高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練-立體幾何解答題(文科)

高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何解答題（文科）（一）

1.（本題滿分12分）

如圖，三棱錐力一即7中，APLPC,AC上BC,，"為4?中點(diǎn)，〃為陽中點(diǎn)，且監(jiān)為正

三角形.

（I）求證：例〃/平面APC；

（H）求證：平面/1%1平面APC；

（III）若陷4,月廬20,求三極錐比洶的體積.

2.如圖1,在四棱錐P—A8CD中，尸A_L底面48CQ,面A8CD為正方形，E為

側(cè)棱尸。上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn).該四棱錐的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖2

（I）求四面體PBbC的體積；

（II）證明：AE〃平面PFC；

（III）證明：平面PFC_L平面PCD.

3.如圖，四棱柱P—ABC。中，43，平面24。./48〃。￡),n)=4。,尸是。。上

的點(diǎn)且DF=-AB,PH為SPAD中AD邊上的高.

2

(I)求證：A8//平面PDC；

(II)求證：PHIBCx

(III)線段PB上是否存在點(diǎn)E,使防_L平面Q48?說明理由.

4.在四楂錐丫一488中，底面A8CD是正方形，側(cè)面例。是正三角形，平面L4O_L

底面A5CO.

(I)如果P為線段VC的中點(diǎn)，求證：MV/平面尸8Q：

(II)如果正方形438的邊長(zhǎng)為2,求三棱錐A—V6O的體積.

5.如圖，在四棱錐P-且BCD中，底面月3c0為菱形，ZS-W=60!,。為?山的

中點(diǎn)。

(1)若PH=PD,求證：平面尸3一平面上紅)；

(2)點(diǎn)1］在線段PC上，PM=rPC,試確定上的值，使尸且,平面

6.如圖，已知三棱錐A-5PC中，APIPC,ACIBC,M為A8中點(diǎn)，D為PB

中點(diǎn)，且APM8為正三角形。

(I)求證：0M〃平面APC；

(II)求證：平面ABC_L平面APC；

(III)若3c=4,A8=20,求三棱錐。一8。0的體積.

7.如圖，E是矩形A8C中AO邊上的點(diǎn)，尸為CO邊的中點(diǎn)，

AB=A避49,現(xiàn)將AA跳:沿BE邊折至步區(qū)七位置，且平面尸平面

3

BCDE.

⑴求證：平面P8E_L平面陽'；

(2)求四棱錐o一班戶C的體積.

8.如圖，平面四邊形ABCO的4個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，AB為球0的直徑，P為

球面上一點(diǎn)，且POJ_平面A5CO,30=8=04=2,點(diǎn)〃為B4的中點(diǎn).

(1)證明：平面P8C〃平面ODM；

(2)求點(diǎn)A到平面P3C的距離.

9.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為〃的正方形E,F分別為PC,BI)的

中點(diǎn)，側(cè)面PAD_L底面ABCD,且PA=PD=在AD.

2

(I)求證：EF〃平面PAD；

(II)求三棱錐C—PBD的體積.

10.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，平面皿＞_L平面ABC。，zLABC=ZBCD=90,

PA=PD=DC=CB=a,AB=2a,E是PB中點(diǎn),”是A。中點(diǎn).

(I)求證：EC〃平面APQ：

(II)求三棱錐E—BCD的體積.

11.如圖，在三棱錐S—A5C中，側(cè)面SA3與側(cè)面SAC均為等邊三角形,

NB4C=90°,。為BC中點(diǎn).

（I）證明：SO_L平面ABC；

（II）求異面直線BS與AC所成角的大小.

12.（本題滿分12分）

如圖，已知力反L平面4微DE/iAB,是正三角形，AD=DE=2AB,且尸是必

的中點(diǎn).

C

（I）求證小〃平面BCE；

（II）設(shè)49=1,求多面體力比況'的體積.

13.在四棱錐尸一力靦中，NABC=NAg90°,/為C=NOP=60。，*_L平面力86〃

E為陽的中點(diǎn)，PA=2Aff=2.

(I)求四棱錐產(chǎn)一力時(shí)的體積匕

(II)若產(chǎn)為先的中點(diǎn)，求證尸C_L平面4F；

14..(本小題滿分12分)

如圖，四楂錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為。的正方形E,F分別為PC,BD的中

點(diǎn)，側(cè)面PADJL底面ABCD,jaPA=PD=—AD.

2

(I)求證：EF〃平面PAD；

(n)求三棱錐C-PBD的體積.

