剛體力學基礎(chǔ)課件

剛體力學基礎(chǔ)

形狀和大小都不改變的物體剛體：重點研究：剛體的定軸轉(zhuǎn)動（理想模型）§5—1剛體的平動和轉(zhuǎn)動1.平動剛體上任意兩點間的聯(lián)線在整個運動過程中，保持原方向不變。1動畫動畫2.轉(zhuǎn)動剛體上各質(zhì)點都繞同一軸作圓周運動。如果轉(zhuǎn)軸固定不動，就稱定軸轉(zhuǎn)動。3.質(zhì)心運動定理注意各量物理意義

例：

將一啞鈴拋出時，啞鈴上每個質(zhì)點的軌道都不是拋物線，但質(zhì)心然作拋物線運動。一般剛體運動很復(fù)雜，但可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成?？梢宰C明，質(zhì)心的運動遵循以下規(guī)律：

不管物體的質(zhì)量如何分布、外力作用在什么地方，質(zhì)心的運動就象物體的全部質(zhì)量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一個質(zhì)點的運動一樣。2動畫動畫動畫炮彈在飛行軌道上爆炸成碎片，質(zhì)心仍在拋物線上……質(zhì)心：剛體的質(zhì)量分布中心。通常以質(zhì)心（c）的運動來代表整個剛體的平動。1.介紹幾個物理量角位置

rad角位移

(一般定逆時針為正)角速度dtdttq=DqD=w

D0lim角加速度220limdtddtdttq=w=DwD=b

D矢量描述:qrd方向由右手螺旋確定rqddtdq=wrr方向與相同qrdr22dtddtdq=w=brbrbr3§

5—2剛體的定軸轉(zhuǎn)動1-.srad2-s.rad標量描述:2.線量與角量的關(guān)系以圓運動為例

43.剛體的定軸轉(zhuǎn)動（1）特征:

轉(zhuǎn)軸上各點靜止，其它各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運動。各質(zhì)元的相同不同各質(zhì)元的相同不同（2）勻加速定軸轉(zhuǎn)動的公式:（3）剛體的轉(zhuǎn)動動能

考慮剛體上第i

個質(zhì)元，質(zhì)量為

mi，速度為vi=Ri

，動能為整個剛體的動能為動畫

JEk221w=m：質(zhì)點慣性的量度J：剛體慣性的量度如果剛體連續(xù)分布J

的大小與剛體總質(zhì)量、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān).kg.m2,標量。質(zhì)量分布離軸越遠J越大.20同一剛體，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動慣量不一樣。10在總質(zhì)量一定的情況下，剛體的轉(zhuǎn)動動能為（剛體對給定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量）J小J大討論幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：細棒細棒薄圓環(huán)或薄圓筒圓盤或圓柱體薄球殼球體*平行軸定理

以m表示剛體的質(zhì)量，Jc表示它通過其質(zhì)心c的軸的轉(zhuǎn)動慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛體對于后一軸的轉(zhuǎn)動慣量為：*垂直軸定理例：4.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律（1）力矩（力對轉(zhuǎn)軸的力矩）

在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)。注意：

則將分解為平行于轉(zhuǎn)軸的分量和垂直于轉(zhuǎn)軸的分量只有垂直于轉(zhuǎn)軸的分量對轉(zhuǎn)軸才有力矩。若不在（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動第一定律類比有00=b=w=trrr

恒量時

繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所受的合外力矩為零時，將保持原有的運動狀態(tài)不變。（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動第二定律J

t=brr類比有

繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體獲得的角加速度大小與合外力矩的量值成正比。方向與合外力矩的方向相同。rrrb=w==trJdtdJdtLd類比有剛體轉(zhuǎn)動方程:由牛頓第一定律：5.轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用用求導(dǎo)的方法積分加初始條件例1.一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪視為圓盤），繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，m1<m2，滑輪的質(zhì)量為

m

，半徑為R，所受的摩擦阻力矩為

r

，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.動畫剛體定軸轉(zhuǎn)動的兩類問題：解:研究對象m1

，m2，m建立坐標，受力分析如圖.對各隔離體寫出運動方程：對m1

：對m2：對m：

聯(lián)立求得：注意：當不計滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時：這便是中學所熟知的結(jié)果問：如何求角加速度？根據(jù)可求得§

5—3剛體轉(zhuǎn)動的功和能1.力矩的功合外力對剛體所作的微功：（

與

互余）2.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理由質(zhì)點系：類比：

合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。A內(nèi)力矩？3.剛體的機械能守恒定律剛體的勢能：設(shè)地面為零勢面，剛體的質(zhì)心離地面的高度為hc則

若剛體轉(zhuǎn)動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。例2.一質(zhì)量為m長為L的均勻細棒OA可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細棒擺到豎直位置時（1）質(zhì)心C和端點A的線速度（2）質(zhì)心C的線加速度解法一（1）研究對象：細棒受力分析：（不考慮）力矩零勢面常數(shù)用動能定理作：=0方向：向左零勢面因豎直位置=0=0（2）解法二用機械能守恒作：（剛體只有重力矩作功）解法三用運動方程（轉(zhuǎn)動定律）求解：研究對象：細棒受力分析：mg（不考慮N）運動方程：零勢面回顧“剛體運動”中勻加速定軸轉(zhuǎn)動公式

線量和角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動第二定律rrrb=w==trJdtdJdtLd定軸轉(zhuǎn)動的動能定理若剛體轉(zhuǎn)動過程中只有重力矩作功，則機械能守恒。常數(shù)=w+221JmghcrrcamF=合外力質(zhì)心運動定理§

5—4剛體的角動量和角動量守恒定律1.

