材料力學(xué)-第五版-附錄I-截面的幾何性質(zhì)+習(xí)題答案

附錄I截面的幾何性質(zhì)習(xí)題解

［習(xí)題1-1］試求圖示各截面的陰影線面積對(duì)X軸的靜積。

習(xí)題1-1圖

(a)

3

解:Sx=A?yc=(40x20)x(20+10)=24000(mm)

(b)

解：S,.=A?)‘,=(20x65)x等=42250(w/n3)

(c)

5

解：SA=A?)1=(100x20)x(150-10)=280000(w/n)

(d)

解：Sx=A?”=(100x40)x(150—20)=520000("〃/)

［習(xí)題I?2］試積分方法求圖示半圓形截面對(duì)x軸的靜矩，并確定其形心的坐標(biāo)。

解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如下圖。

dA=(xdO)-dx；微分面積的縱坐標(biāo)：)，=xsin0；微分面積對(duì)x軸的靜矩為:

半圓對(duì)x軸的靜矩為：

因?yàn)镾,=A?y,,所以冬=.以久二孑

323萬(wàn)

［習(xí)題1-3］試確定圖示各圖形的形心位置。

(a)

解：

習(xí)題1-3(a):求門(mén)形截面的形心位置

矩形LiBiAiYciAiYciYc離頂邊

上4002080001601280000

左15020300075225000

右15020300075225000

140001730000123.646.4

Ai=Li*BiYc=LAiYci/SAi

(b)

解:

習(xí)題I-3(b):求L形截面的形心位置

矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc

下1601016005800080128000

左9010900554950054500

2500575002313250053

Ai=Li*BiYc=EAiYci/LAiXc=EAiXci/EAi

(C)

r：

習(xí)題「3(c):求槽形與L形組合截面的形心位置

型鋼號(hào)Ai(cm2Yci(cmAiYci(cm3Yc(cmXci(cmAiXci(cm3Xc(cm

)))))))

植鋼2010

等邊角鋼

80*10

7.(S-0.6

Yc=EAiYci/ZAiXc=ZAiXci/EAi

［習(xí)題I?4］試求圖示四分之一圓形截面對(duì)于x軸和y軸的慣性矩4、.利慣性積/0。

解：用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如下圖。

dA=(xdO)-dx；微分面積的縱坐標(biāo)：)，=xsin。；微分面積對(duì)x軸的慣性矩為：

四分之一圓對(duì)x軸的慣性矩為：

由圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四分之一圓對(duì))，軸的慣性矩為：

微分面積對(duì)X軸、y軸的慣性積為：

［習(xí)題1?5］圖示直徑為d=20()〃〃〃的圓形截面，在其上、下對(duì)稱(chēng)地切去兩個(gè)高為5=20〃〃〃的弓形,

試用積分法求余下陰影局部對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸x的慣性矩。

解：圓的方程為：

如圖，作兩條平行x軸的、相距為dy線段，截圓構(gòu)成微分面積，微分面積為：

切去25之后，剩下局部對(duì)尤軸的慣性矩為：

［習(xí)題1-6］試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線的慣性矩。

解：正方形四條邊的直線方程如下圖(設(shè)水平坐標(biāo)軸為z,豎坐標(biāo)軸為y)。

_2(a4

———+—I

3(1616)

4

故正方形對(duì)其的對(duì)角線的慣性矩為：/=—O

12

［習(xí)題1?7］試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸x的慣性矩。

⑶

d

解：/v=-!-通|(1一。2)=_!_乂3.14乂175'fl-(―)1=21177368("〃/)

*6464175

(b)

［習(xí)題1-8］試求圖示三角形截面對(duì)通過(guò)頂點(diǎn)力并平行于底邊比的x軸的慣性矩。

史

解：三角形截面對(duì)以歐邊為軸的慣性矩是12,利用平行軸定理，可求得截面對(duì)形心軸為的慣性矩

/二一3從3二從3

所以-I%一而一不

再次應(yīng)用平行軸定理，得

［習(xí)題1-9］試求圖示,二1m的半圓形截面對(duì)于軸X的慣性矩，其中軸X與半圓形的底邊平行，相距1m。

冗d4_nr4

解：半圓形截面對(duì)其底邊的慣性矩是兩一丁，用平行軸定理得截面對(duì)形心軸配的慣性矩

再用平行軸定理，得截面對(duì)軸x的慣性矩

［習(xí)題1-10］試求圖示組合截面對(duì)于形心軸工的慣性矩。

解：由于三圓直徑相等，并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為d的等邊三角形。該等邊三角形的形

