福建省泉州市安溪縣2024-2025學年高一上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題

福建省泉州市安溪縣2024-2025學年高一上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高一一、選擇題（每題5分，共30分）要求：選擇下列各題正確答案，將答案填寫在答題卡的相應位置。1.已知復數(shù)z滿足|z-3i|=|z+2|，則復數(shù)z對應的點在下列圖形中的是（）A.矩形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.梯形2.若函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+k（k為常數(shù)）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則k的取值范圍是（）A.（-∞，+∞）B.（-1，+∞）C.（-∞，-1）D.（-∞，0）3.已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，其圖像的對稱軸為x=1，且f（1）=1，則下列選項中正確的是（）A.b=1，c=0B.b=-1，c=0C.b=1，c=1D.b=-1，c=14.設a，b是方程x2-3x+2=0的兩個根，則下列不等式正確的是（）A.a+b＜1B.ab＜1C.a+b＞3D.a+b＜35.在等差數(shù)列{an}中，已知a1=3，公差d=2，那么下列選項中正確的是（）A.a6=a3B.a7=a2C.a6=a1+5dD.a7=a1+6d6.已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖像的一個對稱中心為點（2，0），則下列選項中正確的是（）A.A=2，ω=πB.A=2，ω=π/2C.A=1，ω=πD.A=1，ω=π/2二、填空題（每題5分，共20分）要求：將答案填寫在答題卡的相應位置。7.函數(shù)f（x）=log2（3-x）+x的值域為______。8.已知函數(shù)f（x）=x3-3x+2，則f（2）的值為______。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=3，d=2，則S10=______。10.在直角坐標系中，點A（2，3）關(guān)于直線y=x+1的對稱點B的坐標為______。三、解答題（每題10分，共30分）要求：解答應寫出文字說明，證明過程或必要步驟。11.已知函數(shù)f（x）=x3-3x+2，求f（x）的導數(shù)f′（x），并求f（x）在x=1時的切線方程。12.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，求an的表達式。13.在三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=5，b=7，cosA=1/2，求sinB的值。四、證明題（每題10分，共20分）要求：證明過程完整，結(jié)論正確。14.證明：若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，則該數(shù)列的任意兩項之和的倒數(shù)成等差數(shù)列。15.證明：若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則a+b+c+d＞0。五、應用題（每題10分，共20分）要求：根據(jù)題目要求，將答案填寫在答題卡的相應位置。16.已知某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本函數(shù)C（x）=0.1x^2+3x，其中x為產(chǎn)品的數(shù)量，且每件產(chǎn)品的銷售價格為50元。求：（1）當生產(chǎn)數(shù)量為多少時，總利潤最大？（2）總利潤最大時的總利潤是多少？17.一輛汽車以每小時80公里的速度行駛，從A地出發(fā)前往B地。已知A地與B地相距320公里。在行駛過程中，汽車的平均油耗為每100公里消耗10升油。汽車油箱的容量為60升，且油箱初始油量為50升。求：（1）汽車到達B地需要多長時間？（2）在行駛過程中，汽車最多能行駛多遠？（3）汽車在行駛過程中是否需要加油？若需要，求需要加油的距離。六、解答題（每題10分，共20分）要求：解答應寫出文字說明，證明過程或必要步驟。18.已知函數(shù)f（x）=2x^2-3x+1，求函數(shù)f（x）的極值點及極值。19.已知等比數(shù)列{an}的首項a1=3，公比q=2，求該數(shù)列的前n項和Sn。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，|z-3i|=|z+2|表示z到點（0，3）的距離等于z到點（-2，0）的距離，即z對應的點在直線y=-x上，故選B。2.B解析：由于函數(shù)f（x）=log2（2x+1）+k在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此2x+1的系數(shù)大于0，即2x+1在[1，+∞）上遞增。又因為k為常數(shù)，所以log2（2x+1）在[1，+∞）上遞增，因此k≥0。故選B。3.C解析：由于函數(shù)f（x）=x^2+bx+c的對稱軸為x=1，所以-b/2a=1，即b=-2。又因為f（1）=1，代入得1+1+b+c=1，解得c=1。故選C。4.B解析：根據(jù)韋達定理，a+b=3，ab=2。由于a和b是方程x^2-3x+2=0的兩個根，且ab=2＜1，故選B。5.C解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，a6=a1+5d，a7=a1+6d。已知a1=3，d=2，代入得a6=3+5*2=13，a7=3+6*2=15。