2025年浙江諸暨重點(diǎn)中學(xué)定向招生數(shù)學(xué)試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁全真考試卷（十九）浙江省諸暨市重點(diǎn)中學(xué)定向招生考試試卷數(shù)學(xué)滿分120分，考試時(shí)間100分鐘一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分）1．若代數(shù)式的值為8，則代數(shù)式的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．關(guān)于的方程有無數(shù)多個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B． C．1或 D．有無數(shù)個(gè)取值3．若函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，垂直軸于，則的面積為（

）A．1 B．2 C． D．4．方程的所有實(shí)數(shù)根之和為（

）A．1 B．3 C．5 D．75．如圖，在中，為直角，，在三角形的內(nèi)部有一個(gè)半圓，半圓與均相切且直徑在上．則半圓的半徑為（

）

A． B． C． D．6．如圖，在中，，，為的內(nèi)心，連接并延長交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，則（

）A． B． C． D．7．在圖中，實(shí)線所圍成的多邊形區(qū)域（陰影部分）是由四個(gè)全等正方形拼接而成的．現(xiàn)在若補(bǔ)上圖中標(biāo)有號(hào)碼的其中一個(gè)全等小正方形，則可得到九個(gè)多邊形區(qū)域（每個(gè)區(qū)域恰好含有五個(gè)全等小正方形），試問這九個(gè)多邊形區(qū)域中，可以折成無蓋的正方體容器的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．68．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，2），B（﹣2，3）兩點(diǎn)，且不經(jīng)過第一象限，若S＝a+b﹣c，則S的取值范圍是（）A．S≤﹣3 B．S＜2 C．S≤2 D．S＜﹣39．現(xiàn)有三個(gè)正方體形的公正骰子，每個(gè)骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6．投擲這三個(gè)骰子，則其中兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和恰好等于余下的一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．10．設(shè)表示非負(fù)整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，例如：．則的值為（

）A．28127 B．28128 C．28107 D．28117二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）11．化簡：．12．某?？萍拣^位于一樓的活動(dòng)室比二樓的活動(dòng)室少5間，某班48人分組展開活動(dòng)，若全安排在一樓，每間4人，活動(dòng)室不夠，每間5人，則有些活動(dòng)室坐不滿；若全安排在二樓，每間3人，活動(dòng)室不夠，每間4人，則有些活動(dòng)室坐不滿，該科技館位于一樓的活動(dòng)室數(shù)為．13．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且這兩根之差的絕對(duì)值為6，那么的值為．14．實(shí)數(shù)滿足．則．15．已知的斜邊．以A為圓心，為半徑的圓A與相切．設(shè)被圓覆蓋后剩余部分面積為．則的最大值為．16．設(shè)實(shí)數(shù)，這個(gè)小數(shù)從小數(shù)點(diǎn)后，以1開頭一直寫到得到的，那么小數(shù)點(diǎn)后第位的數(shù)字是．三、解答題（本題有5小題，共50分）17．已知實(shí)數(shù)，求的值．18．已知三個(gè)關(guān)于的方程和．若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．已知四邊形內(nèi)接于圓，對(duì)角線與垂直相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求證：．

20．已知中，，，．是上的動(dòng)點(diǎn)，為上的點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中保持．試寫出面積與的長度之間的關(guān)系式．21．已知二次函數(shù)的圖象為拋物線，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，垂直于的對(duì)稱軸，垂足為．

(1)用表示線段的長；(2)求證：；(3)若，是否存在直線，使得？如果存在，求出的解析式，如果不存在，說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題考查了代數(shù)式求值，觀察題中兩個(gè)代數(shù)式和，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式，因此，可以由代數(shù)式的值為8，可求得，再代入代數(shù)式求值，熟練進(jìn)行整體代入是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意知，，得，，故選：B．2．C【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，解得：，左邊，右邊，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，解得：，左邊，右邊，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，符合題意；綜上：實(shí)數(shù)的值為1或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值的定義，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．3．A【分析】因?yàn)檫^雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個(gè)定值，【詳解】解：如圖：

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則，故的面積為，與同底等高，，故選：A．【點(diǎn)睛】主要考查了反比例函數(shù)中的幾何意義，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為，是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn)；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解的幾何意義，圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即．4．A【分析】先去分母，方程兩邊分別乘以轉(zhuǎn)化為整式方程，再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：方程兩邊分別乘以，得：，化簡并整理，得：，，，，，或，由解得，由得：，無實(shí)數(shù)根，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所有實(shí)數(shù)根之和為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程，去分母后對(duì)整式方程進(jìn)行因式分解是解題關(guān)鍵．5．B【分析】設(shè)半圓與相切于點(diǎn)，連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)，，在中，根據(jù)勾股定理列方程即可得解．【詳解】解：如圖，

