線性代數(shù)試卷及答案7（包含詳細評分細則可直接作為考試試卷）

一、填空題（本題總計20分，每小題2分）

1.排列7623451的逆序數(shù)是。

aw3〃i20

2.若“"《2=],則/3%0=

Bl=CA

3.已知〃階矩陣A、8和C滿足ABC=E,其中E為〃階單位矩陣，則

4.若A為相矩陣，則非齊次線性方程組AX=6有唯一解的充分要條件是

5.設A為8x6的矩陣，已知它的秩為4,則以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為

_2,

（\00、

6.設A為三階可逆陣，A"=210,則A〃=

、32L

7.若A為〃zx〃矩陣，則齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是_____________

12345

30412

8.已知五階行列式。=11111,則A4I+A42+A43+Au+A45=_

11023

54321

9.向量1二（一2,1,0,2）7'的模（范數(shù)）

10.若a=（lk1）,與尸二（1-21）丁正交，則女=

二、選擇題（本題總計10分，每小題2分）

1.向量組四,。2,…，明線性相關且秩為s，則⑻

A.r=sB.r<s

C.s<rD.s<r

2.若A為三階方陣,且|A+2E|=0,|2A+E|=0,|3A-4E|=0,則|A|=(A)

A.8B.—8

44

C.-D.---

33

3.設向量組A能由向量組B線性表示，則(d)

A.R(B)<R(A)B.R(8)vR(A)

C.R(B)=R(A)D.R(B)NR(A)

4.設〃階矩陣4的行列式等于D,則(同*等于

(A)(8)8A*(C)kn-]A*(D)A*

5.設〃階矩陣A,B和C,則下列說法正確的是o

(A)AB=AC則B=C(B)AB=O,則網(wǎng)=0或慟=0

(C)(AB)T=ATBT(D)(A+B)(A-B)=A2-B2

三、計算題(本題總計60分c1-3每小題8分,4-7每小題9分)

122???22

222???22

223???22

1.計算〃階行列式。=??????o

?■??..?..??

222n-\2

222…2n

J為A的伴隨矩陣，且|A|二L求2A*|

2.設A為三階矩陣，A(3A)T-

3.求矩陣的逆

<111]

A二2-11

J20,

%+%2+4尢3=%?

4.討論義為何值時，非齊次線性方程組(%+九々+%3=%

幾百+X2+X3=1

①有唯一解;②有無窮多解；③無解。

5.求下非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組的基礎解系和此方程組的通解。

X,4x24-x3+x4=2

?2xt+3X2+X3+X4=1

Xj+2X3+2X4=5

2l137

6,已知向量組％=Q°3),、?2=(5),、a3=(l-13l)

=（1249）/口5=（1125）,求此向量組的一個最大無關組，并把其余向量用該

最大無關組線性表示.

0、

7.求矩陣A=-430的特征值和特征向量.

J02；

四、證明題（本題總計10分）

設〃為AX=〃（bw0）的一個解，2……短f為對應齊次線性方程組AX=O的基礎解系,

證明。看2……女—月線性無關。

（答案一）

一、填空題（本題總計20分，每小題2分）

’100、

1-15；2、3：3、C4；4、R(4)=R(A,b)=〃：5、2：6、2107、R（A）V〃：8、0；9、3；10、1。.

、321,

二、選擇題（本題總計10分，每小題2分1、D;2、A;3、D;4、C;5、B

三、計算題（本題總計60分，1-3每小題8分，4-7他每小題9分）

12222

22222

00100

解：D4一弓?=3、4,…???3分

■??

000n-30

0000n-2

122-??22

0-2-2…-2-2

001???00

??????----6分

??????

000…n-30

000??0n-2

=1x(-2)x1x2x?--x(,?-3)x(/?-2)=-2(w-2)!......8分

（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）

11Y121](1r

解：(1)AB-2A=-1113-I-2-11i……i分

”21"11

-1-1I

’464、222、（242、

=222-222=4005分

2)10

306八2-22%

「113W593、r-4-80、

(2)A2-B2=-111-210-6-3-1178分

T八1

J1117?-12一電

A'為A的伴隨矩陣，且|A|二g,求|（3A）T—2A1.因A"A=|A|E=gE,故

3.設A為三階矩陣,

A"—」

A3分A-'=，A*=2A5分

l1=4|A|

16

|(3A)-'-2A1=耕-2A8分

27

0000100、

4、解：（A,E）=1-10-10110…3分

J1-11-110

-100100、4+(-1)(100-100、

00110々+(-1)010-1-10—6分

4+R-1211,-+(T)10

,0001-2-1-L

r-l00、

故A-=-1-10?……8分（利用A-11公式求得結果也正確。）

、-2-1-1/

(A,1111八一0(11矛、

5、解：（A,b）=1212心—(0A—11—AA—4+G

2q-%101-23

U11-221-2~

112Z2、

02-11-/1A-A2..........3分

(2+2)(1-2)(1+2)2(1-2)

\00?

