考研數(shù)學(xué)定理定義公式總結(jié)-數(shù)學(xué)二

高數(shù)部分

第一章函數(shù)與極限

1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)NKl則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；如果有f(x)WK2,則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定

義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。

2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列｛xn｝不能同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的極限。

定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列｛xn｝收斂，那么數(shù)列｛xn｝一定有界。

如果數(shù)列｛xn｝無(wú)界，那么數(shù)列｛xn｝一定發(fā)散；但如果數(shù)列｛xn｝有界，卻不能斷定數(shù)列｛xn｝一定收斂，例如數(shù)列1,-1,1,-1,(-l)n+l…該數(shù)列

有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。

定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關(guān)系)如果數(shù)列｛xn｝收斂于a,那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列｛xn｝有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那

么數(shù)列｛xn｝是發(fā)散的，如數(shù)列1,-1,1,-1,(-l)n+l…中子數(shù)列｛x2k-l｝收斂于1,｛xnk｝收斂于-1,｛xn｝卻是發(fā)散的；同時(shí)一個(gè)發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)

列也有可能是收斂的。

3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x/xO,所以XTXO時(shí)f(x)有沒(méi)有極限與f(x)在點(diǎn)xO有沒(méi)有定義無(wú)關(guān)。

定理(極限的局部保號(hào)性)如果lim(x—xO)時(shí)f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在著點(diǎn)那么xO的某一去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)就有f(x)>0(或

f(x)>0),反之也成立。

函數(shù)f(x)當(dāng)x-xO時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等則limf(x)不存在。

一般的說(shuō)，如果lim(x-oo)f(x尸c,則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(XTxO)f(x尸8,則直線x=xO是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直

漸近線。

4、極限運(yùn)算法則定理有限個(gè)無(wú)窮小之和也是無(wú)窮小；有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮??；有限個(gè)無(wú)窮小的乘

積也是無(wú)窮小；定理如果Fl(x)NF2(x),而limFl(x)=a,limF2(x)=b,那么aNb.

5、極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限lim(x—>O)(sinx/x)=l；lim(x-8)(l+l/x)x=l.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列｛xn｝>｛yn｝、｛zn｝滿足下列條件:yn<xn<zn且

limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,對(duì)于函數(shù)該準(zhǔn)則也成立。

單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

6、函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xO的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x-xO時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)xO處的函數(shù)值f(xO),即

lim(x—xO)f(x)=f(xO),那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=xO沒(méi)有定義；2、雖在x=xO有定義但lim(x—xO)f(x)不存在；3、雖在x=xO有定義且lim(x—xO)f(x)存在，但

lim(x—xO)f(x)#f(xO)時(shí)則稱函數(shù)在xO處不連續(xù)或間斷。

如果xO是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱xO為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)(左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳

躍間斷點(diǎn))。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn))。

定理有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間lx上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy=｛y|y=f(x),x《Ix｝上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反

三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那

么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即mgf(x)SM.定理(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)

異號(hào)(即f(a)xf(b)<0),那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)q(a<[<b)。

推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。

第二章導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)xO處的左極限lim(h--O)[f(xO+h)-f(xO)]/h及右極限lim(h一+0)

[f(xO+h)-f(xO)]/h都存在旦相等，即左導(dǎo)數(shù)f」(xO)右導(dǎo)數(shù)f+，(xO)存在相等。

2、函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處可導(dǎo)=>函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處連續(xù)9在該點(diǎn)可導(dǎo)。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件而

不是充分條件。

3、原函數(shù)可導(dǎo)則反函數(shù)也可導(dǎo)，且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

4、函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處可微=>函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)；函數(shù)f(x)在點(diǎn)xO處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)處可導(dǎo)。

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那么在開(kāi)區(qū)間(a,

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)1(a<q<b),使的函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：V(1)=0.