設(shè)半圓與相切于點(diǎn)，連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得，，由切線長定理得，，在中，為直角，，，，，，在中，設(shè)半徑為，則，，由勾股定理得，，解得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及圓的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形列方程解決問題是關(guān)鍵．6．C【分析】作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)為的內(nèi)心，得到，再根據(jù)三角形的面積公式可知同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比，得，由等比定理可的．【詳解】解：如圖示，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為的內(nèi)心，∴根據(jù)三角形的面積公式可知同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊之比，，根據(jù)等比定理可得：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，三角形的面積，等比定理，熟悉三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)和等比定理是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)正方體的展開圖有11種情況：1?4?1型共6種，1?3?2型共3種，2?2?2型一種，3?3型一種，由此判定找出答案即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：補(bǔ)上后能夠折成無蓋的正方體容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是記住正方體展開圖的類型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口訣“凹、田應(yīng)棄之”．8．A【分析】將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得出關(guān)于a、b、c的方程組，將a看做常數(shù)解方程組得，將其代入得S＝a＋b?c＝2a?2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知a＜0、c＝2a＋1≤0，據(jù)此得出a的范圍，繼而可得S的范圍．【詳解】解：由題意，得：，解得：，則S＝a＋b?c＝a＋（3a?1）?（2a＋1）＝2a?2，由拋物線過點(diǎn)A（?1，2），B（?2，3）兩點(diǎn)，且不經(jīng)過第一象限知a＜0，∴c＝2a＋1≤0，解得a≤，∴S＝2a?2≤?3，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】先求得總的可能情形，根據(jù)題意得出有9種可能，按照不同方式可得共有45種符合題意的情形，進(jìn)而根據(jù)概率公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)樹狀圖法可得第一個(gè)數(shù)字有6種情形，第二個(gè)數(shù)字可以選6個(gè)數(shù)字，第三個(gè)數(shù)字也可以選6個(gè)數(shù)字，故總可能結(jié)果有種可能依題意，，，共有9種可能，每種有6種排列方式，其中，，每種可能有3種不同排列；和，共9種可能；的排列有6種可能，同理，6種可能則符合題意的共有種，∴其中兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和恰好等于余下的一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)的概率是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)概率公式求概率，根據(jù)題意找出符合題意的可能數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)題意可得：從而得到，再求出；，，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，；；，，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．【分析】將根號(hào)下的式子配成完全平方式然后開方即可．【詳解】解：，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，將被開方式配成完全平方式是解題的關(guān)鍵．12．【分析】設(shè)一樓有間房，則二樓有間房，再根據(jù)題意可列出不等式組，求得解集即可．【詳解】解：設(shè)一樓有間房，則二樓有間房，根據(jù)題意有：，解得：，且，即，所以，又因?yàn)椋簽檎麛?shù)，因此．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的運(yùn)用，解此類題目常常要結(jié)合數(shù)軸來判斷．13．3【分析】設(shè)兩根分別為和，則的最大值問題可轉(zhuǎn)化為(x1-x2)2的最大值問題，展開并利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根全部替換成a即可．【詳解】解：設(shè)方程兩根分別為和，則：，，，，，，∴，當(dāng)時(shí)，可取最小值，∵6，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握配方法以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答此類題的關(guān)鍵．14．【分析】由得：，，由得：，從而得到，即可求解．【詳解】解：，由得：，∴，由得：，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，三元一次方程組，根據(jù)題意得到，是解題的關(guān)鍵．15．【分析】由題意列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，是圓A的切線，切點(diǎn)為D，

則，由題意得，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．16．【分析】首先確定一位數(shù)，以及二位數(shù)的個(gè)數(shù)，判斷排的右邊第個(gè)數(shù)字是第幾個(gè)三位數(shù)的數(shù)字，從而確定．【詳解】解：從到都是一位數(shù)，共有個(gè)；從到共有個(gè)數(shù)，都是二位數(shù)，則數(shù)字是由依次寫下正整數(shù)～是的前位數(shù)；則以后是三位數(shù)，，，則最后一位是從開始的三位數(shù)的第個(gè)數(shù)，即是，的第二個(gè)數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，正確確定第個(gè)數(shù)字是第幾個(gè)三位數(shù)的數(shù)字是關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)，得出，進(jìn)而將代數(shù)式因式分解，整體代入，即可求解．【詳解】解：∵∴∴即∴當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，首先把已知等式變形，然后因式分解把所求代數(shù)式分解因式，最后利用整體代值的方法即可解決問題．18．或【分析】分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)，時(shí)，分別求出m的取值范圍即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，方程和有解；②當(dāng)時(shí)，方程和有解；③當(dāng)，時(shí)，第一個(gè)方程有根則：，解得：；第二個(gè)方程有根則：，解得：，第三個(gè)方程有根則：，解得：，當(dāng)每兩個(gè)方程都有解時(shí)，有或或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．19．見解析【分析】作直徑，根據(jù)三角形中位線定理求得，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，再利用等角的余角相等求得，推出，據(jù)此即可證明．【詳解】證明，作直徑，連接，

∵點(diǎn)G、O分別為、的中點(diǎn)，∴，∵，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，，∵為直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．20．【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造合適的相似三角形，用含的代數(shù)式表示出和是解本題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，先證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出的長，再根據(jù)三角形面積公式得到結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，，，，，．21．(1)(2)見解析(3)不存在，理由【分析】（1）聯(lián)立可得，從而得到，再由，可得，即可；（2）過點(diǎn)Q作對(duì)稱軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，由（1）得：，，從而得到，可證得，即可；（3）假設(shè)存在直線，使得，則，設(shè)，可得，從而得到，再根據(jù)，可得，然后由（2）得：，，從而得到，繼而得到m，n為一元二次方程的兩個(gè)根，即可求解．【詳解】（1）解：由得