2023年 數(shù)學(xué)高考題新高考Ⅰ卷

PAGE1一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2023·新高考Ⅰ卷1題）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，則M∩N＝（）A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}C.{－2} D.{2}解析：C由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因為M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故選C.2.（2023·新高考Ⅰ卷2題）已知z＝1－i2+2i，則z－z＝（A.－i B.iC.0 D.1解析：A由題意，得z＝1－i2（1+i）＝（1－i）22（1+i)(1－i）＝－12i，所以z3.（2023·新高考Ⅰ卷3題）已知向量a＝（1，1），b＝（1，－1）.若（a＋λb）⊥（a＋μb），則（）A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1 D.λμ＝－1解析：D因為a＝（1，1），b＝（1，－1），所以a＋λb＝（1＋λ，1－λ），a＋μb＝（1＋μ，1－μ），因為（a＋λb）⊥（a＋μb），所以（a＋λb）·（a＋μb）＝0，所以（1＋λ）（1＋μ）＋（1－λ）（1－μ）＝0，整理得λμ＝－1.故選D.4.（2023·新高考Ⅰ卷4題）設(shè)函數(shù)f（x）＝2x（x－a）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.（－∞，－2] B.[－2，0）C.（0，2] D.[2，＋∞）解析：D設(shè)t＝x（x－a），易知函數(shù)y＝2t是增函數(shù).因為f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)t＝x（x－a）在（0，1）上單調(diào)遞減.因為函數(shù)t＝x（x－a）在（－∞，a2）上單調(diào)遞減，所以a2≥1，即a≥2.5.（2023·新高考Ⅰ卷5題）設(shè)橢圓C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的離心率分別為e1，e2，若e2＝3e1A.233 C.3 D.6解析：A法一由題意知e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因為e2＝3e1，所以32＝3法二代入驗證，若a＝233，則e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又6.（2023·新高考Ⅰ卷6題）過點（0，－2）與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A.1 B.15C.104 D.解析：B由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圓心為點（2，0），半徑為5.如圖易知點（2，0）與點（0，－2）的距離為22，所以點（0，－2）與切點的距離為（22）2-(5）2＝3，所以sinα2＝522，cosα2＝322，所以sinα＝2sin7.（2023·新高考Ⅰ卷7題）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列.則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：C若{an}是等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋n（n－1）2d，所以Snn＝a1＋n－12d＝d2n＋a1－d2，所以Sn+1n+1－Snn＝d2（n＋1）＋a1－d2－（d2n＋a1－d2）＝d2，所以Snn是等差數(shù)列.若Snn是等差數(shù)列，設(shè)Snn＝kn＋b，k，b∈R，則Sn＝kn2＋bn.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝k＋b；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝kn2＋bn－[k（n－1）2＋b（n－1）]＝2kn－k＋b，所以an－an－1＝2kn－k＋8.（2023·新高考Ⅰ卷8題）已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，則cos（2α＋2β）＝（A.79 B.C.－19 D.－解析：B因為sin（α－β）＝13，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝13.因為cosαsinβ＝16，所以sinαcosβ＝16＋13＝12，所以sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝cos2（α＋β）＝1－2sin2（α＋β）＝1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則（）A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差解析：BD若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，8，則2，3，4，5的平均數(shù)為72，1，2，3，4，5，8的平均數(shù)為236，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等，故A錯誤；不妨設(shè)x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，則x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位數(shù)，故B正確；若該組樣本數(shù)據(jù)為1，2，2，2，2，8，則2，2，2，2的標(biāo)準(zhǔn)差為0，而1，2，2，2，2，8的標(biāo)準(zhǔn)差大于0，故C錯誤；由對選項B的分析可知，x2，x3，x4，x5的極差為x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的極差為x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正確.