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)g(a<fb),使的

等式f(b)-f(a)=f?)(b-a)成立即f，(1)=［f(b)-f(a)］/(b-a)。

3、定理(柯西中值定理)如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F，(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在

開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)。使的等式［f(b)-f(a)］/［F(b)-F(a)］=f，?/F@成立。

4、洛必達(dá)法則應(yīng)用條件只能用與未定型諸如0/0、8/8、0X8、00-00、00、18、00。等形式。

5、函數(shù)單調(diào)性的判定法設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么：(1)如果在(a,b)內(nèi)f(x)>0,那么函數(shù)f(x)在［a,b］

上單調(diào)增加；(2)如果在(a,b)內(nèi)f，(x)<0,那么函數(shù)f(x)在［a,b］上單調(diào)減少。

如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f'(x尸0的根及f，(x)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)f(x)

的定義區(qū)間，就能保證f'(x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定符號(hào)，因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。

6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，xO是(a,b)內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，如果存在著點(diǎn)xO的一個(gè)去心鄰域，對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)

x,f(x)f(xO)均成立，就稱f(xO)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值。

在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)(導(dǎo)數(shù)

為0的點(diǎn))，但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)。

定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在xO處可導(dǎo)，且在xO處取得極值，那么函數(shù)在xO的導(dǎo)數(shù)為零，即f，(xO)=O.定理(函數(shù)取得極值的第

一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在xO一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f，(xO)=O,那么：(1)如果當(dāng)x取xO左側(cè)臨近的值時(shí)，f，(x)恒為正；當(dāng)x去xO右側(cè)臨近的值時(shí),

f'(x)恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在xO處取得極大值;⑵如果當(dāng)x取xO左側(cè)臨近的值時(shí)，F(xiàn)(x)恒為負(fù);當(dāng)x去xO右側(cè)臨近的值時(shí),F(x)恒為正,那么函

數(shù)f(x)在xO處取得極小值；(3)如果當(dāng)x取xO左右兩側(cè)臨近的值時(shí)，f，(x)恒為正或恒為負(fù)，那么函數(shù)f(x)在xO處沒(méi)有極值。

定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在xO處具有二階導(dǎo)數(shù)且f，(xO)=O,f"(xO)翔那么：⑴當(dāng)f"(xO)<O時(shí)，函數(shù)f(x)在xO處取得極

大值；(2)當(dāng)f”(xO)>O時(shí)，函數(shù)f(x)在xO處取得極小值；駐點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)，不是駐點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。

7、函數(shù)的凹凸性及其判定設(shè)f(x)在區(qū)間lx上連續(xù)，如果對(duì)任意兩點(diǎn)xl,x2恒有f[(xl+x2)/2]<[f(xl)+f(xl)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間lx上圖形是

凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么稱f(x)在區(qū)間lx上圖形是凸的。

定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么(1)若在(a,b)內(nèi)f"(x)>0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形

是凹的；(2)若在(a,b)內(nèi)f"(x)<0,則f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖形是凸的。

判斷曲線拐點(diǎn)(凹凸分界點(diǎn))的步驟(1)求出f"(x)；(2)令f"(x)=O,解出這方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)的實(shí)根；(3)對(duì)于(2)中解出的每一個(gè)實(shí)根xO,檢查f”(x)

在xO左右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，如果f”(x)在xO左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號(hào)，那么當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)(xO,f(xO))是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相

同時(shí)，點(diǎn)(xO,f(xO))不是拐點(diǎn)。

在做函數(shù)圖形的時(shí)候，如果函數(shù)有間斷點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)也要作為分點(diǎn)。

第四章不定積分

1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對(duì)任一xei都有F，(x尸f(x)；簡(jiǎn)單的說(shuō)連續(xù)函數(shù)

一定有原函數(shù)。

分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是幕函數(shù)和正余弦或幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)幕函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u,這樣用一次

分部積分法就可以使基函數(shù)的累降低一次。如果被積函數(shù)是幕函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或基函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設(shè)對(duì)數(shù)和反三角函數(shù)為U.

