湖南省長沙市長郡教育集團2024年中考一模數(shù)學試題（含答案）

湖南省長沙市長郡教育集團2024年中考一模數(shù)學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．?2023的倒數(shù)是（）A．12023 B．?12023 C．20232．2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國空間站開講，3名航天員演示了在微重力環(huán)境下毛細效應實驗、水球變“懶”實驗等，相應視頻在某短視頻平臺的點贊量達到150萬次，數(shù)據(jù)150萬用科學記數(shù)法表示為（）A．1.5×105 B．0.15×13．計算2ba?bA．2 B．?2 C．0 D．2b?2a4．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．以下列數(shù)值為長度的各組線段中，能組成三角形的是（）A．2，4，7 B．3，3，6 C．5，8，2 D．4，5，66．為了調(diào)查我市某校學生的視力情況，在全校的2000名學生中隨機抽取了300名學生，下列說法正確的是（）A．此次調(diào)查屬于全面調(diào)查 B．樣本容量是300C．2000名學生是總體 D．被抽取的每一名學生稱為個體7．如圖，在△ABC中，∠C=90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于12MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE=3，AB=6，A．6 B．9 C．12 D．188．如圖，直角三角板的直角頂點放在直線b上，且a∥b,∠1=55°，則A．35° B．45° C．55° D．25°9．關于一次函數(shù)y=?2x+4，下列說法不正確的是（）A．圖象不經(jīng)過第三象限 B．y隨著x的增大而減小C．圖象與x軸交于(?2，0) D．圖象與y10．A，B，C，D，E五名學生猜測自己能否進入市中國象棋前三強．A說：“如果我進入，那么B也進入．”B說：“如果我進入，那么D也進入．”D說：“如果我進入，那么E也進入，則進入前三強的三個人是（）A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．分解因式：x3?4x12．不等式組x?1<x+322x+1≥013．已知m是?1，0，1，2，3中的一個數(shù)，則關于x的方程x2?x+m=0有解的概率為14．如圖，點A在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，AB⊥x軸，已知點B，C關于原點對稱，則△ABC的面積為15．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，若∠C=30°，AB=12cm，則⊙O的半徑為cm．16．若扇形的圓心角為135°，半徑為4，則它的弧長為．（結(jié)果保留π）三、解答題（本大題共9個小題，共72分）17．計算：|1?218．先化簡，再求值：(a?b)2+(a+b)(a?b)?2a(a?2b)，其中19．某校數(shù)學社團開展“探索生活中的數(shù)學”研學活動，小亮想測量某大廈樓頂上的一個廣告牌CD的高度，從與大廈BC相距30m的A處觀測廣告牌頂部D的仰角∠BAD=30°，觀測廣告牌底部C的仰角∠BAC=27°，如圖所示．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0（1）求大廈BC的高度；（結(jié)果精確到0.1m）（2）求廣告牌CD的高度．（結(jié)果取整數(shù)）20．打造書香文化，培養(yǎng)閱讀習慣，某校舉行了以“禮、才、恩”為主題的讀書活動，學生根據(jù)自己的愛好選擇一類書籍（A：政史類，B：文學類，C：科技類，D：藝術類，E：其他類）．柳老師組織數(shù)學興趣小組對學校部分學生進行了問卷調(diào)查，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖所示）．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）此次被調(diào)查的學生人數(shù)為▲名，并補全條形統(tǒng)計圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，C“科技類”所對應的圓心角度數(shù)是；（3）若該校有3000名學生，請你估計最喜歡閱讀文學類書籍的學生人數(shù)；（4）甲同學從A，B，C三類書籍中隨機選擇一種，乙同學從B，C兩類書籍中隨機選擇一種請用畫樹狀圖或者列表法求甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率．21．如圖，點C在線段BD上，AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，BC=DE．（1）求證：△ABC≌△CDE；（2）已知AB=2，DE=4，求△ACE的面積．22．為了調(diào)動學生學習數(shù)學的興趣，某校八年級舉行了數(shù)學計算題比賽，為表彰獲獎的選手，A，B兩種文具作為獎品．已知A文具的單價比B文具的單價貴8元，且用720元購買A文具的數(shù)量與用480元購買B文具的數(shù)量相同．（1）求A，B兩種文具的單價；（2）若年級組需要購買A，B兩種文具共100件，且購買這兩種文具的總費用不超過2080元，則年級組至少購買B種文具多少件？23．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB=2，∠AFB=60°，求CF的長．24．在平面直角坐標系中有且只有一個交點的兩個函數(shù)稱為“親密函數(shù)”，這個唯一的交點稱為他們的“密接點”．例如：y=3x?1與y=?x+3有且只有一個交點(1,2)，則稱這兩個函數(shù)為“親密函數(shù)”，點（1）判斷下列幾組函數(shù)，是“親密函數(shù)”的在橫線上記“√”，不是“親密函數(shù)”的在橫線上記“×”；①y=2x?1與y=?x+2；②y=1x與③y=x2?x+1（2）一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=?kx（其中k，b為常數(shù)，k>0)，且他們的“密接點”P到原點的距離等于3，求（3）兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N．記直線l1與l2的交點的縱坐標為m，直線MN與y25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，∠DMC=∠DAB．（1）求證：AB=BC．（2）當k≥1時，記DMAB=k，記①當k=3②求t的最大值．（3）當AD為直徑時，連接OB交AC于點E，滿足以下條件：①S△BCM=3；②S△BEM=2m?n；③