心就是組合截面的形心，因此下面兩個(gè)圓的圓心，到形心軸K的距離是

上面一個(gè)圓的圓心到x軸的距離是冬8“。

6

利用平行軸定理，得組合截面對(duì)K軸的慣性矩如下：

［習(xí)題1-11］試求圖示各組合截面對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸X的慣性矩。

解：(a)22a號(hào)工字鋼對(duì)其對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩是3.4x10'mm,

利用平行軸定理得組合截面對(duì)軸X的慣性矩

(b)等邊角鋼100x100x10的截面積是1926mm2,其形心距外邊緣的距離是28.4mm,求得組

合截面對(duì)軸X的慣性矩如下：

習(xí)題171(b)圖

圖形bhIxcaAlx

中間矩形1060018000000006000180000000

上矩形25010208333052500232583333

下矩形25010208333052500232583333

左上L形17951001926143869495

右上L形17951001926143869495

左下L形17951001926143860495

右下L形17951001926143869495

1220644645

I\=/、c+/A

［習(xí)題IT2］試求習(xí)題I-3a圖所示截面對(duì)其水平形心軸X的慣性矩。關(guān)于形心位置，可利

用該題的結(jié)果。

解：形心軸X位置及幾何尺寸如下圖。慣性矩4計(jì)算如下：

［習(xí)題-12］試求圖示各截面對(duì)其形心軸工的慣性矩。

習(xí)題13圖

習(xí)題IT3(a)

圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxclx(mm1)

上矩形100010010000065065000000833333335145833333

下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000

全圖280000119000000425

習(xí)題173(c)

習(xí)題IT3(b)

圖形bihiAiYciAiYciYcaiTxclx(mm1)

上圖(3)2515037502751031250148703125089601489

中圖(2)20015030000125375000025625000056328044

下列圖10050500025125000102104166752667577

(1)

全圖387504906250127198597110

圖

bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm')

形

能

2140115024610005751415075000271222708333159333213698275

形

半

790-980333335-32869266742750202791399

圓

全14806671086382333734

圖

半圓:兒=4r/3知半圓：4=加4/8_8//9不

習(xí)題I-13(d)

圖bihiAiYciAiYciYcaiIxcilx(mm1)

形

221635208281603775093492438613

04

IS11252022579603541160324821280

09

166741078436739577280408242699408242699

2214308071121898803250307333432587

09

449400528936133427034464367735

51

239099127341：-：S2023302914

2

［習(xí)題1-14］在直徑0=8。圓截面中，開(kāi)了一個(gè)2ax4a的矩形孔，如下圖。試求截面對(duì)其水平形心軸

和豎直軸形心的慣性矩兒和.

解：先求形心主軸工的位置

截面圖形對(duì)形心軸的靜矩（面積矩）等于零:

>=—^=0189%

2a-1(y軸向下為正)

nZ)44x(2a)3/c2]

-[+4a2a?a]

64------12------------------------(組合圖形對(duì)過(guò)圓心

軸X1的慣性矩)

丸。'324n(8a)43239

-----——a=-------..-a4=g.—>?=190,4a1

643M3

32224

人=-Ay=1904--(16rrd-8a)x(01893a)=1889a（組合圖形對(duì)形心軸X的慣性矩）

習(xí)題1-14

b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)TxcaiIx(a4)

矩

42-8.001-82.6671.189314.0

形

圓450.2700201.062-0.1893202.9

42.27-8-0.1893188.9

:習(xí)題T-15］JF方形截面中開(kāi)了一個(gè)直徑為“=10(>〃%的半圓形孔.如下圖.試確定截面體形心位置.