AB

15.右圖為一組合體，其底面A3CD為正方形，PD_L平面ABC。，ECHPD,且

PD=AD=2EC=2

(I)求證：BE〃平面PDA；

(II)求四棱錐CEPD的體積;

(III)求該組合體的表面積.

16.四棱錐S-A5CD中，底面48co為平行四邊形，側(cè)面SBC_L底面ABC。，E為

SD的中點(diǎn)，已知/ABC=45,AB=2,BC=2五,SB=SC=&

(I)求證：SA1BC；

(II)在3c上求一點(diǎn)尸，使EC〃平面S4尸;

(III)求三棱錐。一￡4。的體積.

17.(本小題滿分12分)在三棱柱A3C-AqG中，底面是邊長(zhǎng)為2代的正三角形,

點(diǎn)4在底面A3C上的射影。恰是8c中點(diǎn).

(I)求證：AA.1BC；

(II)當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45角時(shí)，求匕*型《

An

(III)若。為側(cè)棱A4上一點(diǎn)，當(dāng)言為何值時(shí)，30"LAG.

18.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA=PD,底面ABCD是菱形，ZA=

60"，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn).

(I)求證：BE_L平面PAD；

(II)求證:EF〃平面PAB；

19.在兒何體ABC。石中，N8AC=M,OC_L平面ABC,EB_L平面ABC,

2

AB=AC=BE=2,CD=l.

(1)設(shè)平面ABE與平面ACQ的交線為直線/,求證：/〃平面BCDE；

(2)設(shè)產(chǎn)是8c的中點(diǎn)，求證：平面A/7XL平面

(3)求兒何體ABCDE的體積.

20.在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面ABCD,PA=PD,底面ABCD是菱形，ZA=

60°,E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn).

(I)求證：BE_L平面PAD；

(H)求證：EF〃平面PAB：

21.

(本小題滿分12分)如圖，己知ABJ_平面AC。，OE_L平面ACO,A4CD為等

邊三角形，AD=DE=2AB,尸為CD中點(diǎn).

(1)求證：A尸〃平面5C￡；

(2)求證：平面〃CE_L平面CDE；

(3)求直線3/與平面3CE所成角的正弦值.

22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZBCD=60。，E是CD中

點(diǎn)，

PA_L底面ABCD,PA=J5

(1)證明：平面PBE_L平面PAB

(2)求二面角A—BE—P的大小。

23.(本小題滿分12分)如圖，已知三棱錐P—ABC,NAC8=90°,

CB=4,AB=20,D為AB中點(diǎn),M為PB中點(diǎn)，且"7)8是正三角形，尸A_LPC.

(1)求證：平面P4C_L平面A3C；

(2)求三棱錐M—BCO的體積.

24.(本小題滿分12分)

在正四棱錐V-ABCD中，P,Q分別為棱VB,VD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊BC上，且BM:BC

=1：3,AB=26，VA=6.

(I)求證CQ〃平面PAN;

(ID求證：CQ1AP.

25.((本小題滿分12分)

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,

PB=2有，PD=4V2,E是PD的中點(diǎn)

(1)求證：AEJ_平面PCD；

(2)若F是線段BC的中點(diǎn)，求三棱錐F-ACE的體積。

26.如圖，在長(zhǎng)方體A8C。中，AB=a,AD=b,AA{=ct“是線

段瓦。的中點(diǎn).

(I)求證：BM〃平面'AC；

(II)求平面QAC把長(zhǎng)方體-A8CO分成的兩部分的體積比.

AB

27.如圖，四邊形4BCD是正方形，PD//MA,MA1AD,月0_1平面。。亂，

MA=AD=-PD=l

2

(I)求證：平面45CD_L平面AMPO：

(H)求三棱錐A—CMP的高

C

B

DP

AM

28.如圖，在正四棱錐P—A8CD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA=而，E為

3c的中點(diǎn)，尸是側(cè)棱尸。上的一動(dòng)點(diǎn)。

(1)證明：ACA-BF.

(2)當(dāng)直線尸E〃平面4。/時(shí)，求三棱錐尸—ACD的體積.

29.(本題滿分12分)如圖，AC是圓。的直徑，點(diǎn)8在圓。上，ZBAC=30°,

14c交4c于點(diǎn)M,EA_L平面ABC,"C7/E4,AC=4,EA=3,FC=\,

(1)證明：EM工BF；

(2)求平面5石廠與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

30.如圖所示的幾何體中，矩形A8CO和矩形A3EF所在平面互相垂直,

AF=2AB=2AD,M為A尸的中點(diǎn)，BN±CE.

