2022北京朝陽高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京朝陽高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．點(diǎn)到直線的距離是A． B． C．1 D．2．與的等差中項是A． B． C．4 D．53．已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程是A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則A． B． C． D．5．已知圓與圓外切，則A．1 B．2 C．3 D．46．曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為A． B． C． D．7．已知等比數(shù)列的公比為，，則“”是“為遞減數(shù)列”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)．給出下列三個結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有且只有1個；②滿足的點(diǎn)有且只有1個；③滿足平面的點(diǎn)的軌跡是線段．則上述結(jié)論正確的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．39．已知，是圓上的兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．10．北京大興國際機(jī)場的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性．規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點(diǎn)有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．給出下列三個結(jié)論：①正方體在每個頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐的總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù)．其中，所有正確結(jié)論的序號是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．設(shè)函數(shù)，則．12．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（寫出一個即可）13．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費(fèi)用（單位：元）為．則凈化到純凈度為時所需費(fèi)用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費(fèi)用的瞬時變化率的倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越（填“快”或“慢”．14．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為．15．已知數(shù)列的前項和為，，則，．16．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，記動點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線的方程為；②曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為6；③曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為8．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17．（13分）已知是等差數(shù)列，，．（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和．18．（13分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫出線段長度的最小值．（不需證明）19．（15分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)在棱上．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得平面，并給出證明．條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值．20．（14分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線，與直線和橢圓分別交于兩點(diǎn)，與不重合）．判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．21．（15分）已知項數(shù)為的數(shù)列是各項均為非負(fù)實數(shù)的遞增數(shù)列．若對任意的，，與至少有一個是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（Ⅰ）判斷數(shù)列0，1，4，6是否具有性質(zhì)，并說明理由；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（Ⅲ）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項數(shù)的所有可能取值．

參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線的距離公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)到直線的距離，故選：．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，注意公式的形式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】直接由等差中項的概念得答案．【解答】解：設(shè)與的等差中項是，則，得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差中項的概念，是基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，將代入其中，求出的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線直線垂直，設(shè)直線的方程為，又由直線過點(diǎn)，則有，則，故直線的方程為，故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線垂直與直線一般式方程的關(guān)系，涉及直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的計算公式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，故選：．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，注意導(dǎo)數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意，利用圓和圓的位置關(guān)系，求得的值．【解答】解：圓與圓外切，兩圓的圓心距等于它們的半徑之和，，則，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系的確定方法，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后再求出切點(diǎn)處函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值，最后代入點(diǎn)斜式得切線方程．【解答】解：，（1），（1）．故切線為：，即．故選：．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法．屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：①在等比數(shù)列中，若，，則，，即為遞減數(shù)列，即充分性成立，②若為遞減數(shù)列，則，，，，即必要性成立，是為遞減數(shù)列的充要條件，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．【分析】結(jié)合正方體的特征，利用直線與直線的平行以及直線與平面垂直，直線與平面平行的判定，推出結(jié)果即可．【解答】解：點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)．①點(diǎn)位于時，滿足，有且只有1個，所以①正確；②滿足的點(diǎn)不存在，因為平面，與平面不平行；所以②是假命題．③當(dāng)在線段上時，滿足平面，所以點(diǎn)的軌跡是線段．所以③是真命題．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與平面垂直以及直線與平面平行的判斷，考查空間想象能力，邏輯推理能力，是中檔題．9．【分析】確定在以為直徑的圓上，，根據(jù)均值不等式得到圓上的點(diǎn)到的最大距離為，得到，解得答案．【解答】解：，故在以為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)為，則，圓上的點(diǎn)到的最大距離為，，當(dāng)時等號成立．直線到原點(diǎn)的距離為，故．