2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列151-160-專項訓練【含答案】

2．已知在數(shù)列中且求通項公式.【例5】已知一個圓內(nèi)有條弦,這條弦中每兩條都相交于圓內(nèi)的一點,且任何三條不共點,求證:這條弦將圓面分割成個區(qū)域．【解析】當時，成立；假設當時命題成立,即，則當時,第條弦被前條弦分成段,所以增加了個區(qū)域，故共有個區(qū)域.此時,即時命題成立.綜上知待證命題成立。.【變式訓練】1．觀察下面的等式:推出由等式提供的一般規(guī)律,用數(shù)學歸納法證明．2．已知平面上有個圓,其中任意兩圓都相交,任意三圓不共點,試推測個圓把平面分為幾部分？用數(shù)學歸納法證明你的結論．【例6】已知數(shù)列的通項公式是記(1)寫出數(shù)列的前三項;(2)猜想數(shù)列通項公式,并用數(shù)學歸納法加以證明;(3)令求的值．【解析】（1）略；證明略；（3）由得．【變式訓練】已知數(shù)列滿足且(1)求(2)猜想通項公式并用數(shù)學歸納法證明．【例6】如圖是曲線上的個點,點在軸的正半軸上,且是正三角形(點與坐標原點重合)．(1)寫出的值．(2)求出點的橫坐標關于的表達式．【解析】(1).(2)依題意有由此及得即由此猜想：．下面用數(shù)學歸納法予以證明:當時，命題顯然成立;(ii)假設當時命題成立,即有,則當時,由歸納假設及得即解之得不合題意，舍去$)$,即當時,命題成立.所以.【評注】數(shù)學歸納法主要用來解決與自然數(shù)有關的命題，通常與數(shù)列不等式證明等基礎知識和基本技能相結合來考查邏輯推理能力，也是考查推理與證明的一個重要內(nèi)容，要求了解數(shù)學歸納法的原理，并能加以簡單的應用.【變式訓練】已知點列其中是線段的中點,是線段的中點，是線段的中點，...，(1)寫出與之間的關系式;(2)設計算由此猜想數(shù)列的通項公式,并加以證明.【拓展提升】已知數(shù)列滿足且記集合（1）若寫出集合中的所有元素;（2）若集合中存在一個元素是3的倍數(shù),求證:中的所有元素都是3的倍數(shù)；（3）求集合中的元素個數(shù)的最大值.二、整除性問題的數(shù)學歸納證明【例1】求證：對任意正偶數(shù)，二項式能被整除．【解析】（?。┊敃r，能被整除，命題成立．（ⅱ）假設當為正偶數(shù))時命題成立，即能被整除，當時，．由可被整除，能被整除，則能被整除，故當時，命題成立．由（ⅰ）和（ⅱ）知對任意正偶數(shù)，命題成立．【評注】由命題要求對任意正偶數(shù)進行證明則歸納步驟的跨度為2．【例2】用數(shù)學歸納法證明：能被64整除．【解析】（?。┊敃r，，能被64整除，故時命題成立；(ii)假設當時命題成立，即能被64整除，則當時，能被64整除，故當時命題成立．由（?。áⅲ┛芍獙Χ寄鼙?4整除．

三、數(shù)列恒等問題的數(shù)學歸納【例1】用數(shù)學歸納法證明：．【解析】（?。┊敃r，左邊，右邊，等式成立．（ⅱ）假設當時等式成立，即則當時，，故當時，等式也成立．根據(jù)（?。áⅲ┛芍?對任意的等式都成立．【例2】是否存在常數(shù)，使得等式對任意都成立．【解析】假設存在使題設的等式成立，令于是，對，下面等式成立：，記，設時上式成立，即，那么也就是說，等式對也成立．綜上所述，當時，題設對任意的均成立．【例3】已知數(shù)列的通項公式為，試問是否存在常數(shù)使等式對一切都成立？【解析】分別令得方程組即解得所以（?。┊敃r等式成立；（ⅱ）假設當時等式成立，即當時，即當時等式成立，由（?。áⅲ┛芍獙σ磺?，等式都成立．【例4】設是否存在使等式對都成立?證明你的結論．【解析】時，猜想：（?。┊敃r顯然成立；（ⅱ）假設當時，即，當時，，由于，所以即，，這就是說，當時，假設成立．綜上，命題對均成立．【變式訓練】用數(shù)學歸納法證明：．2.用數(shù)學歸納法證明：.3.用數(shù)學歸納法證明：.【例5】求實數(shù)的值，使下面等式對一切都成立：．【解析】當時，左邊，右邊由解得下面用數(shù)學歸納法證明當時原式對一切都成立.（?。┊敃r,等式成立；（ⅱ）假設當時，等式成立，即，則當時，左邊故當時等式成立.由（?。áⅲ┛芍敃r，對，等式均成立.【例5】求證：對.【解析】（?。┊敃r，左邊右邊.，即等式成立.（ⅱ）假設當且時,等式成立，即有那么，當時，即當時，等式成立.根據(jù)（?。áⅲ┛芍?，等式對一切都成立.【拓展提升】用數(shù)學歸納法證明：當時，.四、數(shù)列不等問題的數(shù)學歸納【例1】對，記，求數(shù)列中的最大值.【解析】經(jīng)計算知，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，有.當時，，成立；假設當時，，則.所以數(shù)列中的最大值是.【例2】求證：不論正數(shù)是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當且互不相等時，均有.【解析】（1）設為等比數(shù)列，，則；（2）設為等差數(shù)列，則猜想且，下面用數(shù)學歸納法證明：（?。r，由得；（ⅱ）假設當時成立，則當時，也就是說，等式對也成立.由（?。áⅲ┲?，對一切均成立.【例3】若求證：【解析】用加強命題法，先證.（?。┊敃r，成立；（ⅱ）假設當時，成立，則時，，即時命題成立.由（?。áⅲ┲獙γ}均成立.因為，且，所以.【變式訓練】折且時，求證：.當且時，求證：.用數(shù)學歸納法證明不等式：.【例4】用數(shù)學歸納法證明：.【解析】（ⅰ）當時，有，命題成立；（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，（縮?。?且,即當時不等式也成立.【評注】思考：對于比多幾項?【例5】已知在數(shù)列中，，求證：當時，【解析】（ⅰ）當時，