微積分 第一章習(xí)題1.1答案學(xué)習(xí)課件

函數(shù)集合與函數(shù)習(xí)題1。1求下列函數(shù)的自然定義域：（1）由，得定義域為。（2）由，得定義域為。（3）由，得定義域為。（4）由得定義域為（5）由，得定義域為。（6）2由，得定義域為。（7）由，得定義域為且。求下列函數(shù)的值域：（1） 由，得（2）由得。（3）由，得，所以。（4）由，得，所以把半徑為的一圓形鐵皮，自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐。試將這圓錐的體積表示為的函數(shù)。解：圓錐的底圓周長為鐵皮被剪后所剩扇形的弧長，即，所以圓錐的底圓半徑為，圓錐的母線長顯然為，所以圓錐的高為，由此得圓錐體積為：，其中。下列各題中，函數(shù)和是否相同？為什么？（1）的定義域為，而的定義域為，所以兩函數(shù)不同。（2），與對應(yīng)法則不同，是不同的函數(shù)。（3）與具有相同的定義域和對應(yīng)法則，是兩個相同的函數(shù)。（4）的定義域為，與的定義域不同，是兩個不同的函數(shù)。（5）的定義域為，而的定義域為，所以兩個函數(shù)不同。（6）的定義域為，與的定義域不同，它們是兩個不同的函數(shù)。（7），它與的定義域和對應(yīng)法則都相同，是兩個相同的函數(shù)。（8）的定義域為，的定義域為和，所以它們是兩個不同的函數(shù)。（9），它與的定義域和對應(yīng)法則都一樣，是兩個相同的函數(shù)。（10），它與的定義域和對應(yīng)法則都一樣，是兩個相同的函數(shù)。設(shè)為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞增，證明在內(nèi)也單調(diào)遞增。證明：設(shè)，則，所以，而，所以。設(shè)下面所考慮的函數(shù)都是定義在上的。證明：兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)；兩個奇函數(shù)的商是偶函數(shù)，兩個偶函數(shù)的商是偶函數(shù)。證明：設(shè)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。（1）（2）（3）證明：定義在對稱區(qū)間上的任何函數(shù)都可唯一表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。證明：唯一性：若，其中為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則，所以只能是存在性：令易驗證，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)？（1）定義域為，且，所以是偶函數(shù)。（2），所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（3）定義域為，且，所以是偶函數(shù)。（4）定義域為，且，所以是奇函數(shù)。（5），所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。（6）定義域為，且，所以是偶函數(shù)。（7）定義域為，且，所以是奇函數(shù)。（8）定義域為，且，所以是奇函數(shù)。下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期。（1）因為為周期函數(shù)，周期為，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為。（2）因為為周期函數(shù)，周期為，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為。（3）因為為周期函數(shù)，周期為，所以本函數(shù)也為周期函數(shù)，周期為。（4）若其為周期函數(shù)，則存在，使得，令，得，所以；令，得，由此得，這是一個矛盾。所以不是周期函數(shù)。（5）因為，所以本函數(shù)為周期函數(shù)，周期為。求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1），所以反函數(shù)為（2）所以反函數(shù)為。（3），所以反函數(shù)為（4）易得，所以，所以反函數(shù)為。（5）所以反函數(shù)為（6）所以反函數(shù)為。（7）由應(yīng)取，所以反函數(shù)為。設(shè)的定義域，求下列各