2、對(duì)于初等函數(shù)來(lái)說(shuō)，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。

第五章定積分

1、定積分解決的典型問(wèn)題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

2、函數(shù)可積的充分條件定理設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間［a,b］上可積，即連續(xù)=>可積。

定理設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間［a,b］上可積。

3定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū)間［a,b］±f(x)>0則Jabf(x)dxK).推論如果在區(qū)間［a,b］上f(x)Sg(x)則Jabf(x)dx￡|abg(x)dx.推論

|Jabf(x)dx@ab|f(x)|dx.性質(zhì)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值和最小值，則m(b-a)<fabf(x)dx<M(b-a),該性質(zhì)說(shuō)明由被積函數(shù)在積分

區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍。

性質(zhì)(定積分中值定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在積分區(qū)間［a,b］上至少存在一個(gè)點(diǎn)號(hào)使下式成立：Jabf(x)dx=f(g)(b-a)。

4、關(guān)于廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上除點(diǎn)c(a<c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無(wú)界，如果兩個(gè)廣義積分jacf(x)dx與Jcbf(x)dx都

收斂，則定義Jabf(x)dx=Jacf(x)dx+fcbf(x)dx,否則(只要其中一個(gè)發(fā)散)就稱廣義積分Jabf(x)dx發(fā)散。

第六章定積分的應(yīng)用

求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)

直角坐標(biāo)系下(含參數(shù)與不含參數(shù))

極坐標(biāo)系下(r,0,x=rcos0,y=rsin0)(扇形面積公式S=R20/2)

旋轉(zhuǎn)體體積(由連續(xù)曲線、直線及坐標(biāo)軸所圍成的面積繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成)(且體積V=Jab無(wú)［f(x)］2dx,其中f(x)指曲線的方程)

平行截面面積為已知的立體體積(V=JabA(x)dx,其中A(x)為截面面積)

功、水壓力、引力

函數(shù)的平均值(平均值y=l/(b-a)*；abf(x)dx)

第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、多元函數(shù)極限存在的條件極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于PO(xO,yO)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式，例如

沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,yO)時(shí)，即使函數(shù)無(wú)限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過(guò)來(lái)，如果當(dāng)P(x,y)以不同

方式趨于P0(x0,yO)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x,y)={0(xy)/(xA2+yA2)xA2+yA2#0

2、多元函數(shù)的連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開(kāi)區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0,yO)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0GD,如果lim(x-xO,y-yO)f(x,

y)=f(xO,yO)則稱f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,yO)連續(xù)。

性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一

次。

3、多元函數(shù)的連續(xù)與可導(dǎo)如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能

保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(PO),但不能保證點(diǎn)P按任何方

式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(PO)。

4、多元函數(shù)可微的必要條件一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而

不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(xO,yO)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏

導(dǎo)數(shù)必為零。

定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又僅(xO,y0)=0,fy(xO,y0)=0,令fxx(xO,yO)=O=A,

fxy(xO,yO)=B,fyy(xO,yO)=C,則f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)處是否取得極值的條件如下：⑴AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)

有極小值；(2)AC-B2<0時(shí)沒(méi)有極值；(3)AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒(méi)有。

7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組僅(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

(2)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(xO,yO),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C.(3)定出AC-B2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(xO,yO)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。

第八章二重積分

1、二重積分的一些應(yīng)用曲頂柱體的體積曲面的面積(A=JW[l+f2x(x,y)+f2y(x,y)]do)

平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(biāo)(x=l/A0xdo,y=l/Ajjydo；其中A4do為閉區(qū)域D的面積。

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Ix=Hy2p(x,y)do,Iy=JJx2p(x,y)do；其中p(x,y)為在點(diǎn)(x,y)處的密度。

平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力(FxFyFz)

2、二重積分存在的條件當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，極限存在，故函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x,y)<\|/(x,y),則有不等式J〔f(x,y)dxdy<IJ\|/(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|<f(x,y)<|f(x,

y)|又有不等式y(tǒng))dxdy回|f(x,y)|dxdy.性質(zhì)設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，◎是D的面積，則有mo4f(x,y)doWM6。

性質(zhì)(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，◎是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)&：])使得下式成立：Uf(x,y)do=f&鏟。4、

二重積分中標(biāo)量在直角與極坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標(biāo)系換為極坐標(biāo)系，只要把被積函數(shù)中的x,y分別換成ycosO、rsinO,并把直角

坐標(biāo)系中的面積元素dxd

線代部分

概念、性質(zhì)、定理、公式必須清楚,解法必須熟練，計(jì)算必須準(zhǔn)確

A可逆

r(A)=n

瑚列(行)向量線性無(wú)關(guān)

A的特征值全不為0

Ar=。只有零解<=>\fx^o,Ax^o

VPeR",Ax=￡總有唯一解

A是正定矩陣

A^E

A=pg…p.,p,是初等陣

存在〃階矩陣氏使得AB=E或AB=E

?：全體〃維實(shí)向量構(gòu)成的集合R叫做n維向量空間.