并計(jì)算對(duì)■水平形心軸和豎宜形心軸的慣性矩。

解:

習(xí)題1-15

圖形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx

王方形2002004000010040000001333333332133546801

半圓50-392779-309365685977242860346

全圖360733690635102130686455

X=1(X)4?/8r4

-￡I=--------------I、=/“+。2A

xc89萬(wàn)

4

形心位置：X(0,102)o對(duì)水平形心軸的慣性矩：Ix=130686455nuno對(duì)豎直形心軸的慣性矩:

習(xí)題1-15

圖形arly(mm)

正方形200

半圓502454367

全圖130878966

a47i?r4

=

4128

［習(xí)題IT6］圖示由兩個(gè)20。號(hào)槽鋼組成的組合截面，假設(shè)欲使截面對(duì)兩對(duì)稱(chēng)軸的慣性矩。和人相等,

那么兩槽鋼的間距。應(yīng)為多少？

解：20a號(hào)槽鋼截面對(duì)其自身的形心軸仆、X)的慣性矩是4。=178*10'mm：

55

/川二1.28x106mmi橫截面積為42883mm2；槽鋼背到其形心軸為的距離是&=2°】mm

根據(jù)慣性矩定義的和平行軸定理，組合截面對(duì)工，V軸的慣性矩分別是

4=2*./》=孫+24彳+%/

假設(shè)4=與

2。=〃+24弓+小

即4

等式兩邊同除以2,然后代入數(shù)據(jù)，得

a/（ITS-l^xlO6_

Q+20.1）-J---------TTTT-------------73.6

于是2V2883

所以，兩槽鋼相距

:習(xí)題1-17］試求圖示截面的慣性積/“

解：設(shè)矩形的寬為b高為h,形心主慣性軸為冗.0果，那么

由平行移軸公式得：

故，矩形截面對(duì)其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標(biāo)系的慣性積為:

［習(xí)題1-18］圖示截面由兩個(gè)

習(xí)題1-17

圖形bhIxy

左矩形10100250(

下矩形：10010250(

重復(fù)加的矩形1010250(

全圖上圖+下列圖-重復(fù)圖=497E

125m/"125帆〃以10〃〃〃的等邊角鋼及綴板（圖中虛線）組合而成。

習(xí)題I-18圖

試求該截面的最大慣性矩/max和最小慣性矩/mix。

解：從圖中可知，該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過(guò)C點(diǎn)作水平線，向右為七軸正向；過(guò)

C點(diǎn)，垂直于5軸的直線為此軸向上為正。把兒cy,坐標(biāo)繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)45°

后所得到的坐標(biāo)系是截面的的兩條對(duì)稱(chēng)軸，也就是該截面的形心主慣性軸X0,），o。主慣性矩人，=/max，

〃二，min

查型鋼表得：12.5號(hào)等邊角鋼的參數(shù)如下：

A=24.37W，I=/'=149.46cm4,I=/'=573.89cm4,z=3A5cm

>oMi而）'ou0

角鋼形心主慣性軸與截面形心主慣性軸之間的距離：

（注：綴板用虛線畫(huà)出，表示其面積可忽略不計(jì)）

［習(xí)題1?19］試求圖示正方形截面的慣性積和慣性矩/*,仆并作出比擬。

r：i=—

x12

Ixy=0為形心主慣性軸)

結(jié)論：

1、過(guò)正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性枳為零；

2、過(guò)正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸，繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)之后，慣性矩、慣性積保持不變。

［習(xí)題1?20］確定圖示截面的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩。

(a)

解：截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。

1XlyIxy

-2592000001x0=704109187

-259200000[vO54184146

4+:,(/「/、?)2+4/；

42-

(b)

解：以20號(hào)槽鋼(圖I)的下邊緣為x軸，左邊緣為y軸，建立坐標(biāo)系。8號(hào)槽鋼編號(hào)為圖II。那

么組合截面的形心計(jì)算如下：

習(xí)題『20(b)長(zhǎng)度單位:cm

圖形AiXciYciAiXciAiYciXcYc

11064

II16-15

全圖

習(xí)題T-20(b)

圖

AihiIxci'lyci'IxcilyciIxciyci'Ixciycitan2aoaO1x0lyO

形%

119811650

II0

金22962490

圖

［習(xí)題21］試用近似法求習(xí)題1-4所示截面的并與該題得出的精確值相比擬。己矩該我面的半徑

r=100mm0

解：圓的方程為：

把y軸的半徑10等分，即6=1()加加。過(guò)等分點(diǎn)，作x軸的平行線。從下往上，每個(gè)分塊的中

點(diǎn)的y坐標(biāo)與x坐標(biāo)如下表所示。