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，圓中的范圍問題等知識，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可．【解答】解：①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因為四棱錐有5個頂點(diǎn)，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確．故選：．【點(diǎn)評】本題是屬于新概念題，考查了學(xué)生的推理能力，掌握曲率定義是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11．【分析】根據(jù)題意，求出的導(dǎo)數(shù)，將代入計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，則；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，注意導(dǎo)數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用已知條件寫出一個拋物線方程即可．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，可知，所以拋物線方程可以為：，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．13．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，再計算的值即可求出凈化到純凈度為時所需費(fèi)用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費(fèi)用的瞬時變化率的倍數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可判斷水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越快．【解答】解：，，，在上單調(diào)遞增，水的純凈度越高，凈化費(fèi)用增加的速度越快，故答案為：25；快．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，考查了導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，屬于中檔題．14．【分析】求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的運(yùn)算即可求出．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，由，解得，由，解得，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，向量的運(yùn)算，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時，，從而可求出；當(dāng)時，，進(jìn)一步可得，即，所以，又，故是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，從而可求出．【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，解得，由，得，兩式相減得，即，所以，又，所以是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，則，故答案為：；．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的遞推公式，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】設(shè)，根據(jù)滿足，利用兩點(diǎn)間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為，進(jìn)而可判斷②是否正確；設(shè)，，根據(jù)題意可知，再根據(jù)，在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確．【解答】解：設(shè)，因為滿足，所以，整理可得：，即，所以①正確；對于②，由①可知，點(diǎn)在圓的外部，因為到圓心的距離，半徑為2，所以圓上的點(diǎn)到的距離的范圍為，而，所以②不正確；對于③，假設(shè)存在，，使得到點(diǎn)的距離大于到直線的距離，又到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對于④，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為8，則在以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)，實軸長為8的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點(diǎn)，故曲線上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為8；所以④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評】本題考查了軌跡方程，圓與圓錐曲線的綜合，屬于中檔題．三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17．【分析】由題意得，解方程組求出，，從而可求出數(shù)列的通項公式，因為是公比為3的等比數(shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為．由題意得，解得，．所以．因為是公比為3的等比數(shù)列，又，，所以，所以．所以．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項公式與數(shù)列求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．【分析】設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計算直接寫出結(jié)果即可．【解答】證明：設(shè)，連結(jié)．因為底面為菱形，所以為的中點(diǎn)，又因為是的中點(diǎn)，所以．又因為平面，平面，所以平面．證明：因為底面為菱形，所以．因為底面，所以．又因為，所以平面．又因為平面，所以平面平面．解：線段長度的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．19．【分析】（Ⅰ）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論．（Ⅱ）選條件①③，設(shè)，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（Ⅲ）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，平面，又平面，．（Ⅱ）證明：選條件①③，可使平面．證明如下：設(shè)，連結(jié)，，又，分別是，的中點(diǎn)，．又，所以．由（Ⅰ）知：平面，平面，則．又，即平面．選條件②③，可使平面．證明如下：設(shè)，連結(jié)．因為平面，平面，平面平面，所以，又，則．由（Ⅰ）知：平面，平面，則．又，即平面．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，四邊形為正方形，所以．因為，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，，所以，．由（Ⅰ）知：平面的一個法向量為．設(shè)平面的法向量為，則，令，則．設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題主要考查線面垂直的證明，空間向量的應(yīng)用，面面角的計算等知識，屬于中等題．20．【分析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于，，的方程組，解得，的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，可得以為直徑的圓過定點(diǎn)，然后證明直線的斜率存在時，以為直徑的圓過定點(diǎn)即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，解得，．橢圓的方程為；（Ⅱ）如圖，當(dāng)直線的斜率不存在時，，，以為直徑的圓過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，令，可得，則，．聯(lián)立，得，解得，則以為直徑的方程為，將代入，可得，方程成立．以為直徑的圓過定點(diǎn)，綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查推理論證能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．21．【分析】由數(shù)列具有性質(zhì)的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項即可．由性質(zhì)知：、，結(jié)合非負(fù)遞增性有，再由時，必有，進(jìn)而可得，，，，，應(yīng)用累加法即可證結(jié)論．討論，，，結(jié)合性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷是否存在符合題設(shè)性質(zhì)，進(jìn)而確定的可能取值．【解答】解：數(shù)列0，1，4，6