A不可逆

r(A)<n

|A|=0o朗勺列(行)向量線性相關(guān)

0是砸特征值

Ax=。有非零解,其基礎(chǔ)解系即為A關(guān)于4=0的特征向量

r{aE+bA)<n

@,￡+刎=00/4七+必)》=0有非零解

.2=-f

向量組等價(jià)

矩陣等價(jià)（二）

』反身性、對(duì)稱性、傳遞性

矩陣相似（）

矩陣合同（）,

J關(guān)于q,6,…，，

①稱為"的標(biāo)準(zhǔn)基，”中的自然基，單位坐標(biāo)向量外材87；

e

②G,…,n線性無(wú)關(guān);

③標(biāo),4,…聞=1;

(4)trE=n；

⑤任意一個(gè)〃維向量都可以用e”02，…,2線性表示.

4.

a2\ain

行列式的定義|D“==E(一1)"""%'

J\J2Jn

an2an?

V行列式的計(jì)算:

①行列式按行（列）展開(kāi)定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.

推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.

AAO=HIM

0*B

②若A與8都是方陣（不必同階），則（拉普拉斯展開(kāi)式）

0

=(-ir|A||B|

B3

③上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.

*04“

a2n-\a2n-\n（n-i）

④關(guān)于副對(duì)角線：—

=（—1廠廠4“生”ani（即：所有取自不同行不同列的八個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）

an\0??10

111

玉x2X“

⑤范德蒙德行列式：X\X2X：=na-*

\<j<i<n

耳I短

(卬?I24.、

a2n

=(%L或/〃

矩陣的定義由"zx〃個(gè)數(shù)排成的相行n列的表A稱為〃2X72矩陣.記作：A

\ant\am2

A\

Ai4iAH

伴隨矩陣IA*=(AJ="AzA"，&為|A|中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.

、A〃4〃

V逆矩陣的求法:

①T(ab\1(d-b主換位

?：=-------

kcd)ad-bc\-ca副變號(hào)

-1

②(AE)初等行變換>(EA)

V方陣的幕的性質(zhì)：AmAn=A""+n(4")"=0嚴(yán)

J設(shè)4*"，紇xs，A的列向量為%%…，a“，B的列向量為*氏…,女,

42瓦、

/、%b”b、./、

則鉆=Cg=(即。2,…，％)-""=(。，‘2，，G)<=>明=q(z=l,2,,5)。丹為Ax=c;的解

&“2b-

oA(44?.,)?/A=?⑶朋(A?,p,oc“2，,q可由4,a2，4線性表示?即：C的列向量能由4的列向量線性表示，B為系數(shù)矩陣.

同理：C的行向量能由B的行向量線性表示，A，為系數(shù)矩陣.

4?12

即,、a\\P\+。12夕2++即0=。

aa?\0i+。22夕2+

。21。222nAC2+4他=G

即：—o<

[4。an2)邛〃,Cm，am\P\+。川2夕2++。,“戰(zhàn)=c

V用對(duì)角矩陣A?乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用A的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的⑥向量;

用對(duì)角矩陣A@乘一個(gè)矩陣，相當(dāng)于用A的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的@向量.

V兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘.

