專題02 三角函數(shù)解直角三角形3大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（河南專用）

PAGE1PAGE2專題02三角函數(shù)解直角三角形3大題型題型一三角函數(shù)的計(jì)算1．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個(gè)三角形一定是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【詳解】試題解析：∵cosA=，tanB=3，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．2．（22-23九年級(jí)上·河南周口·期末）在中，，都是銳角，，，則對(duì)的形狀最確切的判斷是（

）A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得、的值，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案．【詳解】解：由，，得，．．則對(duì)形狀的判斷最確切的是等腰直角三角形．故選：B．3．（21-22九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，則∠A的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用已知畫出直角三角形，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案．【詳解】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1，∴sinA=，∴∠A=45°．故選：B．4．（21-22九年級(jí)上·河南開封·期末）在中，與都是銳角，且，則的形狀是．【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：，由此可求出，即為等腰三角形．【詳解】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得：，∴，∴，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴為等腰三角形．故答案為：等腰三角形．5．（22-23九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知是銳角，且，則°．【答案】【分析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，由題意得到，根據(jù)得到，即可得到答案．【詳解】解：∵是銳角，且，∴，∵，∴，解得，，故答案為：6．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）已知a為銳角，且則．【答案】60°/60度【分析】本題考查由特殊角的三角函數(shù)值，求角的度數(shù)．根據(jù)，得到，求解即可．牢記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．7．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）若，則銳角°．【答案】45【分析】根據(jù)即可求解．【詳解】解：，，，故答案為：45．8．（22-23九年級(jí)上·河南漯河·期末）在中，若，，都是銳角，則是三角形．【答案】等腰【分析】根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可得，，，求得，，即可求解．【詳解】解：由可得，即，，解得，，則則為等腰三角形，故答案為：等腰9．（17-18九年級(jí)·河南洛陽(yáng)·期末）在△ABC中，，則∠C=．【答案】75°/75度【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得特殊角三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．【詳解】解：∵∴，∴∴故答案為：75°10．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）（1）（2）已知銳角，關(guān)于的一元二次方程有相等實(shí)數(shù)根，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和根的判別式，正確進(jìn)行二次根式的運(yùn)算和解一元二次方程是關(guān)鍵．（1）首先代入特殊角的三角函數(shù)值，然后進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可；（2）由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得，解方程即可．【詳解】（1）解：原式（2）解：由題意得，解得：，．題型二特殊角的三角函數(shù)值11．（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）的值等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，故選：B．12．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）已知實(shí)數(shù)，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出各三角函數(shù)值，然后比較他們的大小即可．本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握所有特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)比較大小．【詳解】∵，，，∴．故選:：A．13．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)3【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式：（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可；（2）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和化簡(jiǎn)二次根式，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．14．（23-24九年級(jí)上·河南漯河·期末）（1）計(jì)算：（2）解方程：【答案】（1）2；（2），【分析】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法；也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．（1）先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2），，或，，．15．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、零次冪、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)定義和運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的性質(zhì)、零次冪、算術(shù)平方根化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．16．（23-24九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）6；（2），【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)零指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對(duì)值的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值分別計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，原式．17．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）（1）解方程：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了解一元二次方程，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法即可求解；（2）依次計(jì)算零指數(shù)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對(duì)值及特殊角三角函數(shù)值，最后化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）移項(xiàng)得：，配方得：，即，開平方得：，解得：．（2）原式．18．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）（1）計(jì)算：；（2）經(jīng)過實(shí)驗(yàn)獲得兩個(gè)變量，的幾組對(duì)應(yīng)值如下表．x123456y6321.51.21請(qǐng)?jiān)趫D中畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象，并求出函數(shù)解析式．

【答案】（1）；（2）圖見解析，【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，反比例函數(shù)解析式：（1）根據(jù)三角函數(shù)，立方根，零指數(shù)冪的方法計(jì)算即可；（2）先根據(jù)表格數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，把，代入，得，即可得出答案．【詳解】解：（1）；（2）函數(shù)圖象如圖，