(I)求證：CF〃平面MBO；

(II)求證：aJ?平面BEW。

DC

31.（本小題滿分12分）下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖.

（1）若尸為PO的中點(diǎn)，求證：AF_L面PCD：

（2）求A到面PEC的距離;

32.

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱須，-481G的底面a5。位于平行四邊形為CDE

中，為￡=2,/。=44]=4,/￡=60。點(diǎn)8為加中點(diǎn).

（1）求證:平面ABCJL平面AABBI.

（2）求4c與平面4n所成的角的正弦值.

33.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐尸-ABCO中，〃。_1_底面A8CO

底面A3CD為正方形，PD=DC,E,尸分別是A3

P3的中點(diǎn).

(1)求證：EF1CD,(2)設(shè)PD=AD二a,求三棱錐B-EFC的體積.

34.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，A。=P4=2,C。=2四,E、F分別是AB、

PD的中點(diǎn).

(I)求證：AF〃平面PCE；

(II)求證：平面PCE_L平面PCD；

(III)求四面體PEFC的體積.

35.如圖，Q4垂直于矩形ABCZ)所在的平面，9瓦/分別是的中

點(diǎn).

(I)求證：〃平面PCE；

(II)求證：平面尸CE_L平面PCQ

36.(本小題共12分)如圖所示，矩形ABCD中，ADJ_平面ABE,AE=EB=BC=2,

F為CE上的點(diǎn)，且BF_L平面ACE

(1)求證：AE_L平面BCE；

(2)求證：AE〃平面BFD；

37.(本小題共12分)如圖，已知A8J_平面ACO,DE//AB,MCD是正三角形,

A￡)=OE=2A8,且尸是。的中點(diǎn)

(1)求證：人尸〃平面5CE；

(2)求證：平面BCE_L平面CQE.

38.如圖所示,矩形ABCD中，AD_L平面ABE,AE=EB=BC=2,

F為CE上的點(diǎn)，且BF_L平面ACE

(1)求證：AE_L平面BCE；

(2)求證：AE〃平面BFD：

39.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD_L平面ABC。，PD=DC=BC=2,

AB=2DC,AB//DC,/BCD=90°.

(I)求證：PCtBC；

(11)求多面體4一依。的體積.

40.在正方體A3C0-AB|GA中，D是AC的中點(diǎn)，E是線段D1。上一點(diǎn)，且

DtE=AED

(1)若4=1,求異面直線DE與C%所成角的余弦值;

(2)若面CDE1面CD］。,求2的值

41.已知四棱錐尸—ABCO的底面是菱形.PB=PD,E為PA的中點(diǎn).

(1)求證：PC〃平面3OE；

(2)求證：平面?AC_L平面塊龍:.

42.如圖，在直三棱柱(即側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABC-AgG中，

ZACB=902AC=AA,=BC=2t。為AA,的中點(diǎn).

（I）求證：平面與c。，平面4G。；

（II）求G到平面BC。的距離.

43.（本小題12分）如圖所示，三棱柱AiBiCi-ABC的三視圖中，正（主）視圖和側(cè)（左）

視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點(diǎn)M是A】B】的中點(diǎn).

⑴求證：BiC〃平面AJM；

（2）求證：平面AJM_L平面AAiBiB.

44.（本小題滿分12分）

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底而ABCD是功長(zhǎng)為1的菱形,/BCD=60,E是CD的中點(diǎn),

PA_L底面ABCD,PA=2.

p

（1）證明：平面PBE_L平面PAB；

（2）求PC與平面PAB所成角的余弦值。

45.12分）

如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，PD^?底面ABCD：PD=AD

（I）求證：平面PAC，平面PBD

（n）求PC與平面PBD所成角

46.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，_L平面ABC。，M為PC中

點(diǎn).

(1)求證：AP〃平面MB。；

(2)若求證：8Z)J_平面HAO.

47.如圖，四棱錐尸一A3C。的底面為矩形，AB=應(yīng),BC=1,E,尸分別是A氏尸C

的中點(diǎn)，DE.LPA.

(I)求證：EF平面PAO；

(II)求證：平面尸AC_L平面PDE.

48.如圖，在四棱錐P—A8CO中，側(cè)棱PAJJ氐面A6CD,底面A6c。為矩形，E

為PD上一點(diǎn),AD=2AB=2AP=2,PE=2DE.

