第3節(jié)-成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

第3節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[學習目標]

1.會作兩個相關變量的數(shù)據(jù)的散點圖,能根據(jù)最小二乘原理建立經(jīng)驗回歸方程并進行預測,了解樣本相關系數(shù)的統(tǒng)計含義和殘差分析.2.了解獨立性檢驗的基本思想,2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義,能對兩個分類變量進行獨立性檢驗.積累·必備知識01回顧教材,夯實四基1.成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性(1)正相關與負相關從整體上看,當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值也呈現(xiàn)

的趨勢,我們就稱這兩個變量正相關;當一個變量的值增加時,另一個變量的相應值呈現(xiàn)

的趨勢,則稱這兩個變量負相關.增加減小(2)線性相關與曲線相關一般地,如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關,而且散點落在

附近,我們就稱這兩個變量線性相關.一般地,如果兩個變量具有

性,但不是線性相關,那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.一條直線相關(3)樣本相關系數(shù)①相關系數(shù)r的計算變量x和變量y的樣本相關系數(shù)r的計算公式如下:②相關系數(shù)r的性質(zhì)r的取值范圍

r>0成對樣本數(shù)據(jù)

相關r<0成對樣本數(shù)據(jù)

相關r=0成對樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關關系|r|越接近1成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越

|r|越接近0成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越

[-1,1]正負強弱2.一元線性回歸模型及其應用(1)一元線性回歸模型我們稱式子為Y關于x的

,其中,Y稱為

或

,x稱為

或

;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的

.一元線性回歸模型因變量響應變量自變量解釋變量隨機誤差(2)一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計最小經(jīng)驗回歸方程經(jīng)驗回歸函數(shù)經(jīng)驗回歸公式(3)判斷回歸模型的擬合效果①殘差分析法對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的稱為預測值,觀測值減去預測值稱為

.畫出殘差圖,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高,經(jīng)驗回歸方程的預報精度越高.殘差②決定系數(shù)(R2)法越小R2越大,殘差平方和

,模型的擬合效果

;R2越小,殘差平方和

,模型的擬合效果

.越好越大越差對于線性與非線性回歸模型,以上兩個分析方法都適合.通過分析,可以決定選擇哪一種函數(shù)模型更加合理.(1)列聯(lián)表:列出成對分類變量數(shù)據(jù)的

的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為列聯(lián)表.假設有兩個分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為交叉分類頻數(shù)XY合計y1y2x1aba+bx2cdc+d合計a+cb+da+b+c+d記n=a+b+c+d,則隨機變量χ2=

.3.列聯(lián)表與獨立性檢驗(2)獨立性檢驗基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:當χ2≥xα時,我們就推斷H0不成立,即認為X和Y不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過α;當χ2<xα時,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認為X和Y獨立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗,讀作“卡方獨立性檢驗”,簡稱獨立性檢驗.下表給出了χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(1)獨立性檢驗是對兩個變量有關系的可信程度的判斷,而不是對其是否有關系的判斷.(2)根據(jù)χ2的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度,χ2越大,則兩分類變量有關的把握越大.1.通常|r|大于0.75時,認為兩個變量有很強的線性相關性.2.經(jīng)驗回歸直線一定過點().1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)相關關系與函數(shù)關系都是一種確定性的關系.(

)(2)利用散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示.(

)×√(3)經(jīng)驗回歸直線

至少經(jīng)過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個點.(

)×(4)用相關系數(shù)r來刻畫回歸效果,r越小,說明模型的擬合效果越好.(

)(5)在2×2列聯(lián)表中,若|ad-bc|越小,說明兩個分類變量之間關系越強.(

)(6)事件X,Y關系越密切,則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2的值越大.(

)××√2.某機構(gòu)為調(diào)查古詩詞愛好者是否有性別差異,通過調(diào)查數(shù)據(jù)統(tǒng)計:在500名男生中有200名愛好古詩詞,在400名女生中有300名愛好古詩詞.若要確定是否有充分證據(jù)推斷愛好古詩詞與性別有關,下列最適合的統(tǒng)計方法是(

)A.均值 B.方差C.獨立性檢驗 D.回歸分析√解析:由題意可知,“愛好古詩詞”與“性別”是兩類變量,要確定是否有充分證據(jù)推斷其有關,應用獨立性檢驗判斷.故選C.3.一組樣本數(shù)據(jù):(1,y1),(2,y2),(3,y3),(4,y4),(m,y5),由最小二乘法求得經(jīng)驗回歸方程為=5x-7,若y1+y2+y3+y4+y5=45,則實數(shù)m的值為(

