第三章第06講 章節(jié)復(fù)習(xí)專題：圖形的平移和旋轉(zhuǎn)（6個(gè)知識(shí)點(diǎn)+9大?？碱}型）-北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

④連接關(guān)鍵點(diǎn)，還原圖形.知識(shí)點(diǎn)03旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度的變換.點(diǎn)O叫作旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角度叫作旋轉(zhuǎn)角；圖形上點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)P’，這兩個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn).（2）旋轉(zhuǎn)三要素：=1\*GB3①旋轉(zhuǎn)方向；=2\*GB3②旋轉(zhuǎn)中心；=3\*GB3③旋轉(zhuǎn)角度注：旋轉(zhuǎn)中心可在任意位置.即可在旋轉(zhuǎn)圖形上，也可不在旋轉(zhuǎn)圖形上.（3）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識(shí)點(diǎn)04旋轉(zhuǎn)作圖旋轉(zhuǎn)作圖：在畫旋轉(zhuǎn)圖形時(shí)，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，再將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對(duì)應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.作圖的步驟：（1）連接圖形中的每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；（2）把連線按要求（順時(shí)針或逆時(shí)針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；（3）在角的一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（4）連接所得到的各對(duì)應(yīng)點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)05中心對(duì)稱（1）中心對(duì)稱的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．（2）中心對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，涉及到兩個(gè)圖形，如圖所示，△ABC與△A’B’C’關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱.（3）中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別中心對(duì)稱軸對(duì)稱有一個(gè)對(duì)稱中心有一條對(duì)稱軸圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿對(duì)稱軸翻折旋轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形重合翻折后與另一個(gè)圖形重合聯(lián)系都是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，并且變換前后的兩個(gè)圖形全等（4）中心對(duì)稱的性質(zhì)：中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)變換，具有旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分，成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.（5）確定對(duì)稱中心的方法：1.連接任意一組對(duì)稱點(diǎn)，連線的中點(diǎn)就是對(duì)稱中心；2.連接任意兩組對(duì)稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.（6）中心對(duì)稱作圖1.連接原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心；2.延長(zhǎng)所連接的線段，在延長(zhǎng)線上分別找出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，使對(duì)稱點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離和關(guān)鍵點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離相等；3.將對(duì)稱點(diǎn)按照原圖形的順序依次連接即可得到原圖形關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的圖形.知識(shí)點(diǎn)06中心對(duì)稱圖形（1）中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．（2）中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系：中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形區(qū)別針對(duì)兩個(gè)圖形針對(duì)一個(gè)圖形兩個(gè)圖形位置上的關(guān)系具有某種性質(zhì)的一個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上對(duì)稱中心在兩個(gè)圖形之間對(duì)稱中心在圖形上或圖形內(nèi)部聯(lián)系如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形；如果把中心對(duì)稱圖形對(duì)稱的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又關(guān)于中心對(duì)稱．【考點(diǎn)一生活中的平移及圖形的平移】例題：（23-24七年級(jí)下·云南紅河·期末）“寫堂堂正正中國(guó)字，做堂堂正正中國(guó)人”，中國(guó)的漢字中有些也具有平移現(xiàn)象，下列漢字中可以看成由平移構(gòu)成的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象【分析】本題考查生活中的平移，根據(jù)平移的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得：“朋”可以通過平移得到．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級(jí)下·四川遂寧·期末）下列現(xiàn)象可以看作數(shù)學(xué)中的平移的是（）A．瓶裝飲料在傳送帶上移動(dòng) B．小朋友蕩秋千C．騎自行車時(shí)的輪胎滾動(dòng) D．“神舟”十八號(hào)宇宙飛船繞地球運(yùn)動(dòng)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象【分析】本題考查生活中的平移，根據(jù)平移的定義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、瓶裝飲料在傳送帶上移動(dòng)，是平移，符合題意；B、小朋友蕩秋千不是平移，不符合題意；C、騎自行車時(shí)的輪胎滾動(dòng)不是平移，不符合題意；D、“神舟”十八號(hào)宇宙飛船繞地球運(yùn)動(dòng)不是平移，不符合題意；故選A．2．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·階段練習(xí)）在如圖的四個(gè)汽車標(biāo)志圖案中，能用平移變換來分析其形成過程的圖案是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象【分析】本題考查了圖形的平移，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大?。鶕?jù)圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大?。痦?xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、圖案不能用“基本圖案”平移變換來分析其形成過程，故此選項(xiàng)不符合題意；B、圖案不能用“基本圖案”平移變換來分析其形成過程，故此選項(xiàng)不符合題意；C、圖案不能用“基本圖案”平移變換來分析其形成過程，故此選項(xiàng)不符合題意；D、圖案能用“基本圖案”平移變換來分析其形成過程，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·湖南益陽·期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）A．火箭從點(diǎn)火開始垂直上升 B．小朋友蕩秋千C．凌云塔倒印在洞庭湖湖面上 D．五星紅旗迎風(fēng)飄揚(yáng)【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象【分析】本題考查了平移定義，平移是指圖形的平行移動(dòng)，平移時(shí)圖形中所有點(diǎn)移動(dòng)的方向一致，并且移動(dòng)的距離相等．根據(jù)平移的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析判斷，即可解題．