D

(I)若F為PE的中點(diǎn)、,求證BF平面ACE；

(II)求三棱錐P—ACE的體積.

49.(本小題滿分14分)

如圖，斜三棱柱A4G-A8C中，側(cè)面A41cC_L底面ABC,側(cè)面A4,CC是菱形，

4AC=60,E、尸分別是AG、?!夕的中點(diǎn).

求證：(1)EF〃平面BB℃；

(2)平面呼_L平面ABC.

50.如圖，在四棱錐尸―A3CD中，底面A3CZ)為菱形，其中Q4=P￡>=A￡>=2,

(1)求證：AO_L平面尸QB；

(2)若平面皿>JL平面ABCD,且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐M—ABC。的體積.

高三數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：立體幾何解答題(文科)參

考答案

1.解：(I)???M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn),

B

AMD//AP,又，MD（z平面ABC

???DM〃平面APC.........3分

II）???△PMB為正三角形，且D為PB中點(diǎn)。

AMD1PB

又由（I）???知MD〃AP,AAP1PB

又已知AP±PC，AP_L平面PBC,

AAP1BC,XVAC1BC

???BCJ_平面APC,?,?平面ABC_L平面PAC..........8分

（III）VAB=20

AMB=10APB=10

又BC=4,PC=V100-16=V§4=2721.

/.=-S"BC=-PCBC=-x4x2V21=2V21.

2Ai44

又MD=JAP=！7202-IO2=5百.

22

???VIX-BC?=VM-BCD=~SMDC?DM=§x2J21x5^3=1OA/7............12分

【解析】略

2

2.(I)-；(II)詳見解析；(III)詳見解析.

3

【解析】

試題分析：(I)根據(jù)三視圖等條件，求出棱錐底面積和高，可求體積；(II)在面PFC內(nèi)找

一直線平行AE即可證明AE〃平面尸產(chǎn)C；(III)證平面PR7_L平面尸CD只需證明平面

PFC過平面PCQ的一條垂線即可.

試題解析：(I)解：由左視圖可得尸為AB的中點(diǎn)，

所以△BFC的面積為S=-l-2=l1分

2

因?yàn)槭珹_L平面ABCD,2分

所以四面體P?77。的體枳為

3分

4分

（H）證明：取PC中點(diǎn)。，連結(jié)E。，F(xiàn)Q.

由正（主）視圖可得E為PD的中點(diǎn),所以EQ〃CD,EQ=-CD.6分

又因?yàn)锳/〃CO,AF=^CD,所以A歹〃￡。，AF=EQ.

所以四邊形4尸。后為平行四邊形，所以AE〃/Q.8分

因?yàn)锳EU平面PFC,尸Qu平面尸F(xiàn)C,

所以直線AE〃平面PR7.9分

（III）證明：因?yàn)镻A_L平面48CD,所以PAVCD.

因?yàn)槊鍭BCO為正方形，所以ADLCD.

所以CDJ_平面PAD.11分

因?yàn)锳Eu平面PAO,所以CD1AE.

因?yàn)镻A=AD,E為P。中點(diǎn)，所以AE1PD.

所以AE_L平面PCD.12分

因?yàn)锳E//FQ,所以尸QJ_平面PCD.13分

因?yàn)槭琎u平面PR7,所以平面尸產(chǎn)CJ_平面PCD14分

考點(diǎn)：棱錐體積公式，線面平行，面面垂直.

3.（I）詳見解析；（II）詳見解析；（III）詳見解析

【解析】

試題分析：（I）利用AB〃CO結(jié)合直線與平面平行的判定定理證明即可；（II）利用已知

條件先證明平面A8CQ,進(jìn)而得到PH_L8C；（HD取Q4的中點(diǎn)G,連接OG,

可以先證DGJ?平面A48,再利用平行四邊形平移法證明四邊形。GM為平行四邊形，

由EF//DG,進(jìn)而得到EF_L平面FAN,從而確定點(diǎn)E的位置.

試題解析：(I)證明：AB//CD,且平面PCD,CDu平面PCD,所以平

面PDC

2分

(II)證明：因?yàn)锳B_L平面PAD,且PHu平面PAD,所以ABJ.7W

又PH為中AD邊上的高，所以

又ADAB=A所以平面A5CD

而BCu平面ABCD所以尸"_LBC.7分

(III)解：線段尸5上存在點(diǎn)E,使E/平面E45

理由如下：如圖，分別取“、PB的中點(diǎn)G、E

則GE//—A3

=2

由DF//LAB

=2

所以GE[DF,

所以GOEF為平行四邊形，板EF//GD

因?yàn)锳B_L平面PAD,所以A3_LGD

因此，EF±AB

因?yàn)镚為R4的中點(diǎn)，且尸D=AZ>,所以GDJ_R4,因此E產(chǎn)J_R4

又PAAB=A,所以E/_L平面。43

14分

考點(diǎn)：直線與平面平行、直線與平面垂直

2G

4.(I)見解析；(II)—.

