,且該四邊形為平行四邊形.(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.課堂考點(diǎn)探究

圖7-39-9例5如圖7-39-9所示,四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面,且該四邊形為平行四邊形.(2)若AB=4,CD=6,求四邊形EFGH周長的取值范圍.課堂考點(diǎn)探究

圖7-39-9[總結(jié)反思]利用線面平行的性質(zhì),可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化,尤其在截面圖的畫法中,常用來確定交線的位置,對于最值問題,常用函數(shù)思想來解決.課堂考點(diǎn)探究課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-10,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),過A,C,E三點(diǎn)作平面α與正方體的面相交.(1)畫出平面α與正方體ABCD-A1B1C1D1各面的交線;解:如圖,交線即為EC,AC,AE,平面α即為平面AEC.圖7-39-10課堂考點(diǎn)探究變式題

如圖7-39-10,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),過A,C,E三點(diǎn)作平面α與正方體的面相交.(2)求證:BD1∥平面α.證明:連接BD,設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,連接EO,∵四邊形ABCD為正方形,∴O是BD的中點(diǎn),又E為DD1的中點(diǎn),∴OE∥BD1.∵OE?平面α,BD1?平面α,∴BD1∥平面α.圖7-39-10【備選理由】例1重點(diǎn)考查線面平行的判定;例2綜合考查線面平行、面面平行的問題,有助于學(xué)生進(jìn)一步熟悉線面、面面平行的判定定理及添加輔助線的一些技巧.教師備用習(xí)題例1

[配例2使用]如圖,在等腰直角三角形ADP中,∠A=90°,AD=3,B,C分別是AP,DP上的點(diǎn),且BC∥AD,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PBC沿BC折起,得到四棱錐P-ABCD,連接EF.證明:EF∥平面PAD.教師備用習(xí)題

教師備用習(xí)題

教師備用習(xí)題證明:連接FH,OH,因為F,H分別是PC,CD的中點(diǎn),所以FH∥PD,又FH?平面PAD,PD?平面PAD,所以FH∥平面PAD.因為O是AC的中點(diǎn),H是CD的中點(diǎn),所以O(shè)H∥AD,又OH?平面PAD,AD?平面PAD,所以O(shè)H∥平面PAD.因為FH∩OH=H,FH,OH?平面OHF,所以平面OHF∥平面PAD.因為GH?平面OHF,所以GH∥平面PAD.基礎(chǔ)熱身1.下列說法正確的是(

@1@

)A.一條直線與一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.與兩個相交平面的交線平行的直線，必平行于這兩個平面D.平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行，則另一條也與這個平面平行D12345678910111213141516[解析]

對于A，平面內(nèi)還存在直線與這條直線異面，故A錯誤；對于B，這兩條直線還可以相交、異面，故B錯誤；對于C，這條直線還可能在其中一個平面內(nèi)，故C錯誤.故選D.12345678910111213141516

圖K39-1

B

12345678910111213141516

B

12345678910111213141516

圖K39-2A.異面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能B123456789101