【詳解】解：A、火箭從點(diǎn)火開始垂直上升是平移，符合題意；B、小朋友蕩秋千是旋轉(zhuǎn)，不符合題意；C、凌云塔倒印在洞庭湖湖面上是對(duì)稱，不符合題意；D、五星紅旗迎風(fēng)飄揚(yáng)不是平移，不符合題意；故選：A．【考點(diǎn)二利用平移的性質(zhì)求解】例題：（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，（）沿著射線平移至的位置，若，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題考查平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵平移，∴，∴，∵，∴，∴陰影部分的面積為；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，是由平移得到的，則點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，如果，，，那么，，．【答案】30°/30度【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)“平移前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”解答即可．【詳解】解：是由平移得到的，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、、，∵，，，∴，，，故答案為：、、；；；．2．（2024七年級(jí)上·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，△經(jīng)過一次平移到△的位置，請(qǐng)回答下列問題：（1）點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，，；（2）連接，那么平移的方向就是的方向，平移的距離就是線段的長(zhǎng)度，可量出約為cm；（3）連接、、，與線段相等的線段有．【答案】點(diǎn)到點(diǎn)的方向2、【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解【詳解】本題考查了平移的性質(zhì)，熟記平移性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題，難度不大．（1）根據(jù)平移前后的三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)填寫；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行解答；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相等進(jìn)行解答．【解答】解：（1）觀察圖形可知，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，與是對(duì)應(yīng)角，與是對(duì)應(yīng)邊；故答案為：，，；（2）根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線就是平移的方向，線段的長(zhǎng)度等于平移的距離，故答案為：點(diǎn)到點(diǎn)的方向，，2；（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都等于平移的距離，相等，故答案為：、．3．（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）已知在直角三角形中，，將此直角三角形沿射線方向平移，到達(dá)直角三角形的位置（如圖所示），其中點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，此時(shí)邊與邊相交于點(diǎn)D，如果，，那么四邊形的面積．【答案】72【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解【分析】此題主要考查了圖形的平移，根據(jù)平移的性質(zhì)和點(diǎn)是的中點(diǎn)求出，，再由求出，利用即可求出四邊形的面積．熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∵，∴，∴四邊形的面積，故答案為：．4．（23-24七年級(jí)下·遼寧盤錦·期末）如圖，將直角三角形沿斜邊的方向平移到三角形的位置，交于點(diǎn)G，，三角形的面積為4，下列結(jié)論：①；②；③三角形平移的距離是4；④；⑤四邊形的面積與四邊形的面積的和為40．其中正確的結(jié)論是．【答案】①②④⑤【知識(shí)點(diǎn)】利用平移的性質(zhì)求解【分析】本題考查三角形的面積，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考常考題型．利用平移變換的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：直角三角形沿斜邊的方向平移到三角形的位置，，，，，，故①正確，由平移的性質(zhì)可得，，故②正確，平移的距離是線段的長(zhǎng)，，平移的距離大于4，故③錯(cuò)誤，，，，，，故④正確，四邊形的面積，由平移的性質(zhì)可得四邊形的面積與四邊形的面積相等，四邊形的面積與四邊形的面積的和為40．故⑤正確，故答案為：①②④⑤【考點(diǎn)三點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的平移】例題：（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）把點(diǎn)先向左平移5個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)【分析】本題考查點(diǎn)的平移規(guī)律；用到的知識(shí)點(diǎn)為：點(diǎn)的平移，左右平移只改變點(diǎn)的橫坐標(biāo)，左減右加；上下平移只改變點(diǎn)的縱坐標(biāo)，上加下減．讓點(diǎn)的橫坐標(biāo)減5，縱坐標(biāo)加4即可得到平移后點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：將點(diǎn)向左平移5個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）點(diǎn)A向下平移2個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位到點(diǎn)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)【分析】本題考查了平移與坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)平移可得，結(jié)合題意即可求解．【詳解】解：設(shè)，根據(jù)平移可得，∵，∴，∴，∴，故答案為：．2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得到線段．若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形、由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移規(guī)律與圖形的平移，關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律，左右移，縱不變，橫減加，上下移，橫不變，縱加減．根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合已知點(diǎn)，的坐標(biāo)，知點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上了1，縱坐標(biāo)加1，則的坐標(biāo)的變化規(guī)律與點(diǎn)相同，即可得到答案．【詳解】解：平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)加上了4，縱坐標(biāo)加1，，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故答案為：．3．（23-24七年級(jí)下·四川廣安·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將三角形平移至三角形，點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)平移后得到三角形內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知圖形的平移，求點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變換，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的變化得出平移的方向和距離，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】∵點(diǎn)是三角形內(nèi)一點(diǎn)，經(jīng)平移后得到三角形內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)設(shè)解得，故答案為：．4．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將沿x軸向右平移后得到，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值、已知圖形的平移，求點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，結(jié)合平移的性質(zhì)，即可得出點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為12.