(AC，、

分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：

3

（Ay

分塊矩陣的逆矩陣：——

B-')〔3)lA-1J

eV'%(A.<?￥'_(0、

小B)[cB)八一十次B,

4、4為、

分塊對(duì)角陣相乘：A=4,B==AB=,4"=f4]

k^22>

&J、“22B??,[A)

A、(BA,A)*，(-1)“A⑻

分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣:)=[(一1)”卻A*

BJAB)

矩陣方程的解法（IA|00）：設(shè)法化成（I）AX=8或(n)X4=B

⑴的解法：構(gòu)造（AX）

（II）的解法：將等式兩邊轉(zhuǎn)置化為"X7=8。

用（I）的方法求出X。再轉(zhuǎn)置得X

①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.

②單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).

③部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).(向量個(gè)數(shù)變動(dòng))

④原向量組無(wú)關(guān)，接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān)，原向量組相關(guān).(向量維數(shù)變動(dòng))

⑤兩個(gè)向量線性相關(guān)O對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān)p軟林/

⑥向量組中任一向量a都是此向量組的線性組合.

⑦向量組％,%，…,區(qū)線性相關(guān)。向量組中至少有一個(gè)向量可由其余〃-1個(gè)向量線性表示.

向量組囚,。2,4線性無(wú)關(guān)o向量組中每一個(gè)向量6都不能由其余〃-1個(gè)向量線性表示.

⑧〃，維列向量組囚,名，…,％線性相關(guān)=r(A)<”；

m維列向量組名,％,…,火線性無(wú)關(guān)or(A)=〃.

⑨若a”a?,…,4線性無(wú)關(guān),而4線性相關(guān),則《可由a”％線性表示,且表示法唯一.

⑩矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩=矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).

行階梯形矩陣|可畫(huà)出一條階梯線,線的下方全為0；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為

1,且這些非零元所在列的其他元素都是0時(shí)，稱為|行最簡(jiǎn)形矩陣

@矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；

矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩，且不改變行向量間的線性關(guān)系.

即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.

V矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:

對(duì)A施行一次初等⑥變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣⑥乘A；

對(duì)A施行一次初等@變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣的乘A.

矩陣的屬如果矩陣A存在不為零的r階子式，且任意r+1階子式均為零，則稱矩陣A的秩為九記作"A）=r

向量組的秩|向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩?記作廠（4,。2，，區(qū),）

矩陣等價(jià)|A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B.記作：A=B

向量組等價(jià)|%,%，…，%和笈,&…，月”可以相互線性表示?記作：（4，%「、4）=（凡42/一，力,）

?矩陣A與3等價(jià)o~4Q=8,尸,?？赡?r（冷=r（3）,43為同型矩陣/>4,3作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).

矩陣A與B作為向量組等價(jià)o廠（%4,…,%）="（4用，…血）="%,4,…%，用，用，…,月）=>

矩陣A與3等價(jià).

Ax

?向量組后，尸2,…,后可由向量組a，%…，%線性表示0=B有解Or（a,,a2,--,an）="（/,%…a”,4四，…，⑷=>r（4四，…，力.）W”囚.,.

?向量組4，4…,見(jiàn)可由向量組…線性表示，且s>〃，則四,外…血線性相關(guān).

向量組片血，…，氏線性無(wú)關(guān)，且可由％%線性表示，則5W〃.

?向量組片,用,…0可由向量組%4,…，4線性表示，且/■（4外…,&）=?%4，…，4），則兩向量組等價(jià)；P

?任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).

@向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定.

?若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.

?設(shè)A是〃7X/2矩陣，若r(A)=/〃，A的行向量線性無(wú)關(guān)；

若r(A)=〃，A的列向量線性無(wú)關(guān)，即：線性無(wú)關(guān).

V矩陣的秩的性質(zhì):

①若若A=O=r(A)=0°wr(4?x?)wmin(m,n)②r(A)=)=r(A'A)P教材101,例15

③r(M)=r(A)若左w0

④右小4紇"，，右什"一B)=八n在fr(勺A)列+向r(量B)全<n部是以=曲解

⑤廠(AB)Wmin{r(A),r(B)}

若4可逆=>r(AB)=r(B)

⑥二二KV即：可逆矩陣不影響矩陣的秩

若3可逆=>r(A8)=r(A)

oAr=o只有零解

一fr(AB)=r(B)

⑦若KA?x?)=6

AB=OB=O

A在矩陣乘法中有左消去律

AB=AC^B=C

r(AB)=r(B)

若“紇><.,)=〃=>'

3在矩陣乘法中有右消去律.