3

【解析】

試題分析：(I)連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)0,連結(jié)0P,證明0P〃VA,易得幺〃平面PBD.(II)

在面VAD內(nèi)，過點(diǎn)V作VH_LAD,可得VH為三棱錐的高，由體積公式易得三棱錐的體積.

試題解析：(I)連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)0,連結(jié)0P,因?yàn)锳BCD是正方形，所以0A=0C,又因

為PV=PC

所以O(shè)P〃VA,又因?yàn)镻Ou面PBD,所以“4〃平面PBD.6分

(II)在面VAD內(nèi)，過點(diǎn)V作VH_LAD,因?yàn)槠矫娴酌鍭BCZ).所以VH_Llff4BC￡)

所以匕一加=%..=/即加河x22x爭(zhēng)2=半.12分

考點(diǎn)：1、面面垂直的性質(zhì)；2、線面平行的判定定理；3、三棱錐的體積公式.

5.(1)證明詳見解析；(2)-

3

【解析】

試題分析：(1)由己知條件可證AD_LBQ,AD_LPQ,根據(jù)平面與平面垂直的判定定理即可求證

平面PQB_L平面PAD.

(2)連結(jié)AC交BQ于N,由AQ/7BC,可證△ANQs^BNC,即得絲=4凹=J,,由直線與平面

BCNC2

PMAN111

平行的性質(zhì)，可證PA〃MN,即得一=——=-,所以PM二一PC,即t二一.

PCAC333

試題解析：(1)連BD,四邊形ABCD菱形，VAD±AB,NBAD=60°

△ABD為正三角形，Q為AD中點(diǎn)，???AD_LBQ

???PA=PD,Q為AD的中點(diǎn),ADJ_PQ

又BQnPQ=Q:.AD_L平面PQB,ADu平面PAD

???平面PQB_L平面PAD;

(2)當(dāng)Z時(shí)，PA〃平面

下面證明，若尸A//平面MQ8,連AC交6。于N

由AQ〃8C可得，MNQs\BNC,攀=黑=三

PA〃平面MQB,QAu平面P4C,平面PAC平面MQB=MN,PA〃MN

器4H即:…￡

3

考點(diǎn)：1.平面與平面垂直的判定；2.直線與平面平行的性質(zhì)及直線與直線平行的性質(zhì).

6.(I)、(II)詳見解析(III)1077.

【解析】

試題分析：(I)利用中位線性質(zhì)得到線線平行，根據(jù)線面平行的判定判定直線與平面平行;

(II)利用正三角形中點(diǎn)得到線線垂直，根據(jù)平行推得線線垂直，利月直線與平面垂直判定

面面垂直；(IH)利用三棱錐的體積公式計(jì)算體積.

試題解析：(I)???M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，

/.MD//AP,又，MD(Z平面ABC

?，?DM〃平面APC.3分

(II)???△PMB為正三角形,且D為PB中點(diǎn).???MD_LPB.

又由(1).??知MD//AP,AAP1PB.

又已知APIPC，APJ_平面PBC,

，AP_LBC,XVAC1BC.7分

，BC_L平面APC,，平面ABC_L平面PAC,

(III)AB=20

/.MB=10APB=10

又BC=4,PC=V100-16=^4=2721

ASMBC=-=-PCBC=-x4x2V2I=2V2T.

cVlOV2OV41

又MD=4AP=—12()2—1()2=5瓜

22

VD-BCM=VM-BCD=—SMBC-DM=-x2>/2Tx5\/3=10>/7.12分

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定，三棱錐體積計(jì)算.

7.(1)詳見解析；(2)28^/^*

3-

【解析】

試題分析：(1)利用折疊前幾何圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)EF_LBE,然后借助面面垂直的性質(zhì)定理

證明EFJL平面PBE,進(jìn)而利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；(2)首先求出底面BEFC的面

積，然后確定高為三角形PBE的高，最后利用體積公式求解.