剛體的角動量2.角動量定理微分形式積分形式3.角動量守恒定律10

對“剛體”“定軸”轉(zhuǎn)動，J

是常數(shù)?！敖莿恿渴睾恪本褪墙撬俣仁睾恪?0

若變，仍成立演示實驗30適用范圍:慣性系,宏觀、微觀都適用。討論剛體定軸轉(zhuǎn)動與質(zhì)點一維運動的對比位移角位移速度角速度加速度角加速度質(zhì)點一維運動剛體定軸轉(zhuǎn)動質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量力力矩運動定律轉(zhuǎn)動定律動量動量角動量角動量動量定理角動量定理動量守恒定律角動量守恒定律質(zhì)點一維運動剛體定軸轉(zhuǎn)動力的功力矩的功動能轉(zhuǎn)動動能（平動動能）動能定理轉(zhuǎn)動動能定理重力勢能重力勢能機械能守恒定律機械能守恒定律例3.

如圖，質(zhì)量為

M

半徑為

R

的轉(zhuǎn)臺初始角速度為

0,有一質(zhì)量為m

的人站在轉(zhuǎn)臺的中心,若他相對于轉(zhuǎn)臺以恒定的速度u沿半徑向邊緣走去,求人走了t

時間后,轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度。（豎直軸所受摩擦阻力矩不計）解：人與轉(zhuǎn)臺系統(tǒng)對軸角動量守恒設(shè)t

時刻人走到距轉(zhuǎn)臺中心r=ut

處，轉(zhuǎn)臺的角速度為.對小球：動量定理對棒：角動量定理例4.一根質(zhì)量為M，長為l的均勻細棒，可繞通過棒中心的垂直軸Z，在xy平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。開始時靜止，今有質(zhì)量為m

的小球以速度逆著軸的方向碰撞棒的端點，假設(shè)碰撞是彈性的，試求碰撞后小球的彈回速度和棒的角速度（1）、（2）聯(lián)立：受力分析：小球棒解法一研究對象：小球，棒球、棒、地系統(tǒng)機械能守恒：（3）（4）聯(lián)立將代入，舍棄的解方向：沿y正向方向：沿z正向解法二:應(yīng)用角動量守恒和機械能守恒定律研究系統(tǒng)：小球、細棒（內(nèi)力矩很大，小球重力忽略）碰撞前后，角動量守恒：Z的負方向Z的正方向Z的正方向（4）（5）聯(lián)立可求彈性碰撞，球、棒、地系統(tǒng)機械能守恒：例5.一質(zhì)量為M、長l

的均勻細桿，以0點為軸，從靜止在與豎直方向成

0角處自由下擺，到豎直位置時，與光滑桌面上一質(zhì)量為m的靜止物體（質(zhì)點）發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后M的角速度

M

和m的線速度v

m

動畫解:桿自由下擺,機械能守恒.（設(shè)桿擺到豎直位置時角速度為

0）桿與物彈性碰撞過程系統(tǒng)對軸的角動量守恒,機械能守恒:零勢面(1)、(2)、(3)式聯(lián)立解得：§

5—5剛體的平面運動1.純滾動S=2

RAcccRAA0可看成質(zhì)心平動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動合成（或整個剛體繞瞬心0轉(zhuǎn)動）運動方程質(zhì)心平動rrcamF=合外力cyycxxmaFmaF==定軸轉(zhuǎn)動b=tb=tJJrr合外力矩

注意：10角量是對質(zhì)心而言的，可以證明：b=w=RaRvcc20瞬心“0”的速度v0=0！30S=R

因軸上各點靜止28演示動畫例6.一個質(zhì)量為m半徑為R的均勻圓柱體，從傾角為

的斜面上由靜止開始無滑動地滾下，求質(zhì)心的加速度。cR解法一：研究對象：圓柱體建立坐標、受力分析：如圖運動方程：平動：轉(zhuǎn)動：聯(lián)立，求得：將

ac

代入（1）可得維持圓柱體滾動的最小靜摩擦力動畫解法二：研究對象：圓柱體、三角塊、地球組成的系統(tǒng)。圓柱體受力：N，f，mg只有mg作功，機械能守恒。初態(tài)：頂部末態(tài)：底部cR零勢面Rv

c=w,

mRJ=2210注意解法一可以求力，解法二則不能，說明運動定律的作用。N，f

都作用在瞬心上，無滑動，不作功?！?/p>

5—6進動1.進動：陀螺在繞本身的對稱軸線轉(zhuǎn)動的同時，對稱軸還將繞豎直軸OZ轉(zhuǎn)動