(EO\(Ro\

⑧若r(A)=r=>A與唯一的r等價(jià)，稱'為矩陣帕勺等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型.

{0O[O0

?r(A±B)^r(A)+r(B)max{r(A),r(B)}Wr(A,B)Wr(A)+"B)

'A'AC、

⑩r38人(°=r(A)+r(B)w?A)+r(8)

0、°B,

/<=>Ar=(有無(wú)窮多解當(dāng)仍方陣叱>|A|=0

<〃(u>表示法不唯一

,a“線性相關(guān)oAx=0有非零解

夕可由4,。2,，a.線性表水oAr=￡有解<=>r(A)=/3)<

JoAx=Q有唯一組解棄您方陣時(shí)_>閨聲on克萊姆法則

=〃(o表示法唯一

\,4,線性無(wú)關(guān)04犬=0只有零解

Or(A)豐r(A夕)

夕不可由4,%,,%線性表示0加二"無(wú)解〈0r(24)<〃(4)

B教材72

=r(A)+l=r(A/?)

講義87

Ax=加有無(wú)窮多解其導(dǎo)出組有非零解

@:

Ax=/有唯一解其導(dǎo)出組只有零解

線性方程組的矩陣式|Ax=fi向量式|xial+x2a2++xnan=/3

rT1叫=|A|r77

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：W=A(AB)=(kA)=kA'(A±B)=A'±B⑷)，=(H)T（AT）*=（A*）T

矩陣可逆的性質(zhì)：⑷尸=A(AB)-1=B-'AT'(M)-1=k-'AT'(A±BY'A：'±B-'⑷)*=(A&)T=W

伴隨矩陣的性質(zhì)：.3『A(AB)*=8*A*(M)*=r-'A*(A±3)*")*="=俞（A*）*=（A*）￡

n若r(A)=n

r(A*)=<1若r(A)=〃-l網(wǎng)=耶］|M|=F|A|1^1=14M土同小土國(guó)A4*=A*A=E（無(wú)條件恒成立）

0若

(1)7,7為是Av=o的解，7+%也是它的解

(2)〃是Ar=。的解,對(duì)任意仁切也是它的解.,,

>，欠萬(wàn)不B于幺a口

⑶7，%，，%是Ac=。的解，對(duì)任意攵個(gè)常數(shù)

4，為，4，也是它的解.

線性方程組解的性質(zhì)：(4)7是4%=燃解，〃是其導(dǎo)出組Ax=o的解,/+〃是Ar=￡的解

⑸小,仍是Ax=夕的兩個(gè)解,7-%是其導(dǎo)出組Ax=o的解

(6)%是加=夕的解,則7也是它的解o7-%是其導(dǎo)出組Ax=o的解

(7)7，%,，%是Ar=￡的解，則

+4%+4%也是加=P的解o4+4+4.=1

+否%+4%是=o的解4+4+4=。

■J設(shè)A為mx〃矩陣，若r(A)=m=r(A)=r(A。)=Ax=尸一定有解,

當(dāng)〃2c〃時(shí),一定不是唯一解n,<—V,?.則該向量組線性相關(guān).

向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)

機(jī)是"A)和"A4)的上限.

V判斷丐外，，〃,是Ax=。的基礎(chǔ)解系的條件:

①7，%，，/線性無(wú)關(guān)；

②/,%,都是Ax=o的解；

③s=〃-r(A)=每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù).

V一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一.

V若〃*是Av=〃的一個(gè)解，44，?.是Ar=。的一個(gè)解=>4*，后,〃*線性無(wú)關(guān)

VAx=o與Br=o同解(A,B列向量個(gè)數(shù)相同)，則：

①它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等;

②它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性;

③它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.

4兩個(gè)齊次線性線性方程組Ar=。與&=。同解or=r(A)=r(B).

B

V兩個(gè)非齊次線性方程組Ax=尸與Bx=7都有解，并且同解O=r（A）=r（8）.