∵沿x軸向右平移后得到，∴點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離為12．故答案為：12．【考點(diǎn)四中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】例題：（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）下列圖案是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）下列圖案不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的識(shí)別．在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．這個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對(duì)稱點(diǎn)．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、C均能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能不找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以不是中心對(duì)稱圖形，故選：D．2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）（新素材）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史．下列由黑白棋子擺成的圖案是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．是中心對(duì)稱圖形，故A符合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；C．不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；D．不是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意．故選：A．3．（24-25九年級(jí)上·黑龍江大慶·期末）在年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)體育代表隊(duì)獲得40金、銀和銅共枚獎(jiǎng)牌，創(chuàng)造了中國(guó)參加境外奧運(yùn)會(huì)的最佳戰(zhàn)績(jī)．以下是巴黎奧運(yùn)會(huì)部分項(xiàng)目的圖標(biāo)，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查了中心對(duì)稱和軸對(duì)稱，中心對(duì)稱是指把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，根據(jù)定義作答即可【詳解】A、該圖形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不符合要求；B、該圖形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不符合要求；C、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合要求；D、該圖形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形，不符合要求；故選：C．【考點(diǎn)五求關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)】例題：（24-25九年級(jí)上·北京密云·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】此題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)即可求解．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·山東臨沂·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的值是．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中的中心對(duì)稱變換，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴．故答案為：1．2．（24-25九年級(jí)上·云南昆明·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得、的值，進(jìn)而可得答案．解題的關(guān)鍵是掌握：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．也考查了求代數(shù)式的值．【詳解】解：∵點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，，∴，∴的值為．故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為．則.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、求關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，代數(shù)式求值，掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到，，再代入計(jì)算乘方即可．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，故答案為：1．【考點(diǎn)六旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角】例題：（24-25九年級(jí)上·湖北·階段練習(xí)）如圖，在正三角形網(wǎng)格中，將繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，則下列四個(gè)點(diǎn)中能作為旋轉(zhuǎn)中心的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)中心，熟練掌握旋轉(zhuǎn)中心的定義，學(xué)會(huì)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線找出旋轉(zhuǎn)中心是解題的關(guān)鍵．連接、，分別作和的垂直平分線，則交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：將繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，則與為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則與為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接、，分別作和的垂直平分線，如圖所示交于點(diǎn)C，故點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，已知點(diǎn)，，，，連接，，將線段繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段重合（點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合），則這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，畫出平面直角坐標(biāo)系，作出新的，的垂直平分線的交點(diǎn)P，點(diǎn)P即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心是P點(diǎn)，，故選：D．2．（23-24八年級(jí)下·陜西榆林·期中）如圖，是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，，，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)【分析】本題主要考查了求旋轉(zhuǎn)角，三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再結(jié)合圖形可知，旋轉(zhuǎn)角即為的度數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是，故選：A．3．（23-24九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，且點(diǎn)D落在邊上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A．旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C B．C． D．點(diǎn)D是中點(diǎn)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明線段或角相等【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到的，且點(diǎn)D落在邊上，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)C，，，點(diǎn)D不一定的中點(diǎn)，∴A、B、C結(jié)論正確．故選：D．4．（22-23九年級(jí)上·廣東汕頭·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的位置，且，將其繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是，旋轉(zhuǎn)角是度.