故選B10.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷10題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2解析：ACD由Lp＝20×lgpp0，得p＝p0×10Lp20.由題表中的數(shù)據(jù)可知p0×103≤p1≤p0×1092，p0×1052≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正確；因為10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B錯誤；因為p0×1092≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p11.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷11題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（xy）＝y(tǒng)2f（x）＋x2f（y），則（）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.f（x）是偶函數(shù)D.x＝0為f（x）的極小值點解析：ABC取x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝f（1）＋f（1），所以f（1）＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f（1）＝f（－1）＋f（－1），所以f（－1）＝0，取y＝－1，則f（－x）＝f（x）＋x2f（－1），又f（－1）＝0，所以f（－x）＝f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故C正確；由于f（0）＝0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以x＝0可能為函數(shù)f（x）的極小值點，也可能為函數(shù)f（x）的極大值點，也可能不是函數(shù)f（x）的極值點，故D不正確.綜上，故選A、B、C.12.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體解析：ABD棱長為1m的正方體的內(nèi)切球的直徑為1m，1m＞0.99m，所以A符合題意；如圖①，在棱長為1m的正方體中，正四面體A1-BDC1的棱長為2m，2m＞1.4m，所以B符合題意；因為棱長為1m的正方體上任意兩點間的最大距離為正方體的體對角線長3m≈1.732m，而3m＜1.8m，所以C不符合題意；如圖②，假設(shè)放入最大的圓柱的上、下底面圓心為P，Q，設(shè)圓柱底面半徑為rm，底面直徑為dm，連接AC1，如圖③，在平面AB1C1D中，過Q作QE⊥AC1，交AB1于點E，則QE＝rm，AQ＝2rm，PQ＝3－22r＝（3－2d）m，當(dāng)d＝1.2時，PQ＝3－2×1.2≈1.732－1.414×1.2≈0.035m＞0.01m，故D符合題意.故選A、B、D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（2023·新高考Ⅰ卷13題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.解析：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有C41C41種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有C41C42種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有C42答案：6414.（2023·新高考Ⅰ卷14題）在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為.解析：法一如圖所示，設(shè)點O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點O1，O分別為B1D1，BD的中點，連接O1O，則O1O即為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因為AB＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12－BE2＝2－12＝62，所以O(shè)1O＝62，所以V正四棱臺ABCD-法二如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補形成正四棱錐P-ABCD，因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.連接BD，取BD的中點為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2－BO2＝6，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為62，所以V正四棱臺ABCD-A1B1C1D答案：715.（2023·新高考Ⅰ卷15題）已知函數(shù)f（x）＝cosωx－1（ω＞0）在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是.解析：法一由f（x）＝cosωx－1＝0，得cosωx＝1.設(shè)g（x）＝cosωx，x∈[0，2π].令t＝ωx，x∈[0，2π]，設(shè)g（t）＝cost，t∈[0，2πω].因為方程g（x）＝1在[0，2π]上有且僅有3個根，所以4π≤2πω＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范圍是[2，3）.法二函數(shù)f（x）＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，根據(jù)函數(shù)y＝cosx在[0，2π]上的圖象可知，cosx＝1在區(qū)間[0，2π]有2個根，所以若cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，則函數(shù)y＝cosωx在[0，2π]內(nèi)至少包含2個周期，但小于3個周期，即2×2πω≤2π，3×2πω>2π，又ω＞答案：[2，3）16.