設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，把，代入，得，函數(shù)的表達(dá)式為．19．（22-23九年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期末）（1）計(jì)算：．（2）解不等式組，并寫出它的正整數(shù)解．【答案】（1）；（2）不等式組的解集是，該不等式組的正整數(shù)解是1，2【分析】（1）根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義以及化簡(jiǎn)二次根式即可得到答案；（2）先分別求出每一個(gè)不等式的解集，得到不等式組的解集，再找出正整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，不等式組的解集是，該不等式組的正整數(shù)解是1，2．20．（22-23九年級(jí)上·河南周口·期末）（1）計(jì)算：（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，二次根式性質(zhì)，算術(shù)平方根定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：（1）；（2），，，，，∴，解得：，．題型三利用三角函數(shù)解非直角三角形21．（22-23九年級(jí)上·河南濮陽(yáng)·期末）某數(shù)學(xué)社團(tuán)開展實(shí)踐性研究，在大明湖南門測(cè)得歷下亭在北偏東37°方向，繼續(xù)向北走105m后到達(dá)游船碼頭，測(cè)得歷下亭在游船碼頭的北編東53°方向．請(qǐng)計(jì)算一下南門與歷下亭之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．225 B．275 C．300 D．315【答案】C【分析】如圖，作于．設(shè)，．構(gòu)建方程組求出，即可解決問題．【詳解】如圖，作于．設(shè)，．在中，，即，在中，，即，解得，，∴（），故選C．22．（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，找出格點(diǎn)，連接，易知是直角三角形，三點(diǎn)共線，然后根據(jù)勾股定理逆定理可判斷是直角三角形，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．本題考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，屬于學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)【詳解】解：如圖，找出格點(diǎn)，連接，易知是直角三角形，∴三點(diǎn)共線，連接，由勾股定理可知：，∴，∴是直角三角形，∴，故選：C．23．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，在菱形中，，，則的值是（

）

A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)、勾股定理表示出各邊長(zhǎng)度，難度一般．設(shè)，則，，，繼而根據(jù)三角函數(shù)定義可得出的值．【詳解】解：由題意得，，設(shè)，則，由勾股定理，得∵四邊形是菱形，∴∴，在中，．故選：B．24．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，沿AE折疊矩形紙片，使點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處．已知，則的值為（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，解直角三角形即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，，故選：C．25．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）如圖，在△中，，,.則邊的長(zhǎng)為.【答案】【分析】過A作AD⊥BC于D點(diǎn)，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題【詳解】過A作AD⊥BC于D點(diǎn)，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.26．（21-22九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，小明同學(xué)在民族廣場(chǎng)處放風(fēng)箏，風(fēng)箏位于處，風(fēng)箏線長(zhǎng)為100m，從處看風(fēng)箏的仰角為30°，小明的父母從處看風(fēng)箏的仰角為50°．求、相距多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果精確到0.1m）【答案】【分析】如圖，過作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，∴，在中，∵，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴．即A、C相距約．27．（19-20九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）小王同學(xué)在地質(zhì)廣場(chǎng)上放風(fēng)箏，如圖風(fēng)箏從處起飛，幾分鐘后便飛達(dá)處，此時(shí)，在延長(zhǎng)線上處的小張同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的位置與風(fēng)箏和廣場(chǎng)邊旗桿的頂點(diǎn)在同一直線上，已知旗桿高為10米，若在處測(cè)得旗桿頂點(diǎn)的仰角為30?，處測(cè)得點(diǎn)的仰角為45?，若在處背向旗桿又測(cè)得風(fēng)箏的仰角為75?，繩子在空中視為一條線段，求繩子為多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】．【分析】利用三角函數(shù)求出,，求出AB的值，過點(diǎn)作于點(diǎn)M,可得，，利用三角函數(shù)可得：，，即可得出AC的值．【詳解】在中，，，∴,又∵在中，,∴，∴（米），過點(diǎn)作于點(diǎn)M，如圖所示，∵，，∴，，∴在中，，∴，，∵，，∴，在中，，∴米．28．（19-20九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）如圖，河流兩岸PQ，MN互相平行，C、D是河岸PQ上間隔50m的兩個(gè)電線桿，某人在河岸MN上的A處測(cè)得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到達(dá)B處，測(cè)得∠CBF＝70°，求河流的寬度（結(jié)果精確到個(gè)位，＝1.73，sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）【答案】河流的寬度CF的值約為37m．【分析】過點(diǎn)C作CE∥AD，交AB于點(diǎn)E，則四邊形AECD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AE、EB及∠CEF的值，通過解直角三角形可得出EF，BF的長(zhǎng)，結(jié)合EF﹣BF＝50m，即可求出CF的長(zhǎng)．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CE∥AD，交AB于點(diǎn)E，∵CD∥AE，CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵CD=50m，AB=100m，∴AE＝CD＝50m，EB＝AB﹣AE＝50m，∠CEF＝∠DAB＝30°．在Rt△ECF中，EF＝＝CF，∵∠CBF=70°，∴在Rt△BCF中，BF＝，∵EF﹣BF＝50m，∴CF﹣＝50，∴CF≈37m．答：河流的寬度CF的值約為37m．29．（18-19九年級(jí)上·河南周口·期末）在一次“數(shù)學(xué)實(shí)踐”活動(dòng)中，小明沿一條南北公路