)A.5 B.6 C.7 D.8√4.(選擇性必修第三冊P138T2改編)根據(jù)變量Y和x的成對樣本數(shù)據(jù),作出殘差圖.對于以下四幅殘差圖,滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假設的是(

)√解析:對于A,殘差與觀測時間有線性關系,故A錯誤;對于B,殘差的方差不是一個常數(shù),隨著觀測時間變大而變小,故B錯誤;對于C,殘差與觀測時間是非線性關系,故C錯誤;對于D,殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),故D正確.故選D.5.已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在檢驗30歲以上的人患胃病是否與生活無規(guī)律有關的過程中,某研究員搜集數(shù)據(jù)并計算得到χ2=7.235,則根據(jù)小概率值α=

的χ2獨立性檢驗,可認為30歲以上的人患胃病與生活無規(guī)律有關.解析:因為6.635<7.235<10.828,所以根據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,可認為30歲以上的人患胃病與生活無規(guī)律有關.0.0102提升·關鍵能力類分考點,落實四翼考點一成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關性的判斷[例1](1)(2024·廣西南寧模擬)某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后,獲得如圖所示的散點圖.下面關于相關系數(shù)的比較,正確的是(

)A.r4<r2<r1<r3 B.r2<r4<r1<r3C.r2<r4<r3<r1 D.r4<r2<r3<r1√解析:(1)由題圖可知,r3,r1所對應的圖中的兩個變量呈現(xiàn)正相關,而且r1對應的相關性比r3對應的相關性要強,故0<r3<r1,r2,r4所對應的圖中的兩個變量呈現(xiàn)負相關,且根據(jù)散點的分布情況可知r2<r4<0,因此r2<r4<r3<r1.故選C.(2)(2023·湖北黃岡二模)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn互不相等)的散點圖中,若所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=x-5上,則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為(

)A.- B. C.-1D.1√解析:(2)由題意可知,所有樣本點(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直線y=x-5上,則這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關,且相關系數(shù)為1.故選D.判斷線性相關關系中正相關與負相關的三種方法(1)散點圖法:點的分布從左下角到右上角,兩個變量正相關;點的分布從左上角到右下角,兩個變量負相關.(2)相關系數(shù)法:當r>0時,成對樣本數(shù)據(jù)正相關,當r<0時,成對樣本數(shù)據(jù)負相關.[針對訓練](1)在一次試驗中,測得(x,y)的五組數(shù)據(jù)分別為(1,3),(2,4),(4,5),(5,13),(10,12),去掉一組數(shù)據(jù)(5,13)后,下列說法正確的是(

)A.樣本數(shù)據(jù)由正相關變成負相關B.樣本的相關系數(shù)不變C.樣本的相關性變?nèi)鮀.樣本的相關系數(shù)變大√解析:(1)由題意,去掉離群點(5,13)后,仍然為正相關,相關性變強,相關系數(shù)變大,故A,B,C錯誤,D正確.故選D.(2)變量X與Y相對應的5組數(shù)據(jù)和變量U與V相對應的5組數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表:X1011.311.812.513Y12345U1011.311.812.513V54321用r1表示變量Y與X之間的相關系數(shù),r2表示變量V與U之間的相關系數(shù),則r1與r2的大小關系是