(1)唯一解：R(A)=RQ4s)=32￥1且義￥—25分

(2)無窮多解：R(A)=R(AZ?)v32=17分

(3)無解：R(A)wR(A。)2=-2——9分（利用其他方法求得結果也正確。）

1112、

6、解：（A,b）23111-----3分

<10225,

0

基礎解系為6分

x+2X3+2X4=5

令占=X4=0-7分故原方程組的通解為:

一/一￡=一3

〃+%4+貼2,其中仁,&wR-9分（此題結果表示不唯一，只要正確可以給

分。）

-1-X10

7、解：特征方程|4-4同二-43-20=(2-2)(2-1)2從而4=2,4=々=1(4分)

102-2

當4=2時，由（A—2E）X=0得基礎解系［=。。1）7■，即對應于4=2的全部特征向量為（勺/0）（7

分）

當4=4=1時，由（A—E）x=o得基礎解系△=（一1，一2,1尸，即對應于4=4=1的全部特征向量為

32（�）

四、證明題（本題總計10分）

證：由。42……,一為對應齊次線性方程組AX=0的基礎解系，貝1］?？?……當一線性無關。（3分）

反證法:設《4……力線性相關，則〃可由44……當一線性表示，即：〃=4。+…+4?媒伯

分）

因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故〃必是AX=0的解。這與已知條件〃為

AX=b（bwO）的一個解相矛盾。（9分）.有上可知，八蜃……4…,〃線性無關。（1。分）

（試卷二）

一、填空題（本題總計20分，每小題2分）

1.排列6574412的逆序數(shù)是.

2x1-1

2.函數(shù)f(x)=-x-xx中/的系數(shù)是.

12x

3.設三階方陣A的行列式同=3,則(A")"=A/3

4.n元齊次線性方程組AX=O有非零解的充要條件是

，-2、

5.設向量-2正交，則；1=.

6.三階方陣A的特征值為1,-1,2,貝可川=.

」2-1、

7.設4一1=02—1,則A*=.

、003,

8.設A為8x6的矩陣，已知它的秩為4,則以4為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為

9.設A為n階方陣，且|A|=2貝IJ(一；4尸+4=

‘-20

10.已知A=2x2相似于8=,則x=,y=

.31I

二、選擇題(本題總計10分，每小題2分)

1.設n階矩陣A的行列式等于O,則|一5川等于.

(A)(~5)nD(B)-5D(C)5D(D)(-5)用。

2.n階方陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是,

(A)矩陣A有n個線性無關的特征向量

(B)矩陣A有n個特征值

(C)矩陣A的行列式閭工0

(D)矩陣A的特征方程沒有重根

3.A為〃zx〃矩陣，則非齊次線性方程組AX=6有唯一解的充要條件是

(A)R(A,。)<m(B)R(A)<m

(C)R(A)=R(4,b)=n(D)R(A)=R(A,b)<n

4.設向量組A能由向量組B線性表示，則()

(A).R(B)<R(A)(B).R(8)<R(A)

(0.R(5)=R(A)(D).R(B)>R(A)

5.向量組…，見線性相關且秩為一則

(A)r=s(B)r<s(C)r>s(D)s<r

三、計算題（本題總計60分，每小題10分）

122…22

222…22

223…22

1.計算n階行列式：。=????

222…n-\2

222…2n

’220、

2.已知矩陣方程AX=4+X,求矩陣X,其中A=213

、010,

3.設〃階方陣A滿足2A—4E=0,證明A—3￡可逆，并求（A—3￡）r.

4.求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系:

x1+x2+Xy+2X4=3

-x2+3X3+8X4=8

-3%）+2X2-Xj-9X4=-5

x,-2x3-3X4=-4

5.求下列向量組的秩和一個最大無關組，并將其余向量用最大無關組線性表示.

「2、T仔、3

4135

ao72

6.已知二次型：f(xi,x2,x5)=2Xj4-5x2+5^3+4XJX2-4xtx3-8x2x3,

用正交變換化/（匹，1：2，/）為標準形，并求出其正交變換矩陣Q.

四、證明題（本題總計10分，每小題10分）

設4=4，b2a，…，。=4+。2+…+4■，且向量組生，〃2,…，對線性無關，證

明向量組4也，…也線性無關?

（答案二）

一、填空題（本題總計20分，每小題2分）

12-1

(一D"

1.172.-23.-A4.R(A)v〃5?4=-26.-27.一4一或一02-18.29、------10>x=0,y=-2

3662

003

二、選擇題（本題總計10分，每小題2分）1.A2.A4.D5,B

三、計算題（本題總計60分，每小題10分）

2222

22222

00100

1、解：D/；.一弓（i=34,…??4分

.??

()00n—30

0000n-2

122…22

0-2-2…-2-2

001…00

-2一2八7分

000…n-30

000…0n-2

=lx（-2）xlx2x...x（/i-3）x（/i-2）=-2（w-2）!----10分（此題的方法不唯一，可以酌情給分。）

2.求解AX=A+X,其中

’22O'

4=213

、O10,

解：由AX=A+X得

X=（A-E）-1A（3分）

（\20220、100-226

（A-E,A）=203213（6分）01020-3（8

<01-1010>（0012-1-3

分）

-226

所以X20-3（10分）

-1-3

3.解:利用由A2-2A-4E=0可得:（A-3E）（A+E）-E=0----5分

即（A-3E）（A+E）=E---7分故A-3E可逆且（A-3E）-1=（A+E）.....10分

4.求下列非齊次線性方程組的通解及所對應的齊次線性方程組的基礎解系.

%+電+凡+2%=3

2x）-x2+3七+85=8

—3X1+2x,—2工3—9%二—5

X1—2/3天-—4

解：（A（2分）

：4=°（6分）

-4=2

二2、’1、

10

取匕為自由未知量,令％=。，則通解為:+ceR（8分）

-12

J>O

「2、

對應齊次線性方程組的基礎解系為：1

（10分）

—1

5.求下列向量組的秩和一個最大無關組，并將其余向量用最大無關組線性表示.

101

2

0111

0000

（2分）為一個極大無關組?（4分）設

%=+x2a2,%=+）'2a2

X,=y,=l

解得2f（8分）則有

」2=14