2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計(jì)71-80-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

【評(píng)注】通過本題的解答，需要搞清楚：不出現(xiàn)某些點(diǎn)與只出現(xiàn)余下的點(diǎn)是不同的.如不出現(xiàn)1點(diǎn)、6點(diǎn)、2點(diǎn)及5點(diǎn)與只出現(xiàn)3點(diǎn)和4點(diǎn)是不同的.不出現(xiàn)1點(diǎn)、6點(diǎn)、2點(diǎn)及5點(diǎn)的概率為，而僅出現(xiàn)3點(diǎn)和4點(diǎn)的概率為.（八）概率最值問題【例15】為防止某事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁這四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后，此突發(fā)事件不發(fā)生的概率（記為）和所需費(fèi)用信息如表1所示：表1預(yù)防措施甲乙丙丁0.90.80.70.6費(fèi)用（萬元）90603010預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下，請(qǐng)確定一個(gè)預(yù)防方案使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.【解析】預(yù)防措施可分為三種方案：方案1，單獨(dú)釆用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過120萬元，由表1可知采用甲措施使得此事件不發(fā)生的概率最大，其概率為0.9.方案2，聯(lián)合釆用兩種預(yù)防措施，總費(fèi)用不超過120萬元，由表1可知聯(lián)合采用甲、丙這兩種預(yù)防措施使得此事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1-（1-0.9）（1-0.7）=0.97.方案3，聯(lián)合釆用三種預(yù)防措施，總費(fèi)用不超過120萬元，故只能聯(lián)合采用乙、丙、丁這三種預(yù)防措施，此時(shí)此事件不發(fā)生的概率為1-（1-0.8）（1-0.7）（l-0.6）=0.976.綜合上述三種預(yù)防措施方案，在總費(fèi)用不超過120萬元的前提下，聯(lián)合采用乙、丙、丁這三種預(yù)防措施，可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.【例16】某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系的位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系的位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為.求：（1）該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；（2）使（）取得最大值的整數(shù).【解析】（1）因?yàn)槭录▽W(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息）與事件（學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息）是相互獨(dú)立的事件，所以與相互獨(dú)立.由于，故.因此.（2）當(dāng)時(shí)，只能取，有；當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者.由于“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為，當(dāng)時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師發(fā)送的信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師發(fā)送的信息的學(xué)生人數(shù)均為.由乘法計(jì)數(shù)原理知：事件所包含基本事件數(shù)為，此時(shí).當(dāng)時(shí)，.假如成立，則當(dāng)能被整除時(shí)，，故在和處取得最大值；當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)最大值.下面證明.因?yàn)?，所?又，故，顯然.因?yàn)?（九）撲克花色問題【例17】從一副52張的撲克牌中任取4張，求其中至少有2張牌的花色相同的概率.【解析】解法1任取4張牌，設(shè)至少有2張牌的花色相同為事件；4張牌是同一花色為事件；有3張牌是同一花色，另一張牌是其他花色為事件；每兩張牌是同一花色為事件；只有兩張牌是同一花色，另兩張牌分別是不同花色為事件.可見，，，，彼此互斥，且.因?yàn)椋?， ，所以.解法2設(shè)任取4張牌中至少有兩張牌的花色相同為事件，則為取出的4張牌的花色各不相同.因?yàn)椋?故至少有2張牌的花色相同的概率是0.8945.【例18】一副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種花色有13張牌，共52張牌，從一副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.【解析】從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法，所以.【評(píng)注】研究至少情況時(shí)，分類要清楚.（十）產(chǎn)品正次問題?！纠?9】在20件產(chǎn)品中，有15件正品、5件次品，從中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.【解析】（1）從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有種，其中恰有1件次品的取法有種.所以恰有一件次品的概率.（2）解法1從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件，恰有2件次品為事件，3件全是次品為事件，則它們的概率分別為：又事件，彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率.解法2記從20件產(chǎn)品中任取3件，3件全是正品為事件，那么任取3件，至少有1件次品為.根據(jù)對(duì)立事件的概率加法公式得，.【例20】在100件產(chǎn)品中，有95件合格品、5件次品，從中任取2件，求：（1）2件都是合格品的概率；（2）2件都是次品的概率；（3）1件是合格品，1件是次品的概率。【解析】從100件產(chǎn)品中任取2件的可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從100個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù).由于是任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所以為基本事件總數(shù).（1）100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，就是從95個(gè)元素中任取2個(gè)的組合數(shù).記“任取2件都是合格品”為事件，那么事件的概率.（2）由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為.記“任取2件都是次品”為事件，那么事件的概率.（3）記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為，則包含的結(jié)果數(shù)為，則事件的概率.【例21】1件產(chǎn)品要經(jīng)過兩道加工程序，第一道工序的次品率為3%，第二道工序的次品率為2%，求產(chǎn)品的次品率.【解析】設(shè)“第一道工序出現(xiàn)次品”為事件，“第二道工序出現(xiàn)次品”為事件，“至少有一道工序出現(xiàn)次品”該產(chǎn)品就是次品.所求概率.【例22】要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為0.05，而乙機(jī)床廢品率為0.1，兩個(gè)機(jī)床的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：（1）至少有一件廢品的概率；（2）至多有一件廢品的概率.【解析】設(shè)事件為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”，事件為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”，則.（1）至少有一件廢品的概率：.（2）至多有一件廢品的概率：.（十一）射擊命中問題【例23】獵人在距離100米處射擊一野兔，命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離為150米.如果第二次射擊又未中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米.已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.【解析】記三次射擊依次為事件，，，其中.由，求得.所以，，故獵人命中野兔的概率為.（十二）質(zhì)點(diǎn)跳動(dòng)問題【例24】從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)，按向量=（0，l）移動(dòng)的概率為，按向量=（0，2）移動(dòng)的概率為，設(shè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（0，）的概率為，求.【解析】引進(jìn)數(shù)列，再根據(jù)題意，找到遞推關(guān)系，再求，注意的實(shí)際意義，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（0，）的概率為，那么到達(dá)點(diǎn)（0，-1）的概率為.依題意，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（0，）有兩種情形：①從點(diǎn)（0，—l）按向量=（0，l）移動(dòng)到點(diǎn)（0，）.由于點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（0，—1）的概率為，按=（0，1）移動(dòng)的概率為.故這種情形的概率為.②從點(diǎn)（0，—2）按向量=（0，2）移動(dòng)到點(diǎn)（0，），參考①的思路，得這種情形的概率為.由于①②兩種情形互斥，所以，所以.又易得，，所以是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列.于是.所以.所以質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)點(diǎn)（0，）的概率為.（十三）成績排序問題【例25】表2所示的是某班英語及數(shù)學(xué)成績的分布列.學(xué)生共有50人，成績分1?5五個(gè)檔次.例如表2中所示英語成績?yōu)?分、數(shù)學(xué)成績?yōu)?分的學(xué)生為5人.將全班學(xué)生的姓名卡片混在一起，任取一枚，該卡片同學(xué)的英語成績?yōu)?，?shù)學(xué)成績?yōu)椋O(shè)，為隨機(jī)變量.（注：沒有相同姓名的學(xué)生）表2數(shù)學(xué)54321英語5131014107513210932160100113（1）=1的概率為多少？且概率為多少？（2）等于多少？（3）若的期望為，試求，的值.【解析】（1），.（2），可得.①（3）又，可得，②結(jié)合①②可得=1，=2.【評(píng)注】概率試題的計(jì)算一般是比較復(fù)雜的，需要細(xì)心、認(rèn)真才不會(huì)出錯(cuò)，請(qǐng)記?。杭?xì)節(jié)決定成?。。ㄊ模┲炼嘀辽賳栴}【例26】從10名同學(xué)（其中6女，4男）中隨機(jī)選出3名參加測(cè)驗(yàn)，每名女同學(xué)能通過測(cè)驗(yàn)的概率均為，每名男同學(xué)能通過測(cè)驗(yàn)的概率均為.試求：（1）選出的3名同學(xué)中，至少有1名男同學(xué)的概率；（2）10名同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過測(cè)驗(yàn)的概率.【解析】（1）隨機(jī)選出的3名同學(xué)中，至少有一名男同學(xué)的概率.（2）甲、乙被選中且能通過測(cè)驗(yàn)的概率.【評(píng)注】本題需要正確運(yùn)用相關(guān)的公式，掌握“至多”“至少”類問題的處理方法.【例27】某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33名成員，一些成員參加了不止1個(gè)小組，具體情況如圖1所示.隨機(jī)選取一名成員，（1）他屬于至少2個(gè)小組的概率是多少？（2）他屬于不超過2個(gè)小組的概率是多少？【解析】（1）從圖中可以看出，3個(gè)課外興趣小組總?cè)藬?shù)為60人.用表示事件“選取的成員只屬于同一個(gè)小組”，則就表示“選取的成員屬于至少2個(gè)小組”，于是.因此，隨機(jī)選取的一名成員屬于至少2個(gè)小組的概率是.（2）用表示事件“選取的成員屬于3個(gè)小組”，則就表示“選取的成員屬于不超過2個(gè)小組”，于是.所以隨機(jī)選取的一名成員屬于不超過2個(gè)小組的概率是.