ED=DF

ADEr中尸=45。

試題解析：(1)證明：由題可知，EDJ.DFJ>=EFLBE（3

AE=AB]

?，=N4E5=45。

AE1AB

分）

平面ABE_L平面8cOE

平面ABE平面8c￡>E=8EnM_L平面P8E位門八八…

『=>平面尸5E1平面PM（6分）

EF1BE

￡/u平面PM

⑵SBEFC=SA88-SABE一S°EF=6X4-gx4x4-gx2x2=14,則

V=-SBEFCh=-x\4x2>/2=^^.（12分）

333

考點(diǎn)：1.線面、面面的垂直關(guān)系;2.空間幾何體體積.

8.⑴詳見解析；⑵母

【解析】

試題分析：本小題通過立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平

行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等有關(guān)知識(shí)，考查考生的空間想象能力、推理論證能力，對(duì)

學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的考查也有涉及，本題是一道立體幾何部分的綜合題，屬于中檔難度試

題.（1）借助幾何體的性質(zhì)，得到3C7/QD,借助線面平行的判定定理得到線面平行，進(jìn)

而利用面面平行的判定定理證明平面尸8C〃平面QDM；（2）利用等體積求解幾何體的高,

即為點(diǎn)A到平面尸5C的距離.

試題解析:⑴證明:北贊曾

r=>3C=CO=￡>4=2且CD,

則CO平行旦等于80,即四邊形OBCD為平行四邊形，所以BC//OD.

AO=BO

\，0MIIPB0￡>〃平面PBC

AM=PM?=>?=>平面OOM//平面PBC

OM//平面26c

BC//OD

（6分）

（2）由圖可知/=L-P8C，即』X'X2X25/5X2=1XLX2X>/7X〃

3232

則人=生旦，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為勺包.

（12分）

77

考點(diǎn)：（1）平行關(guān)系；（2）點(diǎn)面距.

9.（1）對(duì)于線面平行的證明，主要是根據(jù)線面平行的判定定理，根據(jù)EF〃PA,來得到證明。

⑵VJPBD=Vp_Ba）=§^ABCD'~

【解析】

試題分析；解；（I）證明；連接AC,則F是AC的中點(diǎn)，

E為PC的中點(diǎn)，故在ACPA中,EF//PA,

且PAu平面PAD,EF<Z平面PAD,??.EF〃平面PAD

（H）取AD的中點(diǎn)M,連接PM,?.,PA=PD,APM1AD,又平面PAD,平面ABCD,

平面PADn平面ABCD=AD,/.PM_L平面ABCD.

在直角APAM中，求得PM=；〃，???％_依0=/58=；528小卜仁得

考點(diǎn)：空間中線面平行，錐體的體積

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)線面平行的判定定理來得到證明，同事能結(jié)合等體積法來求解幾何

體的體積，是常用的轉(zhuǎn)換方法，屬于基礎(chǔ)題。

10.（1）根據(jù)線面平行的判定定理來得到證明，關(guān)鍵是證明CE〃DF

⑵和

【解析】

試題分析：(1)證明：取PA中點(diǎn)F,連EF,FD

rE為PB中點(diǎn)故又DC4，AB

22

AEF/DCCEFD為平行四邊形

CE//DFDFu平面PAD,CE6平面PAD

???CE〃平面PAD6分

(II)ABCD為直角梯形，AB=2a,CD=BC=a

JAD=y]BC2+(AB-DC)2="'+片=缶

PA=PDH為AD中點(diǎn)故PH±AD

平面PAD_L平面ABCD???PH_L平面ABCD

AH=—apH=y/PA2-AH2=—a

22

E為PB中點(diǎn)，故E至IJ平面BCD距離為X—〃

4

11)

CT

S.RCD=-2BC2CD=-

12分

E-BCD3&BCD432424

考點(diǎn)：錐體的體積，線面平行

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了棱錐中的性質(zhì)以及體積公式和線面平行的證明。

11.(I)根據(jù)S8=SC,。為6C中點(diǎn)得到S0J_8C,

連0A,求得OA=SO=J5,得到。4JLSO,因?yàn)槭瞧矫鍭BC內(nèi)的兩條相交直線,

所以SO_L平面ABC.

(II)

3

【解析】

試題分析：(I)證明：因?yàn)閭?cè)面S48與側(cè)面S4C均為等邊三角形，所以S8=SC

又。為BC中點(diǎn)，所以SO_L8C

連0A,設(shè)AB=2,由NB4C=90°易求得0A=SO=&,

所以O(shè)V+sO?uSA?,所以Q4_LSO

因?yàn)镺A,8C是平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，所以SO_L平面A3C.

