高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題八 平面解析幾何-2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷

專題八平面解析幾何——2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．已知點，，若直線與線段AB有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.1．答案：C解析：由題意知直線l過定點，易求直線PA的斜率，直線PB的斜率，直線l的斜率，作出線段AB及直線PA，PB，如圖，由圖知，或，即或，故選C.2．若直線是與的公切線，則實數(shù)r的值為()A. B. C. D.2．答案：A解析：已知的圓心，半徑是r；的圓心是，半徑是2.由題知直線是和的公切線，當(dāng)時，直線為，此時直線與圓不相切，所以，由，解得，則有.故選A.3．已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M，N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長等于()A. B. C. D.3．答案：D解析：由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程并化簡得，設(shè)，，，則，所以，解得，則，.弦長.故選D.4．[2023屆·全國·模擬考試聯(lián)考]阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓.橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓的面積為，點P在橢圓C上，且點P與橢圓C左、右頂點連線的斜率之積為，記橢圓C的兩個焦點分別為，，則的值不可能為()A.4 B.7 C.10 D.144．答案：D解析：因為橢圓C的面積為，所以，即.①設(shè)，則，則，所以點P與橢圓C左、右頂點連線的斜率之積為.②聯(lián)立①②可得，，則，故，故選D.5．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M在C上，且，的面積為（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.5．答案：A解析：不妨設(shè)點M在雙曲線的右支上，如圖所示.設(shè)，，則由①得.將②③代入即可得，故，所以，所以離心率.故選A.6．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的交點，若，則()A.4 B. C.2 D.6．答案：D解析：依題意得，，準(zhǔn)線l的方程為.因為點P是l上一點，所以設(shè)點，，則，，因為，所以，解得.又Q是直線PF與C的交點，所以由拋物線的定義可得.故選D.7．已知拋物線的焦點為F，拋物線上一點A在F的正上方，過點A的直線l與拋物線交于另一點B，滿足，則鈍角()A. B. C. D.7．答案：D解析：由題知，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為.因為點A在F的正上方，所以點A的坐標(biāo)為.因為為鈍角，則點B在x軸下方，所以，解得，即點B的坐標(biāo)為（舍去）或.因為直線BF的斜率，所以直線BF的傾斜角為，故鈍角.故選D.8．[2024春·高二·四川眉山·開學(xué)考試?？糫已知橢圓的離心率為，左頂點是A，左、右焦點分別是，，M是C在第一象限上的一點，直線與C的另一個交點為N.若，則直線MN的斜率為()A. B. C. D.8．答案：A解析：因為橢圓C的離心率為，故可設(shè)，，故，因此橢圓C的方程為，而，，故，因為，所以.因為直線MN與x軸不垂直也不重合，故可設(shè)，，，則，由可得，因為在橢圓C的內(nèi)部，所以恒成立，且故，因為，所以，此時，故M在第一象限，符合條件，因此直線MN的斜率為.故選A.二、多項選擇題9．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若圓與雙曲線C的漸近線相切，則下列說法正確的是()A.雙曲線C的離心率B.若雙曲線C上一點P滿足軸，則C.若雙曲線C上一點P滿足，則的周長為D.雙曲線C上存在一點P，使得點P到C的兩條漸近線的距離之積為9．答案：BC解析：對于A項，由，可得雙曲線的漸近線方程為.圓的圓心為，半徑.因為雙曲線的漸近線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以雙曲線的方程為，，，，所以離心率，故A項錯誤.對于B項，由A知，，所以直線的方程為.代入雙曲線方程可得，則，所以，故B項正確.對于C項，由已知，根據(jù)雙曲線的定義可知，，所以.又，所以的周長為，故C項正確.對于D項，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，則點到直線的距離，到直線的距離，所以.又點在雙曲線上，所以，所以，故D項錯誤.故選BC.10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過拋物線上的點反射后，再經(jīng)拋物線上另一點反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是()A. B.C. D.與之間的距離為410．答案：BC解析：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線PQ過焦點，設(shè)直線，代入中得，則，所以，所以，故B正確；點P與M均在直線上，則點P的坐標(biāo)為，由得，則點Q的坐標(biāo)為，則，故A錯誤；由拋物線的定義可知，，故C正確；因為與平行，所以與之間的距離，故D錯誤.故選BC.11．[2024春·高二·山西·月考聯(lián)考]已知橢圓過點，直線與橢圓C交于M，N兩點，且線段MN的中點為P，O為坐標(biāo)原點，直線OP的斜率為，則下列結(jié)論正確的是()A.橢圓C的離心率為B.橢圓C的方程為C.若，則D.若，則橢圓C上存在E，F(xiàn)兩點，使得E，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱11．