（十五）道路堵車問題【例28】某先生居住在城市的處，準(zhǔn)備開車到單位處上班，若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，發(fā)生堵車事件的概率如圖2所示（例如，→→算作兩個(gè)路段：路段發(fā)生堵車事件的概率為，路段發(fā)生堵車事件的概率為）.（1）請(qǐng)你為其選擇一條由到的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小；（2）若記路線→→→中遇到堵車次數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）記路段發(fā)生堵車事件為.因?yàn)楦髀范伟l(fā)生的堵車事件都是獨(dú)立的，且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次，所以路線→→→中遇到堵車的概率=.同理，路線→→→中遇到堵車的概率（小于）；路線→→→中遇到堵車的概率（大于）.顯然要使得由到的路線途中發(fā)生堵車事件的概率最小，只可能在以上三條路線中選擇.因此選擇路線→→→，可使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小.（2）路線→→→中遇到堵車次數(shù)可能的取值為0，1，2，3.，，所以.故路線中遇到堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.（十六）莖葉圖示問題【例29】圖3所示的莖葉圖是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成績，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為.【答案】【解析】由圖3可知，甲的5次成績分別是88，89，90，91，92，易知甲的平均分為90.乙的成績分別為83，83，87，99，其中被污損的那次成績?yōu)?0到99中的某一個(gè).設(shè)被污損的成績?yōu)椋杉椎钠骄煽兂^乙的平均成績，得，所以.又是90到99這十個(gè)整數(shù)中的一個(gè)，其中有8個(gè)整數(shù)小于98，所以：＜98的概率為.【變式訓(xùn)練1】已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)如圖4所示，若它們的中位數(shù)相同，平均數(shù)也相同，則圖中的.（十七）方程有解問題*【例30】已知，，，，則任?。?，），關(guān)于的方程有實(shí)根的概率為.【解析】表示正方形區(qū)域，其面積為4，對(duì)于方程=0有實(shí)根可分兩種情形：當(dāng)時(shí)，，此時(shí){，}表示正方形在軸上的一邊，面積為0.當(dāng)時(shí)，，，.在，，，的平面區(qū)域內(nèi)，滿足的圖形面積為，所以.二、期望計(jì)算（一）摸球選色問題【例31】袋中放2個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中取1個(gè)球，取到白球?yàn)橹?，若每次取出的球不再放回去，求取球次?shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【解析】根據(jù)題意，的取值為1，2，3，4，則有，，.故的分布列為1234所以.【評(píng)注】離散型隨機(jī)變量的分布列，期望與方差是概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容，求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：①根據(jù)問題實(shí)際找出隨機(jī)變量的所有可能值；②求出各個(gè)取值的概率.③畫表填入相應(yīng)數(shù)字.其中隨機(jī)變量的取值很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真推敲，通常利用所有概率之和等于1來進(jìn)行檢驗(yàn).期望與方差的計(jì)算公式，尤其是方差的計(jì)算公式較為復(fù)雜，要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶.【變式訓(xùn)練2】一個(gè)袋子里裝有7個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，編號(hào)分別為1，2，3，4；3個(gè)白球，編號(hào)分別為2，3，4.從袋子中任取4個(gè)球（假設(shè)取到任何一個(gè)球的可能性相同）.（1）求取出的4個(gè)球中，含有編號(hào)為3的球的概率；（2）在取出的4個(gè)球中，紅球編號(hào)的最大值設(shè)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【例32】一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出兩個(gè)球，則其中含紅球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是.【答案】【解析】解法1同時(shí)取出的2個(gè)球中含紅球數(shù)的概率分別為，，.所以.解法2概率分布列同解法1，取出的2個(gè)球中所含紅球數(shù)服從超幾何分布，其數(shù)學(xué)期望為.【變式訓(xùn)練3】一個(gè)口袋中有編號(hào)分別為0，1，2的小球各2個(gè)，從這6個(gè)球中任取2個(gè)，則取出2個(gè)球的編號(hào)數(shù)之和的期望為（）.A.1 B.1.5 C.2 D.2.5【例33】盒子中有大小相同的10個(gè)球，其中標(biāo)號(hào)為1的球有3個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的球有4個(gè)，標(biāo)號(hào)為5的球有3個(gè)，第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同）.記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為.求：（1）隨機(jī)變量的分布列；（2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【解析】（1）由題意可得，隨機(jī)變量的取值是2，3，4，6，7，10.隨機(jī)變量的概率分布列如下23467100.090.240.160.180.240.09（2）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【變式訓(xùn)練4】一個(gè)口袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這7個(gè)小球除顏色外均相同.（1）從中不放回地摸球，每次摸2個(gè)球，摸到的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球則中獎(jiǎng)，求摸2次恰好第2次中獎(jiǎng)的概率；（2）每次同時(shí)摸2個(gè)球，并放回，摸