已知A(-3,1),B(-2,10),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值

-2-已知A(-3,1),B(-2,10),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(-3,1),B(-2,10)求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對(duì)稱分析法根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，先找出其中1個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，再與另外一個(gè)點(diǎn)連成直線，則直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的p點(diǎn)?！?找關(guān)于A點(diǎn)對(duì)稱步驟：A(-3,1)B(-2,10) xP(eq\f(-32,11),0)A1(-3,-1)此時(shí)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A1(-3,-1)，此時(shí)直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(10-(-1),-2--3)=11,則其直線方程為:y-10=11*(x--2).令y=0，代入求出x=eq\f(-32,11),所以p(eq\f(-32,11),0).☆.找關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱步驟：A(-3,1)B(-2,10) xP(eq\f(-32,11),0)B1(-2,-10)此時(shí)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1(-2,-10)，此時(shí)直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(1-(-10),-3--2)=-11,則其直線方程為:y-1=-11(x--3).令y=0，代入求出x=eq\f(-32,11),所以p(eq\f(-32,11),0).?.三角形分析法已知A(-3,1),B(-2,10),求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小，即問題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(82)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(-3,1)B(-2,10)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時(shí)，AP+PB的值最小,設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(-3,-2),此時(shí)AP和PB的斜率絕對(duì)值相等。又Kap=eq\f(1,-3-x)，kbp=eq\f(10,-2-x)，所以：|eq\f(1,-3-x)|=|eq\f(10,-2-x)|，求出x=eq\f(-32,11)，其中x=-eq\f(28,9)(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時(shí)間最短路程傳播。B(-2,10)A(-3,1) 90°-θθP(x,0)x所求點(diǎn)即為光線的入射角，光線從A點(diǎn)出發(fā)，在p點(diǎn)反射后，經(jīng)過點(diǎn)B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時(shí)PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(10,-2-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(1,-3-x),所以：10(-3-x)=-(-2-x),即：x=eq\f(-32,11)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x+3)2+12)+eq\r((x+2)2+102),是關(guān)于x的函數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x+3,eq\r((x+3)2+12))+eq\f(x+2,eq\r((x+2)2+102)),令d'x=0，則eq\f(x+3,eq\r((x+3)2+12))=-eq\f(x+2,eq\r((x+2)2+102)),(-2-x)eq\r((x+3)2+12)=(x+3)eq\r((x+2)2+102),可知-3<x<-2,方程兩邊平方有:102(x+3)2=