答案：AC解析：設(shè)，，則，即因為點M，N在橢圓C上，所以兩式相減，得，即，由題得，所以，即，又，所以，則離心率，故A正確.因為橢圓C過點，所以，又由A選項知，，聯(lián)立解得，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故B錯誤.若，則直線l的方程為，由得，所以，，則，故C正確.若，則直線l的方程為.假設(shè)橢圓C上存在E，F(xiàn)兩點，使得E，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，則設(shè)，，線段EF的中點為，則，.因為E，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，所以，且點Q在直線l上，即.又E，F(xiàn)兩點在橢圓C上，所以兩式相減，得，即，所以，即.聯(lián)立解得即.因為，所以點Q在橢圓C外，這與Q是弦EF的中點矛盾，所以橢圓C上不存在E，F(xiàn)兩點，使得E，F(xiàn)關(guān)于直線l對稱，故D錯誤.故選AC.三、填空題12．已知橢圓和雙曲線（，）的焦點相同，，分別為左、右焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點.若軸，則橢圓和雙曲線的離心率之積為___________.12．答案：1解析：設(shè)，由題可知，.因為軸，所以，所以橢圓和雙曲線的離心率之積為.13．[2023年全國高考真題]已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，.點A在C上，點B在y軸上，，，則C的離心率為__________.13．答案：解析：法一：建立如圖所示的坐標(biāo)系，依題意設(shè)，，.由，得.又，且，，則，所以.又點A在雙曲線C上，則，整理得，將，代入，得，即，解得或（舍去），故.法二：由得，設(shè)，則，.由雙曲線的對稱性可得，由雙曲線的定義可得.設(shè)，則，所以，解得，所以，.在中，由余弦定理可得，即，可得.14．已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是__________.14．答案：12解析：由題意可知，設(shè)直線AB的方程為，點，，直線AB與x軸的交點為，聯(lián)立方程消去x得，則，.因為，所以，解得或，由點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，可知，所以，故，此時，即.不妨設(shè)點A在x軸上方，則，，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以與面積之和的最小值是12.四、解答題15．[2023年全國高考真題]已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P，證明：點P在定直線上.15．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）因為雙曲線C的左焦點為，所以.由離心率，得，所以，所以C的方程為.（2）證明：設(shè)（，），，顯然直線MN的斜率不為0，故設(shè)直線MN的方程為.因為，，所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立消去y得.聯(lián)立消去x整理得，則，，則，，所以，所以，所以，解得，所以點P在定直線上.16．已知橢圓的左、右焦點分別是，，上頂點為B，其長軸長是短軸長的2倍，P是C上任意一點，的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）過作一直線與C交于M，N兩點，直線BM，BN與x軸分別交于點R，S，求證：RS的中點是定點.16．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由題意知，的最大值為，而，則，即，，則橢圓C的方程為.（2）證明：根據(jù)（1）知，，設(shè)，，由題意知直線EM斜率存在，且不為0，設(shè)直線EM的方程為.則由得.則有，.直線BM的方程為，則；直線BN的方程為，則.取RS的中點為，則有.即RS的中點是定點.17．已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O，焦點F在坐標(biāo)軸上，且過，兩點.（1）求C的方程；（2）設(shè)過點F的直線l與C交于M，N兩點，P，Q兩點分別是直線AM，BN與x軸的交點，證明：為定值.17．答案：（1）（2）證明見解析解析：（1）由題意可知拋物線C過第一、四象限，故可設(shè)拋物線C的方程為，代入得，則，故拋物線C的方程為.（2）證明：由（1）可得，易得直線l的斜率不為0，則可設(shè)直線，，.聯(lián)立方程得消去x得，則，，.當(dāng)直線AM的斜率不存在時，，此時直線，則，，，則；當(dāng)直線AM的斜率存在時，，則直線AM的方程為，令，則，解得，，同理可得，故（定值）.綜上，為定值1.18．已知橢圓的左頂點為，焦距為.動圓D的圓心坐標(biāo)是，過點A作圓D的兩條切線，分別交橢圓于M，N兩點，記直線AM，AN的斜率分別為，.（1）求證：.（2）若O為坐標(biāo)原點，作，垂足為P.問：是否存在定點Q，使得為定值？18．答案：（1）證明見解析（2）存在點，使得為定值解析：（1）證明：由題意知，橢圓C的左頂點為，焦距為，可得解得所以橢圓C的方程為.若過點A作圓D的一條切線的斜率不存在，則其方程為，其與橢圓只有點A一個交點，此時圓D半徑為2，與題干矛盾，所以設(shè)過點A且與圓D相切的直線方程為，動圓D的半徑為，則，化簡得，，即，所以和是方程的兩個實數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，.（2）存在點，使得為定值，理由如下：設(shè)點，，聯(lián)立方程得整理得，，則，得，，所以.因為，所以將k換成，可得.易知直線MN的斜率存在，則直線MN的斜率為，所以直線MN的方程為.直線MN的方程可化為，即，即，所以直線MN過定點.因為，所以點P的軌跡是以O(shè)E為直徑的圓上的一段弧，故存在點，使得為定值.19．已知拋物線，C的焦點是F.（1）若過原點O作兩條直線交曲線C于A，B兩點，且，求證：直線AB過定點；（2）若過曲線C上一點作兩條直線交曲線C于A，B兩點