(II)分別取AB、SC、0C的中點(diǎn)N、M、H,連

MN、OM、ON、HN、HM,由三角形中位線定理

s

11

ON=—AC、0MBSQM=—BS,HMOS,HM=—0S

222

所以O(shè)M、ON所成角即為異面直線BS與AC所成角

設(shè)AB=2,易求得

ON=OM=\,MN=6

ON2+OM2-MN~

Icos/MON1=1

2xONxOM2

所以異面直線BS與AC所成角的大小為王.

3

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、

體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法"和''向量法"。利用幾何法，要遵循“一作、二

證、三計(jì)算”的步驟。利用向量則能簡(jiǎn)化證明過程，對(duì)計(jì)算能力要求高。解答立體幾何問題,

另一個(gè)重要思想是“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，即注意將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。

12.解：（I）見解析；（II）多面體力砥定的體積為J5.

【解析】本試題主要是考查了線面平行的判定定理和多面體體積的求解的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)槿E中點(diǎn)P,連結(jié)FP、BP,IF為CD的中點(diǎn)，AFP//DE,且FP=，QE

2

又AB〃DE,且AB=，DE.-.AB//FP,且AB=FP,

2

AABPF為平行四邊形，

AAF//BP,從而利用判定定理得到證明。

（2）根據(jù)已知中直角梯形/版的面積和C到平面力斷的距離，然后表示出錐體的體積。

解：（I）取四中點(diǎn)P,連結(jié)FP、BP,

E

,:F為CD的中熱，：.FP〃DE,且上

2

又AB〃DE,且A片、DE.；.AB〃FP,且AB寸P,

2

???/坦如為平行四邊形，

：.AF//BP.

又???加?文平面比瓦BPu平面BCE,

???力7/平面BCE.

(II)???直角梯形力應(yīng)力的面積為匕2x2=3,

2

。到平面力糜'的距離為立x2=JJ,

2

???四棱錐。一絲陽的體積為V='x3xJJ=J5.即多面體小Q厲的體積為6.

3

13.I)在RtZUBC中，AB=1,ZBAC=6Q°,:?BC=0AC=2.

在Rt△力切中，AC=2fNC4O=6D°,工勿=2百，AD=\.

:‘SAHO尸_AB-BCH—AC-CD=_x1x5/3H—x2x2>/3=_>/3........................3分

22222

貝IJr=lx-V3x2=-V3.......................5分

323

(II)9：PA=CA,戶為AC的中點(diǎn)，：.AFLPC.7分

???Ef_L平面476〃：.PALCD.'：ACLCD,PAC\AC=A.

??.6Z?_L平面為C.:.CD工PC.??"為功中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中息,

:.EF//CD.則EFLPC............11分:EF=F,：,PCA.平面AEF.

【解析】略

14.解：(I)證明：連接AC,則F是AC的中點(diǎn)，

E為PC的中點(diǎn)，故在ACPA中，EF//PA,

且PAU平面PAD,EF<Z平面PAD,二EF〃平面PAD

(II)取AD的中點(diǎn)M,連接PM，,「PA=PD,「.PM_LAD,又平面PADJ_平面ABCD,

平面PADn平面ABCD=AD,PM平面ABCD.

3

在直角△PAM中，求得PM=；〃，??.％_.=%,/)=1S&BCD-PM卷

【解析】略

15.(I)證明：???平面尸D4,EC2平面PDA

???EC〃平面PDA

同理可證BCU平面PD4

VECcz平面E8C,BCu平面EBC,且ECBC=C

???平面3EC〃平面PDA

又???BEu平面砂C,???BEH平面PD4

(II)解：???PD±平面ABC。，BCu平面ABCD

工PD工BC

VBCLCD,PDCD=D

：.3C，平面尸DCE

??.S梯稱睚=；(PD+EC)DC=lx3x2=3

，四棱錐8-。上尸￡>的體積

VB-CEPD=§S梯形處EBC=-x3x2=2

(HI)解：*/BE=PE=>3PD=2上

:.SpBE=；X2百Xy/2=顯

又S.BCD=4,SpDCE=3，SpDA=2,SBCE=1?SpAB=2>/5

:.組合體的表面積為10+2a+R

【解析】略

16.(1)(2)見證明過程；(3)-

【解析】

試題分析：(I)要證線線垂直只要證明線面垂直,利用題中數(shù)據(jù)求出底面平行四邊形的各邊

的長(zhǎng)度，找到AfiAC及MSC是等腰三角形，利用等腰三角形中線是高結(jié)論找到“線線垂

直”關(guān)系(II)要找線面平行先找線線平行，要找線線平行先找面面交線，即平面皿與

平面尸4c交線PK,注意到P、K為中點(diǎn)的特點(diǎn)，即可導(dǎo)致PK〃SO,從而推出線面平

行.