【答案】90【知識(shí)點(diǎn)】找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對(duì)應(yīng)點(diǎn)、求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解．【詳解】解：如圖，點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，

故答案為：，90．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，解答的關(guān)鍵是熟知對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【考點(diǎn)七求某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)】例題：（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖，可證，可得，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵，∴，∵點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，∴，，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)可得，軸垂直于軸，∴，∴，且，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24九年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，以點(diǎn)B為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∵軸，，，在和中，，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．2．（22-23九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，若軸，，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】作軸于，由，，得出，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，則，最后通過勾股定理求出即可．【詳解】如圖，作軸于，

∵，∴∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和．月牙①繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到月牙②，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求繞某點(diǎn)（非原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】由旋轉(zhuǎn)得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，,即可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【詳解】連接，∵月牙①繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到月牙②，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(?4，0)和(4，0)，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是關(guān)鍵．【考點(diǎn)八平面直角坐標(biāo)系中平移和旋轉(zhuǎn)作圖】例題：（24-25九年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．

(1)畫出；(2)畫出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；(3)畫出繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)系中描點(diǎn)、畫旋轉(zhuǎn)圖形、按圖形的變換要求畫出另一個(gè)圖形【分析】本題考查了坐標(biāo)系中的作圖——旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，畫出即可；（2）依據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，即可畫出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可畫出繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；

（2）如圖，即為所求；（3）如圖，即為所求．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，B?2,1，．(1)的面積是______；(2)若經(jīng)過平移后得到，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(3)將繞著點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)3(2)(3)圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為【知識(shí)點(diǎn)】已知圖形的平移，求點(diǎn)的坐標(biāo)、畫旋轉(zhuǎn)圖形、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換和平移，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（1）依據(jù)三角形面積計(jì)算公式利用割補(bǔ)法即可得出的面積；（2）依據(jù)平移的規(guī)律，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，即可得出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：的面積是，故答案為：3；（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)經(jīng)過平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)經(jīng)過平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為的坐標(biāo)為，故答案為：；（3）解：如圖所示：點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（24-25九年級(jí)上·遼寧鞍山·期中）如圖，是經(jīng)過平移后得到的圖形．（其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是）(1)分別觀察點(diǎn)A和點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)，點(diǎn)C和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系．若內(nèi)任意一點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)E經(jīng)過這種平移后得到點(diǎn)F，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)，，分別是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，請(qǐng)畫出，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：．【答案】(1)(2)見解析，【知識(shí)點(diǎn)】平移(作圖)、由平移方式確定點(diǎn)的坐標(biāo)、畫旋轉(zhuǎn)圖形、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的變化，掌握?qǐng)D形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)進(jìn)行求解；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，根據(jù)坐標(biāo)與圖形的特點(diǎn)寫出的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：觀察圖形的變化發(fā)現(xiàn)：平移后的三角形的三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)加，縱坐標(biāo)不變，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：，故答案為：；（2）解：如圖，即為所求；點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．3．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．(1)將沿y軸向下平移4個(gè)單位得到，畫出；(2)將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，畫出；(3)可由繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】平移(作圖)、畫旋轉(zhuǎn)圖形、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律，確定變換后的坐標(biāo)，畫圖即可．