V矩陣A“*"與片*“的行向量組等價(jià)。齊次方程組Ar=。與Bx=。同解oPA=8（左乘可逆矩陣P）；

，教材101

矩陣A“*"與5*”的列向量組等價(jià)oAQ=B（右乘可逆矩陣。）.

v關(guān)于公共解的三中處理辦法：

①把（I）與（H）聯(lián)立起來(lái)求解；

②通過(guò)（I）與（H）各自的通解，找出公共解；

當(dāng)（I）與（口）都是齊次線性方程組時(shí)，設(shè)7,4,小是（D的基礎(chǔ)解系，/，%是（II）的基礎(chǔ)解系，

則（I）與（II）有公共解O基礎(chǔ)解系個(gè)數(shù)少的通解可由另一個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系線性表示.

即：廠（7，%,彷）=?7，〃2，730小+。2%）

當(dāng)Q）與（H）都是非齊次線性方程組時(shí)，設(shè)5+eg+Q%是（D的通解，$+是（II）的通解，

兩方程組有公共解o芻+c*3—芻可由7,%線性表示.即：

?/，%）=-7，〃2芻+。3〃3一,

③設(shè)（D的通解已知，把該通解代入QD中，找出（I）的通解中的任意常數(shù)所應(yīng)滿足（II）的關(guān)系式而

求出公共解。

標(biāo)準(zhǔn)正交基|〃個(gè)〃維線性無(wú)關(guān)的向量，兩兩正交，每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.

--------------------------------------------------------------------------?.______________________________

向量。二（4嗎，，?！ǎ┡c夕=（々也，也J的內(nèi)積（a,0）=工咕=（岫、+a2b2++。也

-------------------------------------------------/=i

。與力正交（。,尸）=0.記為：a工B

--------------------------------“I--------------

+a

向量a=（o1M2,，%）的長(zhǎng)度同=，（a,a）=Zd=Ja：+W+n

----------------------------j=l

a是單位向量||a|二J（a,a）=l.即長(zhǎng)度為1的向量.

J內(nèi)積的性質(zhì)：①正定性：（。,。）20,且3。）=0=。=。

②對(duì)稱性：（a，B）=（B，a）

③雙線性：（a,4+乩）=（%㈤+（a,尾）

（0+。2，0=（如p）+（。2，0

（ca,%=c（a,B）=（?,c/3）

A的特征矩陣|AE-A.

A的特征多項(xiàng)式||2E-A|=^/l).

VM/l)是矩陣A的特征多項(xiàng)式=>°(A)=O

A的特征方程||4E-A|=0.Ax^Ax(x為非零列向量)->Ax與x線性相關(guān)

V|A|=44A￡；4=trA,trA稱為矩陣A的網(wǎng).

1

V上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的〃各元素.

V若|川=0,則4=0為A的特征值,且Ax=。的基礎(chǔ)解系即為屬于2=0的線性無(wú)關(guān)的特征向量.

22

?J”A)=1oA一定可分解為A=0色,h2,,bn),A=(albl+a2b2++a*“)A,從而A的特

兒

征值為：4=trA=q偽+4偽++叫,4=4==4,=°P卅南358。

?(a?a2,,%)，為A各行的公比，侑也，，〃)為A各列的公比.

V若A的全部特征值4,4，,4,，/(A)是多項(xiàng)式，則：

①若A滿足f(A)=O=>A的任何一個(gè)特征值必滿足/(/,.)=0

②/(A)的全部特征值為〃4)J(4)，JW；|/(&|=/(4)/(4)fW-

V初等矩陣的性質(zhì):

1M,/)|=-1|及激)]|=%|即"切|=1

Eli^Y=E[i(k)]=E[j,i(k)]

=￡[*)]E[i,j(k)]-}=E[i,j(,-k)]

仇欣）］*=田電）］

V設(shè)/(幻=?/"+4,_]1++4*+%,對(duì)〃階矩陣4規(guī)定：/04)=。,“4"+4?_61++4A+/E

為A的一個(gè)多項(xiàng)式.

kA/a

aA+bEaA+b

Ar2

%是4的特征值,則:，A-1分別有特征值

44%

A*-=2

4

Am