試題解析：(I)證明：連接AC,ZABC=45,AB=ZBC=?五,

由余弦定理得4C=2,.?.4C=A81分

取3c中點(diǎn)G,連接SG,AG,則AGJ_3C.

SB=SC,;.SGtBC,SGAG=G,

BC_L面SAG,BCISA4分

(H)當(dāng)F為8c的中點(diǎn)G時(shí)，EC"面SAF5分

證明：取SA中點(diǎn)M,連接EM,MG.

E為SO的中點(diǎn)，

:.EM//LDA,CG//-DA,:.EM//CG

=2=2=

四邊形EA/GC為平行四邊形，」.ECV/A/G.7分

MGu面SAG,EC<Z面SAG,「.EC//面SAG,即EC7/面S4/.8分

(III)面53。_1面438,56<=面53。，面5BC面ABCD=BC,SG±BC,

且SG=1,￡為SO的中點(diǎn)，「.E到面ABCO的距離為io分

2

?二%EAC=%12分

U-cAL-七-DAC=3--222-2=-3.

考點(diǎn)：線面平行與垂直，及椎體體積公式.

17.

(I)見解析

(II)石

(III)\O_OF

DAFA2

【解析】本試題主要考查了同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力及計(jì)算能力的綜合運(yùn)用。

對(duì)于空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的研究和靈活的運(yùn)用。

(1)中利用線面垂直的性質(zhì)定理得到

(2)中，分析棱錐的底面積和高度，可以得到體積。

(3)中，結(jié)合三垂線定理和中心的位置關(guān)系得到結(jié)論。

解法一：(I)連結(jié)AO,VA^XMABC,AO±BC.AAiAXBC.

(II)由(I)得NAiA0=4503分

由底面是邊長(zhǎng)為2G的正三角形，可知A0=3

，AQ=3,AAF3>/2

V=4>/37分

(卬)過D作DF〃AQ,交AO于F,則DF_L平面ABC.

ABP為DD在面ABC內(nèi)的射影，

又二AC〃AC,?,?要使BD_LAC,只要BD_LAC,即證BFJ_AC,

???F為△ABC的中心，...—----——12分

DAFA2

18.(I)證明：VAB=2,AAE=1,ABE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosZA=4+1~

2X2XlXcos600=3,

/.AE2+BE2=1+3=4=AB2,ABEIAE.

又平面PAD_L平面ABCD,交線為AD,

平面PAD.

(II)證明：取BC的中點(diǎn)G,連接GE,GF.則GF〃PB,EG〃AB,

又GFCEG-G,J平面EFG〃平面PAB,...EF〃平面PAB.

【解析】略

19.(1)：CD_L平面ABC,BE_L立面ABC,

???CD〃BE.〈CD。平面ABE,

BEU平面ABE,，CD〃平面ABE.

又1=平面ACDD平面ABE,ACDZ/I.

又IC平面BCDE,CDU平面BCDE,

???l〃平面BCDE.

(2)在ADFE中，F(xiàn)D=百，F(xiàn)E=",DE=3.AFD±FE.

〈CD_L平面ABC,ACD±AF,又BC_LAF,CDABC=C，,AF_L平面BCDE，

???AF_LFD,VEFnAF=F,，F(xiàn)D_L平面AFE.

又FDU平面AFD,，平面AFD_L平面AFE.

(3)：DC_L平面ABC,BE_L平面ABC,ADC//BE

VAB=AC=2,且NBAC=X.?.BC=2&

2

ASBEDC=-(DC+BE)XBC=3近

2

由(2)知AF_1_平面BCED/.VE-BCDE=-SBEDCAF=—x3V2xV2=2.

33

【解析】略

20.(I)證明：VAB=2,AAE=1,

.\BE2=AB2+AE2-2AB?AE-cosZA=4+1-2X2XlXcos600=3,

AAE2+BE2=1+3=4=AB2,ABE1AE.

又平面PAD_L平面ABCD,交線為AD,

，8￡1_平面PAD.

(II)證明：取BC的中點(diǎn)G,連接GE,GF.則GF〃PB,EG〃AB,

又GFC1EG=G,)平面EFG〃平面PAB,，EF〃平面