所以a6=a1+5d，故選C。6.A解析：由于函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像的一個對稱中心為點（2，0），所以A=2，ωx+φ=2πk（k為整數(shù)），即ωx=2πk-φ。因為ω>0，所以ω=π，故選A。二、填空題7.(-∞，+∞)解析：函數(shù)f（x）=log2（3-x）+x的定義域為x＜3，值域為所有實數(shù)，因此值域為(-∞，+∞)。8.4解析：將x=2代入f（x）=x^3-3x+2，得f（2）=2^3-3*2+2=8-6+2=4。9.95解析：等差數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=3，d=2，n=10，得S10=10(3+19)/2=95。10.(1，1)解析：點A（2，3）關(guān)于直線y=x+1的對稱點B的坐標可以通過求直線y=x+1的斜率和截距，然后利用對稱點的性質(zhì)求解得到。直線y=x+1的斜率為1，截距為1。根據(jù)對稱點的性質(zhì)，點B到直線y=x+1的距離等于點A到直線y=x+1的距離，且點B在直線上。設點B的坐標為（x，y），則有x-y+1=0。由于點B是點A關(guān)于直線y=x+1的對稱點，所以點A和點B的中點坐標為(2+1)/2=1.5，(3+1)/2=2。將中點坐標代入直線方程得1.5-2+1=0，解得x=1，代入y=x+1得y=1+1=2。所以點B的坐標為（1，1）。本次試卷答案如下：四、證明題14.證明：若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，則該數(shù)列的任意兩項之和的倒數(shù)成等差數(shù)列。解析：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則數(shù)列的通項公式為an=a1+(n-1)d。對于任意兩項am和an，其中m<n，它們的和為am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d?，F(xiàn)在考慮兩項之和的倒數(shù)，即1/(am+an)和1/(am+1+an+1)。將am+an和am+1+an+1分別代入得：1/(am+an)=1/(2a1+(m+n-2)d)1/(am+1+an+1)=1/(2a1+(m+n)d)由于公差d≠0，因此m+n-2和m+n不是相同的數(shù)，但它們的差為2，即m+n-2和m+n是相鄰的整數(shù)。因此，1/(am+an)和1/(am+1+an+1)的差為：1/(am+1+an+1)-1/(am+an)=1/(2a1+(m+n)d)-1/(2a1+(m+n-2)d)=(2a1+(m+n-2)d-(2a1+(m+n)d))/(2a1+(m+n)d)*(2a1+(m+n-2)d)=-2d/(2a1+(m+n)d)*(2a1+(m+n-2)d)=-2d^2/(2a1+(m+n)d)*(m+n-2)=-d/(a1+(m+n)d)*(m+n-2)由于m和n是整數(shù)，(m+n-2)和(m+n)也是整數(shù)，且(m+n-2)和(m+n)相差2，因此-d/(a1+(m+n)d)*(m+n-2)是一個常數(shù)。這說明1/(am+an)和1/(am+1+an+1)的差是常數(shù)，即它們成等差數(shù)列。15.證明：若函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則a+b+c+d＞0。解析：由于函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則其導數(shù)f′（x）=3ax2+2bx+c在區(qū)間[0，1]上非負。特別地，在x=0和x=1時，f′（x）≥0。因此有：f′（0）=c≥0f′（1）=3a+2b+c≥0將兩個不等式相加得：2c+3a+2b≥0即a+b+c+d≥0（因為d=0）因此，a+b+c+d＞0。五、應用題16.已知某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其生產(chǎn)成本函數(shù)C（x）=0.1x^2+3x，其中x為產(chǎn)品的數(shù)量，且每件產(chǎn)品的銷售價格為50元。求：（1）當生產(chǎn)數(shù)量為多少時，總利潤最大？（2）總利潤最大時的總利潤是多少？解析：（1）總利潤函數(shù)L（x）=銷售收入-生產(chǎn)成本=50x-(0.1x^2+3x)。求L（x）的最大值，即求L′（x）=0的解：L′（x）=50-0.2x-3=00.2x=47x=235因為L′（x）在x=235時由正變負，所以x=235時，L（x）取得最大值。（2）將x=235代入L（x）得：L（235）=50*235-(0.1*235^2+3*235)L（235）=11750-11075L（235）=675所以總利潤最大時的總利潤是675元。17.一輛汽車以每小時80公里的速度行駛，從A地出發(fā)前往B地。已知A地與B地相距320公里。在行駛過程中，汽車的平均油耗為每100公里消耗10升油。汽車油箱的容量為60升，且油箱初始油量為50升。求：（1）汽車到達B地需要多長時間？（2）在行駛過程中，汽車最多能行駛多遠？（3）汽車在行駛過程中是否需要加油？若需要，求需要加油的距離。解析：（1）汽車到達B地所需時間為320公里/80公里/小時=4小時。（2）汽車每100公里消耗10升油，所以行駛320公里需要消耗320/100*10=32升油。由于初始油量為50升，所以汽車最多能行駛50-32=18公里。（3）汽車在行駛過程中需要加油，因為18公里小于320公里，所以需要加油的距離為320-18=302公里。六、解答題18.已知函數(shù)f（x）=2x^2-3x+1，求函數(shù)f（x）的極值點及極值。解析：函數(shù)f（x）的導數(shù)為f′（x）=4x-