.r1>r2解析:(2)因為Y與X之間正相關,所以r1>0;因為V與U之間負相關,所以r2<0,因此r1>0>r2.考點二回歸模型及其應用角度一線性回歸分析[例2](2024·河南鄭州模擬)某汽車城從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x與新能源汽車銷售總量y(單位:輛)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:連續(xù)營業(yè)天數(shù)x/天1020304050新能源汽車銷售總量y/輛6268758189(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請用相關系數(shù)加以說明(結(jié)果精確到0.001);因為y與x的相關系數(shù)近似為0.999,說明y與x的線性相關程度相當高,從而可用線性回歸模型擬合y與x的關系.所以預測該汽車城連續(xù)營業(yè)130天的汽車銷售總量為142輛.(1)經(jīng)驗回歸方程中系數(shù)的兩種求法①公式法:利用公式,求出②待定系數(shù)法:利用回歸直線過()求系數(shù).(2)回歸分析的兩種應用①利用經(jīng)驗回歸方程進行預測:把經(jīng)驗回歸方程看作一次函數(shù),求函數(shù)值.②利用經(jīng)驗回歸方程判斷正、負相關:決定正相關還是負相關的是回歸系數(shù).角度二非線性回歸分析[例3](2024·廣東廣州二模)一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,通過加大技術創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本,為了調(diào)查年技術創(chuàng)新投入x(單位:千萬元)對每件產(chǎn)品成本y(單位:元)的影響,對近10年的年技術創(chuàng)新投入xi和每件產(chǎn)品成本yi(i=1,2,3,…,10)的數(shù)據(jù)進行分析,得到如下散點圖,并計算得:(1)根據(jù)散點圖可知,可用函數(shù)模型y=+α擬合y與x的關系,試建立y關于x的回歸方程;所以當年技術創(chuàng)新投入為20千萬元時,年利潤的預報值取最大值.求非線性經(jīng)驗回歸方程的步驟(1)確定變量,作出散點圖.(2)根據(jù)散點圖,選擇恰當?shù)臄M合函數(shù).(3)變量置換,通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,并求出經(jīng)驗回歸方程.(4)分析擬合效果,通過計算決定系數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果.(5)根據(jù)相應的變換,寫出非線性經(jīng)驗回歸方程.角度三殘差分析與決定系數(shù)[例4]現(xiàn)代物流成為繼勞動力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤的重要因素.某企業(yè)去年前八個月的物流成本和企業(yè)利潤的數(shù)據(jù)(單位:萬元)如表所示:月份12345678物流成本x8383.58086.58984.57986.5利潤y114116106122132114m1320.20.61.8-3-1-4.6-1所以114+116+106+122+132+114+m+132=117×8,解得m=100,(3)通過殘差分析,懷疑殘差絕對值最大的那組數(shù)據(jù)有誤,經(jīng)再次核實后發(fā)現(xiàn)其真正利潤應該為116萬元.請重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式,求出新的經(jīng)驗回歸方程.(1)通過殘差分析,可以發(fā)現(xiàn)異常樣本點,重新修正或剔除異常樣本點,求得更加合理的回歸方程.(2)決定系數(shù)R2越接近于1,表示回歸的效果越好.[針對訓練](2024·福建福州模擬)中國茶文化博大精深,飲茶深受大眾喜愛,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關,某數(shù)學建模小組為了獲得茶水溫度y(單位:℃)關于時間x(單位:min)的回歸方程模型,通過實驗收集在25℃室溫,用85℃的水沖泡的條件下,茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行初步處理得到如圖所示散點圖,他們分別用兩種模型①y=a+bx與②y=d·cx+25進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)殘差圖判斷,①y=a+bx與②y=d·cx+25哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程類型?請說明理由;解:(1)應該選擇模型②,因為模型②的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,且模型②的帶狀區(qū)域比模型①的帶狀區(qū)域窄.所以模型②的擬合精度高,回歸方程的預測精度高.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程;解:(2)由y=d·cx+25得y-25=d·cx,兩邊取自然對數(shù)得ln(y-25)=ln(d·cx)=lnd+xlnc,設ω=ln(y-25),α=lnd,β=lnc,所以該茶水溫度y關于時間x的回歸方程為y=d·cx+25=60×0.92x+25.(3)已知該茶水溫度降至60℃口感最佳,根據(jù)(2)中的回歸方程,求在相同條件下沖泡的茶水,大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感.(結(jié)果精確到1分鐘)解:(3)在25℃室溫下,茶水溫度降至60℃口感最佳,所以大約需要放置7分鐘才能達到最佳飲用口感.考點三獨立性檢驗[例5](2024·江西南昌模擬)某地開設美食街,共有20多家餐飲單位進駐,為維護市場價格秩序,營造公平競爭良好環(huán)境,監(jiān)管部門到美食街舉辦餐飲明碼標價現(xiàn)場指導會,現(xiàn)針對明碼標價指導會前、會后游客滿意度進行問卷回訪調(diào)查,統(tǒng)計了100名游客的數(shù)據(jù),列出如下2×2列聯(lián)表:滿意度指導會前后合計會前會后滿意285785不滿意12315合計4060100請根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗判斷游客對該地美食