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：?2023的倒數(shù)是-故答案為：B.

【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義即可求得答案。2．【答案】C【解析】【解答】解：150萬=1.故答案為：C.

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)，據(jù)此判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：2ba?b?2aa?b=4．【答案】D【解析】【解答】A、不是軸對稱圖形，故A不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D、是軸對稱圖形，故D符合題意．故答案為：D.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義逐項判斷即可。5．【答案】D【解析】【解答】解：A：2+4<7，不符合題意；

B：3+3=6，不符合題意；

C：5+2<8，不符合題意；

D：4+5>6，符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】A、此次調(diào)查屬于抽樣調(diào)查，∴A不符合題意；

B、樣本容量是300，∴B符合題意；

C、2000名學生的視力情況是總體，∴C不符合題意；

D、被抽取的每一名學生的視力情況稱為個體，∴D不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)樣本容量、抽樣調(diào)查、總體和個體的定義判斷求解即可。7．【答案】B【解析】【解答】解：由作圖可知：AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AB于點D，

∵∠C=90°，

∴ED=EC=3，

∴△AEB的面積為：12×AB×ED=故答案為：B.

【分析】首先根據(jù)作圖過程可得出AE平分∠BAC，過點E作ED⊥AB于點D，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ED=EC=3，最后根據(jù)三角形的面積計算公式求得△AEB的面積即可。8．【答案】A【解析】【解答】解：

∵a∥b,∠1=55°，

∴∠3=∠1=55°，

∴故答案為：A.

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠1=55°，進一步得出∠2=35°，即可得出答案。9．【答案】C【解析】【解答】解：∵k=-2<0，b=4>0，

∴圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故A選項正確；

∵k=-2<0，

∴函數(shù)值y隨x的增大而減小，故B選項正確；

∵當x=2時，y=0，

∴圖象與x軸交于點（2，0），故C選項不正確；

令y=0，解得y=4，

∴圖象與y軸交于點（0，4），故D選項正確。

故答案為：C.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項分析即可得出答案。10．【答案】C【解析】【解答】解：假設A進入前三強，則B，D，E也要進入，所以不符合題意；假設B進入前三強，則D，E也要進入，沒有此選項；假設D進入前三強，則E也進入，所以只有C，D，E進入前三強。故答案為：C.

【分析】在假設的前提條件下，通過邏輯分析即可得出答案。11．【答案】x(x+2)(x-2)【解析】【解答】解：原式=x（x2-4）=x(x+2)(x-2)。

故答案為：x(x+2)(x-2)。

【分析】首先提出公因式x，括號內(nèi)的式子利用公式法，利用平方差公式進行因式分解。12．【答案】?【解析】【解答】解：不等式組x?1<x+32①2x+1≥0②，由①得：x＜5，由∴不等式組的解集為：-12≤x＜5.

