西北大學(xué)量子力學(xué) 8.4 學(xué)習(xí)課件

8.4玻恩近似這一節(jié)我們介紹另一種近似方法——玻恩近似。如果入射粒子的動(dòng)能比粒子散射與散射中心相互作用的勢(shì)能大得多，以致勢(shì)能可以看作是微擾時(shí)，可用玻恩近似來計(jì)算散射截面。體系的哈密頓量寫為其中是自由粒子的哈密頓量，8.4玻恩近似取箱歸一化的動(dòng)量本征函數(shù)作為的本征函數(shù)，這種歸一化描寫在體積內(nèi)有一個(gè)粒子。微擾使粒子從動(dòng)量為的初態(tài)躍遷到動(dòng)量為的末態(tài)。根據(jù)能量守恒，有入射粒子流強(qiáng)度為，其中。根據(jù)（8.1.1）式，單位時(shí)間內(nèi)散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)為：（8.4.1）8.4玻恩近似另一方面，方向在立體角內(nèi)的末態(tài)的態(tài)密度是單位時(shí)間散射到立體角內(nèi)的粒子數(shù)：（8.4.2）8.4玻恩近似比較（8.4.1）和（8.4.1），注意到，立即可的（8.4.3）上式的絕對(duì)值號(hào)之內(nèi)保留負(fù)號(hào)是因?yàn)橛闷渌椒ㄋ愠龅纳⑸湔穹幸回?fù)號(hào)。引入矢量（8.4.4）它的數(shù)值是8.4玻恩近似其中是散射角，是散射引起動(dòng)量的變化。于是（8.4.3）式的積分可以簡(jiǎn)化為：因而（8.4.5）若勢(shì)能已知，由上式即可的微分散射截面。8.4玻恩近似如果散射波的相移很小，特別是分波的相移很小，就說明勢(shì)場(chǎng)對(duì)散射波的影響很小，因而把勢(shì)場(chǎng)看作微擾時(shí)合理的，所以分析分波相移就可以得出玻恩近似成立的條件。如果勢(shì)能可以近似的表示為球?qū)ΨQ的方式壘或勢(shì)阱那么玻恩近似條件就容易得出。8.4玻恩近似由方程（8.3.4），注意到得：（8.4.6）當(dāng)粒子能量很高時(shí)，于是上式左邊余切的宗量可寫為

當(dāng)此宗量與只差一小角時(shí)，則相移很小。8.4玻恩近似于是玻恩近似有效的條件是（8.4.7）是入射粒子的經(jīng)典速度。由此可見，波恩近似適用于粒子的高能散射。分波法則適用于低能散射，兩種方法相互補(bǔ)充。勢(shì)阱情況下，波恩近似對(duì)低能散射也可能有效。由（8.4.6）式，當(dāng)時(shí)，有（8.4.8）8.4玻恩近似所以只要不是很接近于，則很小，于是玻恩近似就可以應(yīng)用。作為例子，我們來計(jì)算一個(gè)高速帶電粒子（帶電）被一中性原子散射的散射截面。原子核所產(chǎn)生的電場(chǎng)被原子內(nèi)部的電子所屏蔽，這種屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)可以表示為（8.4.9）式中為原子半徑，為原子序數(shù)。8.4玻恩近似將（8.4.9）是代入（8.4.5）式得（8.4.10）如果（8.4.11）8.4玻恩近似則（8.4.10）式中的項(xiàng)可以略去，結(jié)果得到微分散射截面（