現(xiàn)代控制理論第五章2010 學習課件

2025年2月28日現(xiàn)代控制理論1線性控制系統(tǒng)信息科學與工程學院

2025年2月28日現(xiàn)代控制理論2第五章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

5.1幾個穩(wěn)定性概念5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

5.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應(yīng)用

5.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用2025年2月28日現(xiàn)代控制理論35.1幾個穩(wěn)定性概念定義5.1.1自治系統(tǒng):零輸入作用的系統(tǒng)其中，x為n維狀態(tài)向量，f(.,.)為n維向量函數(shù)。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論4定義5.1.2受擾運動：系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應(yīng).2025年2月28日現(xiàn)代控制理論5對n階自由系統(tǒng),若存在某一狀態(tài)，對所有t都有，則稱的平衡狀態(tài)或平衡點。

為系統(tǒng)定義5.1.3平衡狀態(tài)或平衡點什么樣的平衡點叫孤立平衡點？2025年2月28日現(xiàn)代控制理論6定義5.1.4

歐氏范數(shù)：稱為向量的歐氏(歐幾里德)(Euclid)范數(shù).2025年2月28日現(xiàn)代控制理論7定義5.1.5李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性對,若使得時，有則稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論8

定義5.1.6一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）則稱其為一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）。若的穩(wěn)定性（漸近穩(wěn)定），且不依賴于，2025年2月28日現(xiàn)代控制理論9定義5.1.7漸近穩(wěn)定如果是李雅普諾夫意義穩(wěn)定的，和并且對于總使得則稱是漸近穩(wěn)定的。必成立：2025年2月28日現(xiàn)代控制理論10定義5.1.8不穩(wěn)定:受擾運動要突破超球域?qū)τ谀硞€實數(shù)和，在超球域內(nèi)始終存在狀態(tài)，使得從該狀態(tài)開始的2025年2月28日現(xiàn)代控制理論11穩(wěn)定漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定穩(wěn)定性的幾何示意圖2025年2月28日現(xiàn)代控制理論12定義5.1.9正定函數(shù)：1）存在2）3）當時，（正半定的）。則稱是正定的如果條件3）中不等式的符號反向，則稱是負定的（負半定的）。

2025年2月28日現(xiàn)代控制理論13

例5.1.1

1） 正定的

2） 半正定的

3） 負定的

4） 半負定的

5） 不定的2025年2月28日現(xiàn)代控制理論14塞爾維斯特（Sylvester）定理：

為正定的充要條件是：P的所有順序主子行列式都是正的。如果P的所有主子行列式為非負的（其中有的為零），那么V(x)為半正定的。如果是正定的（半正定的），則將是負定的(半負定的)。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論15例5.1.2證明下列二次型函數(shù)是正定的。解：二次型可以寫為因為所以2025年2月28日現(xiàn)代控制理論165.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2.1李雅普諾夫第一方法5.2.2直接法2025年2月28日現(xiàn)代控制理論175.2.1李雅普諾夫第一方法(間接法)設(shè)，為孤立平衡點。（1）平衡點平移：令則將在原點展開得，(2)近似線性化：2025年2月28日現(xiàn)代控制理論18定理5.2.1如果,則漸近穩(wěn)定，如果存在，則不穩(wěn)定；來決定。如，則的穩(wěn)定性由高階導數(shù)項(3)穩(wěn)定性判據(jù)：2025年2月28日現(xiàn)代控制理論19例5.2.1已知非線性系統(tǒng)其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論20知系統(tǒng)有平衡點解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對情況進行研究，其它情況類似2025年2月28日現(xiàn)代控制理論21計算由特征方程，得設(shè)則2025年2月28日現(xiàn)代控制理論22①當時，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論23

5.2.2直接法

定理5.2.2

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個具有連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。如果隨著有則在原點處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論24定理5.2.3

如果并且對于任意和不恒等于零則系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定.定理5.2.4

如果則原點不穩(wěn)定2025年2月28日現(xiàn)代控制理論25例5.2.2

已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論26原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點是唯一平衡點，取，則又因為當時，有所以系統(tǒng)在2025年2月28日現(xiàn)代控制理論27例5.2.3

已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論28解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點

取

則因為除原點處外，不會恒等于零。當時，所以系統(tǒng)在其原點

處大范圍漸近穩(wěn)定。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論29例5.2.4系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論30解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論311）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。2）對于非線性系統(tǒng)能給出關(guān)于在大范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息。3）關(guān)于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結(jié)論。5.2.3幾點說明

2025年2月28日現(xiàn)代控制理論325）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內(nèi)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質(zhì)的李雅普諾夫函數(shù)一定存在。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論335.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應(yīng)用5.3.1穩(wěn)定性分析5.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題2025年2月28日現(xiàn)代控制理論34

定理4.3.1:

系統(tǒng)在原點全局漸近穩(wěn)定的充要條件為方程,有唯一正定對稱解.證明：充分性：考慮系統(tǒng)其中令如果

則大范圍漸近穩(wěn)定。必要性：略。5.3.1穩(wěn)定性分析2025年2月28日現(xiàn)代控制理論35例5.3.1:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性

解：令得則由2025年2月28日現(xiàn)代控制理論36解上述矩陣方程，有即得2025年2月28日現(xiàn)代控制理論37因為可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。

2025年2月28日現(xiàn)代控制理論38

設(shè)則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對稱解如果沿任一解的序列不恒等于零，則可取半正定的。定理5.3.22025年2月28日現(xiàn)代控制理論39例5.3.2試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性2025年2月28日現(xiàn)代控制理論40,得解:在李雅普諾夫方程中,取由此解出從而系統(tǒng)在原點的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.2025年2月28日現(xiàn)代控制理論411、問題描述：5.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題

使極小(1)設(shè)

調(diào)節(jié)參數(shù)使極小。(2)必須逐漸穩(wěn)定，否則問題無解。（自學）2025年2月28日現(xiàn)代控制理論42(4)注意到和的函數(shù)，調(diào)節(jié)使最小。(3)由知存在,使得令于是有由,知2025年2月28日現(xiàn)代控制理論43

例5.3.3給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定阻尼比的值，使系統(tǒng)的性能指標，其中達到最小值。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論44解得于是有解:由，知2025年2月28日現(xiàn)代控制理論45再令于是得將代入上式，知。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論465.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用5.4.1克拉索夫斯基方法2025年2月28日現(xiàn)代控制理論475.4.1克拉索夫斯基方法定理5.4.1

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中的，設(shè)對可微。2025年2月28日現(xiàn)代控制理論48

令系統(tǒng)的雅克比矩陣為2025年2月28日現(xiàn)代控制理論49

證:顯然

。因為那么漸近穩(wěn)定。如果隨著

，范圍漸近穩(wěn)定。

，有，那么大其中為的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，如果2025年2月28日現(xiàn)代控制理論50

當時，有。所以漸近穩(wěn)定在時，大范圍漸近穩(wěn)定。

所以2025年2月28日現(xiàn)代控制理論51

解:由平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例5.4.1利用克拉索夫斯基定理確定下列系統(tǒng)在2025年2月28日現(xiàn)代控制理論52

且時，有所以是大范圍漸近穩(wěn)定的。

更為普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下：設(shè)系統(tǒng)的狀程態(tài)