（2）根據(jù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的要求求出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，畫圖即可．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心是對(duì)應(yīng)線段垂直平分線的交點(diǎn)，解答即可．本題考查了坐標(biāo)的平移，旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相應(yīng)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，向下平移4個(gè)單位后，得到新坐標(biāo)為，畫圖如下：則即為所求．（2）解：根據(jù)題意，得，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，新坐標(biāo)分別為．畫圖如下：則即為所求．（3）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)作圖，得繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故答案為：．4．（24-25九年級(jí)上·天津北辰·期中）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為個(gè)單位的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)畫出關(guān)于軸對(duì)稱的；(2)畫出將繞原點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的；(3)與成中心對(duì)稱圖形嗎？若成中心對(duì)稱圖形，寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)與是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為．【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱、求繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo)【分析】本題主要考查作軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱和作旋轉(zhuǎn)圖形，掌握關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)和對(duì)稱中心的求法是解題的關(guān)鍵．作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)還是點(diǎn)，連接、、，即可得所要求的三角形；分別畫出點(diǎn)、、繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)、、，連接點(diǎn)、、，得到即為所求；把和的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是對(duì)稱中心，從圖中寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如下圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)還是點(diǎn)，連接點(diǎn)、、，得到即為所求；（2）解：如下圖所示，分別畫出點(diǎn)、、繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)、、，連接點(diǎn)、、，得到即為所求；（3）解：由圖可知，與是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為．【考點(diǎn)九旋轉(zhuǎn)的綜合問題】例題：（2024·云南昆明·一模）如圖，在等腰直角中，點(diǎn)D在上，將繞頂點(diǎn)B沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到(1)求的度數(shù)；(2)若求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)90°(2)【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，本題中利用全等三角形得出線段和角相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得到，計(jì)算即可；（2）由（1）知，，得到，，利用勾股定理求出，再證明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：是由旋轉(zhuǎn)得到的，為等腰直角三角形，∴，，，；（2）解：∵，由（1）知，，∴，，，在中，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴（負(fù)值舍去）．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）在等邊中，將扇形按圖1擺放，使扇形的半徑，分別與，重合，，，固定等邊不動(dòng)，讓扇形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（即圖2旋轉(zhuǎn)方式），線段，也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度；（2）線段與的數(shù)量關(guān)系是；應(yīng)用：（3）當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）60或240；（2），理由見解析；（3）或【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質(zhì)、用勾股定理解三角形、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、圖形的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．（1）如圖（見解析），分和兩種情況，根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)求解即可得；（2）分四種情況：，，和，利用三角形全等的判定與性質(zhì)、線段和差即可得出答案；（3）分兩種情況，如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求出和的長(zhǎng)，再根據(jù)線段和差求解即可得．【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，∴，，如圖1所示：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即旋轉(zhuǎn)角為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即旋轉(zhuǎn)角為；綜上所述，為60度或240度，答案為：60或240．（2），理由如下：如圖2，當(dāng)時(shí)，由題意可得：，，，在和中，，∴，∴；如圖3，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴；如圖4，當(dāng)時(shí)，由題意可得：，，，在和中，，∴，∴；如圖5，當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴；綜上，，故答案為：．（3）①如圖6中，當(dāng)共線時(shí)，作于．∵，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴，∴；②如圖7中，當(dāng)共線時(shí)，作于，同理可得：，∴，綜上所述，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為或．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）已知：點(diǎn)D為等邊內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．(1)如圖1，連接、．求證：；(2)如圖2，連接，若B、D、E三點(diǎn)共線，求的度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)D在的高上運(yùn)動(dòng)，連接，若，則的最小值為________．(4)如圖4，若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)2(4)【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【分析】（1）根據(jù)題意得，再證明，即可得結(jié)論；（2）由（1）知，可得，，即可求出；（3）連接，證得，從而得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)垂直于該直線時(shí)，最小進(jìn)而求得最小值．（4）將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，由得得到是等邊三角形，由，得到，即可求出；本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找