專訓(xùn)2-證比例式或等積式的技巧

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)2證比例式或等積式的技巧習(xí)題課證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似；若不在兩個三角形中，可先將它們轉(zhuǎn)化到兩個三角形中，再證這兩個三角形相似；若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換．構(gòu)造平行線法技巧1．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，DF交AC于點E，交BC的延長線于點F.求證：AE·CF＝BF·EC.1證明：如圖，過點C作CM∥AB交DF于點M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴∵D為AB的中點，∴BD＝AD.∴∴即AE?CF＝BF?EC.2．如圖，已知△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于點F.求證：AB·DF＝BC·EF.證明：如圖，過點D作DG∥BC，交AC于點G，易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴∵AD＝CE，∴∴即AB?DF＝BC?EF.過某一點作平行線，構(gòu)造出“A”型或“X”型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問題．三點定型法技巧3．如圖，在ABCD中，E是AB延長線上的一點，DE交BC于F.求證：2證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AE∥DC.∴∠CDF＝∠E.∴△FCD∽△DAE.∴4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M為BC的中點，DM⊥BC交CA的延長線于D，交AB于E.求證：AM2＝MD·ME.證明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M為BC的中點，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴即AM2＝MD·ME.構(gòu)造相似三角形法技巧5．如圖，在等邊三角形ABC中，點P是BC邊上任意一點，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.3證明：如圖，連接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分線，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴即BP·CP＝BM·CN.等比過渡法技巧6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點F在邊AC上，DF與BE相交于點G，且∠EDF＝∠ABE.求證：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.4(1)△DEF∽△BDE；證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.∴∠FED＝∠EDB.又∵∠EDF＝∠DBE，∴△DEF∽△BDE.(2)DG·DF＝DB·EF.證明：由△DEF∽△BDE得即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴即DE2＝DG·DF.∴DG·DF＝DB·EF.7．如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長線上任取一點P，連接AP，作BG⊥AP于點G，交CE于點D.求證：CE2＝DE·PE.證明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴即AE?BE＝PE?DE.又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴即CE2＝AE?BE.∴CE2＝DE?PE.兩次相似法技巧8．如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F.求證：

5證明：由題意得∠BDF＝∠BAE＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.∴△BDF∽△BAE.∴∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA.∴∴9．如圖，在ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M，N.求證：(1)△AMB∽△AND；(2)證明：(1)△AMB∽△AND；∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.∴△AMB∽△AND.證明：(2)由△AMB∽△AND得∠BAM＝∠DAN.又∵AD＝BC，∴∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠MAD＝∠AMB＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC.∴等積代換法技巧10．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：6證明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ABD∽△ADE.∴即AD2＝AE?AB.同理可得AD2＝AF?AC.∴AE?AB＝AF?AC.∴等線段代換法技巧11．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點P是AD上一點，CF∥AB，延長BP交AC于點E，交CF于點F.求證：BP2＝PE·PF.7證明：接PC，如圖所示．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC.∴即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.如圖，連接PA，∵EP是AD的垂直平分線，∴PA＝PD.∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