（2023·新高考Ⅰ卷16題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝－23，則C解析：法一設(shè)A（x1，y1），B（0，y0）.由題意知F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.由＝－23，得（x1－c，y1）＝－23（－c，y0）.整理，得x1＝53c，y1＝－23y0，所以A（53c，－23y0）.因為⊥，所以·＝0，即（53c＋c，－23y0）·（c，y0）＝0，所以83c2－23y02＝0，解得y0＝±2c，所以A（53c，±43c）.因為點A在雙曲線C上，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25c29a2－16c29（c2－a2）＝法二由＝－23可得A，B，F(xiàn)2三點共線，且F2在線段AB上，不妨令點A在第一象限，則點B在y軸負(fù)半軸上，易得｜F2A｜＝23｜F2B｜.設(shè)｜F2B｜＝3m（m＞0），則｜F2A｜＝2m，所以｜F1B｜＝｜F2B｜＝3m，｜AB｜＝5m，由⊥可得∠AF1B＝90°，所以｜AF1｜＝｜AB｜2-|BF1｜2＝4m，所以2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝2m，即a＝m.過F1作F1D⊥AB，垂足為D，則12｜AB｜·｜F1D｜＝12｜F1A｜·｜F1B｜，即12×5m×｜F1D｜＝12×4m×3m，所以｜F1D｜＝125m，所以｜BD｜＝｜BF1｜2-|F1D｜2＝95m，所以｜F2D｜＝65m，則｜答案：3四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（2023·新高考Ⅰ卷17題）已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin（A－C）＝sinB.（1）求sinA；（2）設(shè)AB＝5，求AB邊上的高.解：（1）∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，∴4C＝π，則C＝π4∵2sin（A－C）＝sinB＝sin（π－A－C）＝sin（A＋C），∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，則sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA＞0.又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝310（2）法一設(shè)AB邊上的高為h，由（1）易得cosA＝1010，則sinB＝sin（A＋C）＝sin（π4＋A）＝22cosA＋22sin在△ABC中，由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AC＝ABsinB又S△ABC＝12·AC·AB·sinA＝12∴h＝ACsinA＝210×31010即AB邊上的高為6.法二由（1）得sinA＝3cosA，則A是銳角，cosA＝1010sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC＝31010×22＋1010×由正弦定理ACsinB＝ABsinC，得AC＝ABsinBsinC＝5×25522＝218.（2023·新高考Ⅰ卷18題）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.（1）證明：B2C2∥A2D2；（2）點P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.解：（1）證明：法一（坐標(biāo)法）以點C為坐標(biāo)原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），所以＝（0，－2，1），＝（0，－2，1），所以＝，所以B2C2∥A2D2.法二（向量法）依題意，得＝＋＋＝＋＋＝，所以B2C2∥A2D2.（2）設(shè)P（0，2，a）（0≤a≤4），則＝（2，0，－1），＝（2，2，－2），＝（0，2，a－3）.設(shè)平面A2C2D2的法向量為m＝（x1，y1，z1），則即2x令x1＝1，則z1＝2，y1＝1，所以m＝（1，1，2）.設(shè)平面A2C2P的法向量為n＝（x2，y2，z2），則即2x令z2＝2，得y2＝3－a，x2＝a－1，所以n＝（a－1，3－a，2）.由二面角P-A2C2-D2的大小為150°，得｜cos＜m，n＞｜＝｜m·n即｜a－1+3－a解得a＝1或a＝3，故B2P＝｜a－2｜＝1.19.（2023·新高考Ⅰ卷19題）已知函數(shù)f（x）＝a（ex＋a）－x.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)a＞0時，f（x）＞2lna＋32解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1.當(dāng)a≤0時，易知f'（x）＜0，則f（x）在（－∞，＋∞）上是減函數(shù).當(dāng)a＞0時，令f'（x）＝0，得x＝ln1a當(dāng)x∈（－∞，ln1a）時，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（ln1a，＋∞）時，f'（x）所以f（x）在（－∞，ln1a）上單調(diào)遞減，在（ln1a，＋∞）綜上可知，當(dāng)a≤0時，f（x）在（－∞，＋∞）上是減函數(shù)；當(dāng)a＞0時，f（x）在（－∞，ln1a）上單調(diào)遞減，在（ln1a，＋∞）（2）證明：法一由（1）知，當(dāng)a＞0時，f（x）在（－∞，ln1a）上單調(diào)遞減，在（ln1a，＋∞）所以f（x）min＝f（ln1a）＝a（eln1a＋a）－ln1a＝1＋令g（x）＝1＋x2＋lnx－（2lnx＋32），x＞0即g（x）＝x2－lnx－12，x＞0則g'（x）＝2x－1x＝2令g'（x）＝0，得x＝22當(dāng)x∈（0，22）時，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（22，＋∞）時，g'（x）所以g（x）在（0，22）上單調(diào)遞減，在（22，＋∞所以g（x）min＝g（22）＝（22）2－ln22－12＝－ln所以1＋x2＋lnx＞2lnx＋32對?x＞0所以當(dāng)a＞0時，1＋a2＋lna＞2lna＋32恒成立即當(dāng)a＞0時，f（x）＞2lna＋32法二當(dāng)a＞0時，由（1）得，f（x）min＝f（－lna）＝1＋a2＋lna，故欲證f（x）＞2lna＋32只需證1＋a2＋lna＞2lna＋32即證a2－12＞lna構(gòu)造函數(shù)u（a）＝lna－（a－1）（a＞0），則u'（a）＝1a－1＝1－aa，所以當(dāng)a＞1時，u'（a）＜0；當(dāng)0＜a＜1時，u'（所以函數(shù)u（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以u（a）≤u（1）＝0，即lna≤a－1，故只需證a2－12＞a－1，即證a2－a＋12＞因為a2－a＋12＝（a－12）2＋14所以當(dāng)a＞0時，f（x）＞2lna＋3220.