【分析】解不等式組，求得不等式組的解集即可。13．【答案】2【解析】【解答】解：根的判別式為：1-4m當關于x的方程x2?x+m=0有解時1-4m≥0，

∴m≤14，

∴當m=-1，0時，關于x的方程x2?x+m=0有解，

∴關于x的方程x2

【分析】首先根據(jù)根的判別式求得當方程有解時m的取值范圍，從而得出當m=-1，0時，關于x的方程x2?x+m=0有解，進而求得關于x的方程14．【答案】3【解析】【解答】解：∵點A在反比例函數(shù)y=?3x的圖象上，

∴△AOB的面積為：32，

∵點B，C關于原點對稱，

∴OB=OC，

∴△ABC故答案為：3.【分析】根據(jù)反比例函數(shù)中K的幾何意義，可得出△AOB的面積為：32，再根據(jù)點B，C關于原點對稱，可得出△ABC的面積為：315．【答案】4【解析】【解答】解：

連接AD，

∵弦AB⊥CD，垂足為E，

∴AE=12AB=6，

在直角三角形ACE中：∠C=30°，

∴AC=2AE=12，

∵CD是直徑，

∴∠CAD=90°，

∴cos∠C=ACCD，

∴CD=ACcos30°=123故答案為：43

【分析】連接AD，首先根據(jù)垂徑定理得出AE=6cm，再根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)求得AC=12cm，然后在直角三角形ACD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，求得CD的長，進而可得出⊙O的半徑。16．【答案】3π【解析】【解答】解：弧長=135×π故答案為：3π

【分析】根據(jù)弧長計算公式進行正確計算即可。17．【答案】解：|1?==2．【解析】【分析】首先根據(jù)絕對值的性質(zhì)。特殊角的三角函數(shù)值，負整數(shù)指數(shù)冪，零整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡，然后再合并同類二次根式即可。18．【答案】解：(a?b)==2ab，當a=2024，b=1時，原式=2×2024×(?1)=?4088【解析】【分析】首先根據(jù)整式的混合運算進行化簡，然后再代入求值即可。19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=27°，AB=30m，∴BC=AB?tan∴大廈BC的高度約為15（2）解：在Rt△ABD中，∠ABD=90°，1∴BD=AB?tan∴CD=BD?BC=2m∴廣告牌CD的高度約為2m【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，解直角三角形即可求得大廈BC的高度約為15.3m；

（2）在20．【答案】（1）解：100，補全統(tǒng)計圖如下：（2）144°（3）解；3000×20∴估計最喜歡閱讀文學類書籍的學生人數(shù)約為600名（4）解；甲乙ABCB(A(B(CC(A(B(C由表格可知，一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的結(jié)果數(shù)有2種，∴甲乙兩位同學選擇相同類別書籍的概率為26【解析】【解答】解：（1）此次被調(diào)查的學生人數(shù)為：10÷10%=100，D藝術類人數(shù)為：100-10-20-40-5=25；

故答案為：100；

（2）C“科技類”所對應的圓心角度數(shù)是：360°×40100=144°；

故答案為：144；

【分析】（1）根據(jù)A組頻數(shù)÷A組頻率，即可求調(diào)查學生數(shù)，并進一步求得D組人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖即可；

（2）用360°乘C組的頻率即可得出C“科技類”所對應的圓心角度數(shù)；

（3）用總?cè)藬?shù)3000乘樣本中文學類的頻率即可得出閱讀文學類書籍的學生人數(shù)；

21．【答案】（1）證明：∵AB⊥BD，AC⊥CE，DE⊥BD，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，又∵BC=DE，∴△ABC≌△CDE(AAS)（2）解：∵△ABC≌△CDE，∴AC=CE，BC=DE=4，∴AC∴S【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明△ABC≌△CDE；

（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AC=CE，BC=DE=4，再根據(jù)勾股定理求得AC2=20，然后根據(jù)三角形面積計算公式，即可求得△ACE的面積．22．【答案】（1）解：設A種文具的單價為x元，則B種文具的單價為(x?8得720x解方程，得x=24，經(jīng)檢驗，x=24是分式方程的解，∴x?8=16答：A種文具的單價是24元，B種文具的單價是16元（2）解：設學校購買B種文具y件，則購買A種文具(100?y)件，根據(jù)題意，得16y+24(100?y)≤2080，解得y≥40，答：年級組至少購買B種文具40件【解析】【分析】（1）設A種文具的單價為x元，則B種文具的單價為(x?8)元，根據(jù)用720元購買A文具的數(shù)量與用480元購買B文具的數(shù)量相同，即可得出方程720x=480x?8，解方程，并進行檢驗，即可得出答案；

