75正態(tài)分布課件-高二下學期數學人教A版選擇性

7.5正態(tài)分布

人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標1.通過誤差模型，了解正態(tài)曲線、正態(tài)分布的概念（重點）2.通過借助具體實例的頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布的特征及曲線表示的含義，提升邏輯推理能力（重點）3.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義，會用正態(tài)分布解決實際問題，提升數學運算能力（難點）新課導入思考一下：如果設一個電水壺的使用壽命為X，它不是離散型的，那么X是什么變量？有些問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量.新課學習自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質量減去標準質量）.用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9新課學習思考一下：（1）如何描述這100個樣本誤差數據的分布？（2）如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布？根據已學的統(tǒng)計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布，如下圖所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應區(qū)間內的頻率，所有小矩形的面積之和為1.0-6-420-2頻率/組距0.050.100.150.20X46觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負，并大致對稱地分布在X=0的兩側，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.新課學習隨著樣本數據量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖所示.光滑的鐘形曲線新課學習根據頻率與概率的關系，可用下圖中的鐘形曲線（曲線與水平軸之間的面積為1）來描述袋裝食鹽質量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2,-1]內的概率，可用圖中陰影部分的面積表示.新課學習正態(tài)密度函數的概念隨機誤差分布的解析式：正態(tài)密度曲線的性質：（1）對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方.（2）x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線，如圖所示.新課學習正態(tài)分布的概念若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布.新課學習思考一下：正態(tài)分布在實際問題中有什么應用？正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產和生活實踐之中.在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布.例如，某些物理量的測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產量,自動流水線生產的各種產品的質量指標(如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容),某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等,一般都近似服從正態(tài)分布.新課學習觀察一下：觀察正態(tài)曲線及相應的密度函數，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點？從X的密度函數及其圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下的特點：新課學習思考一下：一個正態(tài)分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態(tài)曲線的形狀有何影響？它們反映正態(tài)分布的哪些特征？函數f(x-μ)的圖象可由y=f(x)的圖象平移得到.因此，在參數σ取固定值時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如下圖所示.μ3=-1μ1=0

μ2=1xyσ=1若σ固定，圖象位置隨μ值的變化而沿x軸平移新課學習因此，當σ較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當σ較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如下圖所示.

2

=0.5

1

=1

3=2μ=0

xy新課學習正態(tài)分布的期望與方差觀察上面兩圖可以發(fā)現(xiàn)，參數μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.實際上，我們有在實際問題中,參數

μ,σ

可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.新課學習例

李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.（1）估計X，Y的分布中的參數；分析：對于第（1）問，正態(tài)分布由參數

μ

和

σ

完全確定，根據正態(tài)分布參數的意義,可以分別用樣本均值和樣本標準差來估計.隨機變量X的樣本均值為30，樣本標準差為6；隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標準差為2.用樣本均值估計參數μ，用樣本標準差估計參數

σ

，可以得到X~N(30,σ2),Y~N(34,22)新課學習（2）根據（1）中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度曲線；X和Y的分布密度曲線如圖所示.新課學習（3）如果某天有38min可用，李明應選擇哪種交通工具？如果某天只有34min可用，又應該選擇哪種交通工具？請說明理由.分析：

這是一個概率決策問題,首先要明確決策的準則,在給定的時間內選擇不遲到概率大的交通工具;然后結合圖形,根據概率的表示，比較概率的大小，作出判斷.應選擇在給定時間內不遲到的概率大的交通工具.由圖可知，所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；如果只有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車.新課學習正態(tài)分布的3σ原則上述結果可用如圖表示.新課學習正態(tài)分布的3σ原則由此看到，盡管正態(tài)變量的取值范圍是(-∞,+∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況幾乎不可能發(fā)生.在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布N(μ,σ

2)的隨機變量X