（2023·新高考Ⅰ卷20題）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d＞1.令bn＝n2＋nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{b（1）若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通項公式；（2）若{bn}為等差數(shù)列，且S99－T99＝99，求d.解：（1）∵3a2＝3a1＋a3，∴3（a2－a1）＝a3，∴3d＝a1＋2d，∴a1＝d，則an＝nd（d＞1），∴bn＝n+1∴S3＝a1＋a2＋a3＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝9d∴6d＋9d＝21.整理，得2d2－7d＋3＝0即（2d－1）（d－3）＝0，解得d＝3或d＝12（舍去）∴an＝3n，n∈N*.（2）若{bn}為等差數(shù)列，則b1＋b3＝2b2，即2a1＋12a3＝整理，得a12－3a1d＋2d2解得a1＝d或a1＝2d.當(dāng)a1＝d時，an＝nd，bn＝n2＋n∴S99－T99＝992（d＋99d）－992（2d＋100整理，得50d2－d－51＝0，解得d＝5150或d＝－1（舍去）當(dāng)a1＝2d時，an＝（n＋1）d，bn＝n2＋n∴S99－T99＝992（2d＋100d）－992（1d＋99整理，得51d2－d－50＝0，解得d＝－5051或d＝∵d＞1，∴此時無解.綜上可知，d＝515021.（2023·新高考Ⅰ卷21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，則E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y解：（1）設(shè)“第2次投籃的人是乙”為事件A，則P（A）＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.（2）設(shè)“第i次投籃的人是甲”的概率為Pi，則第i－1次投籃的人是甲的概率為Pi－1，第i－1次投籃的人是乙的概率為1－Pi－1，則Pi＝0.6·Pi－1＋（1－Pi－1）×0.2（i≥2），即Pi＝15＋25Pi－1（i≥則Pi－13＝25（Pi－1－1又P1＝12，∴P1－13＝12－13＝∴數(shù)列Pi－13是以16為首項，25為公比的等比數(shù)列∴Pi－13＝16（25）i－1，即Pi＝16（25）i∴第i次投籃的人是甲的概率為16（25）i－1＋（3）設(shè)第i次投籃時甲投籃的次數(shù)為Xi，則Xi的可能取值為0或1，當(dāng)Xi＝0時，表示第i次投籃的人是乙，當(dāng)Xi＝1時，表示第i次投籃的人是甲，∴P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，∴E（Xi）＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，則E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由（2）知，pi＝13＋16×（25）i∴p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×［1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1］＝n3＋16×1－（25）n122.（2023·新高考Ⅰ卷22題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點（0，12）的距離，記動點P的軌跡為W（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于33.解：（1）設(shè)點P（x，y），則｜y｜＝（x整理，得x2＝y(tǒng)－14故曲線W的方程為y＝x2＋14（2）證明：不妨設(shè)A，B，C三點在W上，如圖所示，設(shè)B（x0，x02＋14），A（x1，x12＋14），C（x2，x22＋14），AB的斜率為k，則直線直線AB，BC的方程分別為y－（x02＋14）＝k（x－x0），y－（x02＋14）＝－1k（x－x0），即直線AB，BC的方程分別為y＝kx－kx0＋x02＋14，聯(lián)立直線AB與拋物線W的方程可得y＝x2＋14，y＝kx－kx0＋x02則Δ＝k2－4kx0＋4x02＝（k－2x0）2＞0，k≠2x由根與系數(shù)的關(guān)系得x0＋x1＝k，x0·x1＝kx0－x0∴｜AB｜＝1+k2·｜x1－x0｜＝1+k2·（x0＋x1）同理，聯(lián)立直線BC與拋物線W的方程，并消去y得x2＋1kx－1kx0－x02＝0，且｜BC｜＝1+（－1k）2·｜x2－x0｜＝1+（－1k）2·｜－∴｜AB｜＋｜BC｜＝1+k2｜k－2x0｜＋1+1k2｜1k由對稱性不妨設(shè)0＜｜k｜≤1，則1+1k2＝1+k2｜k｜≥1+k∴｜AB｜＋｜BC｜≥1+k2（｜k－2x0｜＋｜1k＋2x0｜）＞1+k2｜k＋令t＝k2，則t∈（0，1]，則（k2+1令g（t）＝（t+1）3t，t∈則g'（t）＝3（t+1當(dāng)0＜t＜12時，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)12＜t≤1時，g'（t）＞0，g（∴g（t）在t＝12處取得極小值，即最小值，為g（12）＝∴｜AB｜＋｜BC｜＞g（t）≥g∴矩形的周長為2（｜AB｜＋｜BC｜）＞33.