（2）設學校購買B種文具y件，則購買A種文具23．【答案】（1）證明：∵∠BAC=90°，D是BC的中點，∴AD=BD=CD，∵AF∥BC，∴∠EAF=∠EDC，∠EFA=∠EDC，∵E是AD中點，∴AE=DE，∴△EAF≌△EDC(AAS)，∴AF=CD，∴AF=BD，又∵AF∥BD，∴四邊形ADBF是平行四邊形，又∵AD=BD，∴四邊形ADBF是菱形（2）解：如圖所示，過點F作FH⊥CB交CB延長線于H，∵四邊形ADBF是菱形，∴AF∥BD，AF=BF=BD=CD，∵∠AFB=60°∴∠FBH=∠AFB=60°，△ABD是等邊三角形，∴∠HFB=30°，BF=AB=2，∴BH=1∴CH=BH+BD+CD=5，∴CF=【解析】【分析】（1）首先根據(jù)AAS證明△EAF≌△EDC，可得出AF=CD，等量代換為AF=BD，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形ADBF是平行四邊形，再根據(jù)AD=BD，得出四邊形ADBF是菱形；

（2）：如圖所示，過點F作FH⊥CB交CB延長線于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)首先得出△ABD是等邊三角形，進一步可得出∠HFB=30°，BF=AB=2，根據(jù)含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)可求得BH=1，F(xiàn)H=3，然后在直角三角形FCH中根據(jù)勾股定理即可求得CF的長度。24．【答案】（1）√；×；√（2）解：∵一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=?kx(其中k，b為常數(shù)，∴方程kx+b=?k∴kx∴Δ=b∴b=2k或b=?2k，當b=2k時，kx解得x=1，∴P(?1,∵“密接點”P到原點的距離等于3，∴12解得k=22或k=?2∴b=42當b=?2k時，kx解得x=1，∴P(1,∵“密接點”P到原點的距離等于3，∴12解得k=22或k=?2∴b=?42綜上，b的值為42或（3）解：m+n=2c．證明：設直線l1：y=k∵兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x∴k1即x2∴Δ=k∴b1=4c?∴M(k同理可得b2=4c?設直線MN的解析式為y=k∴k22k①×kk1∴b3令x=0，則n=b∵m=k∴xm∴m?4c?∴m=k∴m+n=【解析】【解答】解：(1)①y=2x?1與y=?x+2有一個交點（1，1），所以①是親密函數(shù)，故打√；②兩個函數(shù)沒有交點，所以②不是親密函數(shù)，所以②打×；③y=x2?x+1與y=x有一個交點（1，1），所以③打√；

故答案為：√，×，√；

【分析】(1)分別求出每對函數(shù)的交點。根據(jù)親密函數(shù)的定義即可判斷對錯；

（2）首先根據(jù)親密函數(shù)的定義，得出方程kx+b=?kx當b=2k時，kx2+2kx+k=0，解得x=1，得出P(?1,k)，再根據(jù)“密接點”P到原點的距離等于3，即可得出12+k2=3，解得k=22或k=?22(不合，舍去)，進一步求得b=42；當b=?2k時，k（3）設直線l1：y=k1x+b1，直線l2：y=k2x+b2，兩條直線l1與l2都是二次函數(shù)y=x2+c的“親密函數(shù)”，且“密接點”分別為M，N25．【答案】（1）證明：∵∠DMC=∠DAC+∠ADB,∠DAB=∠DAC+∠BAC，∴∠ADB=∠BAC，∵∠ADB=∠ACB，∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC（2）解：①∵∠BAC=∠ACB,∴∠ADB=∠BAC，∵∠ABM=∠DBA，∴△ABM∽△DBA，∴AB∵△ABM和△ADM的底邊分別為BM，DM，高相等，∴S∴BM=t?DM,∴BD=BM+DM=(1+t)?DM，代入ABBD=BM整理得：t(1+t)