江蘇省高郵市2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考試題 數(shù)學(xué) 含答案

高郵市高三2024~2025學(xué)年第二學(xué)期第一次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)2025.2.28一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對應(yīng)，則（

）A．B．C． D．3．已知，且，則的最小值是（

）A． B．4 C．8D．164．在二項式的展開式中，含項的系數(shù)為（

）A． B．5 C．10 D．405．已知，且在方向上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰好存在三個不同的，使得，則的最小正周期不可能為（

）A．B． C． D．7．費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì).例如，點(diǎn)為雙曲線為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線平分.已知雙曲線：為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同，編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中依次不放回摸出兩個球.設(shè)事件“第一次摸出球的編號為奇數(shù)”，事件“摸出的兩個球的編號之和為5”，事件“摸出的兩個球中有編號為2的球”，則（

）A． B．事件B與事件C為互斥事件C．事件A與事件B為獨(dú)立事件D．10．已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．D．若，則數(shù)列的前項和11．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)為靠近D的三等分點(diǎn)時，異面直線與所成角的余弦值為B．存在點(diǎn)G，使得平面CEFC．點(diǎn)B到平面CEF的距離是D．過CF作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則.13．點(diǎn)A（與原點(diǎn)O不重合）在拋物線上，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B且平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)C，則的最小值為.14．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，函數(shù)，則與的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在中，角、、所對的邊為、、，已知.(1)求角的值；(2)若為邊的中點(diǎn)，且，，求的面積.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，分別為線段的中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求二面角的正切值．17．（15分）近幾年，AI技術(shù)加持的智能手機(jī)（以下簡稱為AI手機(jī)）逐漸成為市場新寵.為了解顧客的購買意愿，某手機(jī)商城隨機(jī)調(diào)查了200位顧客購買AI手機(jī)的情況，得到數(shù)據(jù)如下表：購買AI手機(jī)購買不帶AI的手機(jī)總計男性顧客4070110女性顧客603090總計100100200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為購買AI手機(jī)與顧客的性別有關(guān)？(2)為提升AI手機(jī)的銷量，該手機(jī)商城針對購買AI手機(jī)的顧客設(shè)置了抽獎環(huán)節(jié)，抽獎規(guī)則如下：①共設(shè)一、二等獎兩種獎項，分別獎勵200元、100元手機(jī)話費(fèi)，抽中一、二等獎的概率分別為、，其余情況不獲獎金；②每位顧客允許連續(xù)抽獎兩次，且兩次抽獎相互獨(dú)立，記某購買AI手機(jī)的顧客兩次所獲得獎金之和為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.0.0100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（17分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，且右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)都在直線上.(1)求C的方程；(2)若直線l經(jīng)過交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值；(3)若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的一點(diǎn)，且，證明：19．（17分）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若過點(diǎn)恰有2條與的圖象相切的直線，求的取值范圍；(3)若，問函數(shù)的圖象上是否存在三個不同的點(diǎn)，，，使得它們的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，且直線的斜率等于函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．高郵市高三2024~2025學(xué)年第二學(xué)期第一次聯(lián)考參考答案1.D2.C3.B4.D5.B6.A7.C8.D9.AC10.BCD11.ACD12.13.214.5解：（1）由余弦定理可得，因為，故..........5分在中，因為D為AC邊的中點(diǎn)，所以故，即，即解得或（舍）所以..............................................................................................13分16．解（1）在菱形中，，知為正三角形，又為線段的中點(diǎn)，則，即，平面平面，又平面平面，又平面，為線段的中點(diǎn)，，又平面平面..........................................................................7分（2）如圖，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的法向量，由得令，則，即，易知為平面的法向量，，由圖可知二面角為銳二面角，故其余弦值為，正切值...........................................15分17．解（1），所以可以認(rèn)為購買AI手機(jī)與顧客的性別有關(guān)..............................................................................................................6分（2）根據(jù)題意可能取值為：的分布列為的期望......................................................................................15分18.解（1）在直線方程中，令，得，即上頂點(diǎn)，則，令，得，即，則，所以的方程為........................................................3分（2）由題意可知直線的斜率一定不為0，設(shè)l的方程為，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理有則于是令根據(jù)單調(diào)性可得則，故面積的最大值為.......................................................................................9分（3）當(dāng)直線的斜率為0時，不妨記，而，由，得，則，因此；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，直線的方程為，由消去得，則，，且，如圖，由，得點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即，顯然，設(shè)，即，于是，由點(diǎn)在直線上，得，則，整理得，于是，因此，，所以..............17分19.解（1）因為，，所以，.因為，所以.所以若，則即在上恒成立，所以在為增函數(shù)；若，由；由.所以函數(shù)在上遞減，在上遞增.綜上：當(dāng)時，在為增函數(shù)；當(dāng)時，在上遞減，在上遞增..........................................................5分.（2）設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為：，所以切線方程為：.因為切線過點(diǎn)，所以.整理得：（）設(shè)（），則（）.由，由.所以在上遞減，在上遞增.又過點(diǎn)恰有2條與的圖象相切的直線，所以直線與的圖象有兩個不同交點(diǎn).因為，，，所以.即所求的取值范圍為.......................11分（3）當(dāng)時，，，.設(shè)，則.假設(shè)存在，（），使得直線的斜率等于函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率，即，因為，所以.