前沿?zé)狳c——新高考數(shù)學(xué)考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動向?qū)崟r更新請掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學(xué)試題，試題貫徹落實了高考改革的總體要求，實施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關(guān)鍵能力考查，落實立德樹人根本任務(wù)，充分發(fā)揮考試的引導(dǎo)作用.試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、重視理性思維、堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.通過設(shè)計真實問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；穩(wěn)步推進(jìn)改革，科學(xué)把握必備知識與關(guān)鍵能力的關(guān)系，體現(xiàn)了對基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識、筑牢能力基礎(chǔ)以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對各試題所考查的主干知識分析如下：題型題號各試題所考查的知識點分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運算復(fù)數(shù)的乘法及幾何意義2復(fù)數(shù)運算、共軛復(fù)數(shù)由集合間的關(guān)系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運算分層隨機抽樣、計數(shù)原理4由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應(yīng)用等比數(shù)列的概念、前n項和及性質(zhì)多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側(cè)面積和截面面積10以實際問題為背景考查對數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的概念及性質(zhì)11抽象函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的極值及應(yīng)用12以正方體內(nèi)嵌入某幾何體考查對稱性、空間位置關(guān)系獨立事件的概率、二項分布模型填空題13計數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺的體積四棱臺的體積15三角函數(shù)中由零點個數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關(guān)系16雙曲線幾何性質(zhì)、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項問題19利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、證明不等式統(tǒng)計圖表、概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質(zhì)及前n項和空間線面位置關(guān)系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關(guān)系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用從上表可以看出，試題所考查知識范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識，由此在一輪復(fù)習(xí)備考中更應(yīng)重視必備知識的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點夯實.二、注重試題情境創(chuàng)設(shè)、牢記育人宗旨1.關(guān)注社會熱點2023年新高考Ⅰ卷第10題以當(dāng)今社會熱點“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會、關(guān)注民生，用所學(xué)知識解決生活實踐情境下的實際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景命制出以等差數(shù)列為考查點的試題，此類試題不但能考查學(xué)生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識運用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學(xué)生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的同時，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注我國社會現(xiàn)實與經(jīng)濟、科技進(jìn)步與發(fā)展，增強民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用價值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景命制出以四棱臺體積公式為考查點的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評價科學(xué)有據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對培養(yǎng)學(xué)生能力的要求是數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗學(xué)生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養(yǎng)評價本題為多選題，以正方體內(nèi)嵌入其他幾何體為背景考查學(xué)生不同的素養(yǎng)層級，由A、B、C、D四個選項設(shè)計的問題不同，對應(yīng)解決問題所需核心素養(yǎng)也逐漸提升，本