畫數(shù)學(xué)助力思維拔節(jié)

摘要：畫數(shù)學(xué)中的“畫”指的是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，蘊含滲透著幾何直觀。從對比、實踐、辨析三個角度闡述了將“畫”運用于數(shù)學(xué)解題，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)的方法，并配以具體實例，剖析了“畫”如何幫助學(xué)生開拓思維，解決具體數(shù)學(xué)問題，旨在通過“畫”，使每一位學(xué)生的“想”躍然紙上，助力學(xué)生的思維拔節(jié)。關(guān)鍵詞：畫數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；幾何直觀；小學(xué)數(shù)學(xué)畫數(shù)學(xué)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過“畫概念”“畫計算”“畫模型”“畫思路”“畫結(jié)構(gòu)”等，有效地提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［1］250-255。小學(xué)生的思維主要是直觀思維與形象思維，他們在理解概念、計算以及解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會使用簡單符號或幾何圖形作為輔助，也會使用“畫”法來表達思維路徑［2］。一、畫數(shù)學(xué)之“何意”所謂“畫數(shù)學(xué)”，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，通過符號或簡單的圖形來表達題意，或以“畫”的方式來表達思維過程［3］67。所謂畫數(shù)學(xué)之“何意”，即畫數(shù)學(xué)于思維的價值。（一）激趣數(shù)學(xué)知識具有抽象的特點，對于許多學(xué)生而言是枯燥的，但“畫”是具象且直觀的，有助于學(xué)生接受和理解數(shù)學(xué)知識。學(xué)生可以借助“畫”產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，由興趣出發(fā)，自發(fā)地進行思考。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊“認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)”的教學(xué)中，有這樣一個問題：50更接近48還是53呢？教師可引導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)線圖，在數(shù)線圖上逐一標(biāo)出40～60，然后讓學(xué)生在48、53處畫上兩座小房子，同時提問：“50這數(shù)字更愛去誰的家？”借助數(shù)線圖，學(xué)生可以將數(shù)和形聯(lián)系起來，以確定數(shù)的范疇，同時借助繪制小房子的方式，在腦海中形成直觀的幾何表象，產(chǎn)生探究問題的欲望?？梢姡嫈?shù)學(xué)能夠在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的前提下，切實提高他們的數(shù)學(xué)思維水平。（二）促解“畫”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“腳手架”，學(xué)生在“畫”的過程中能促進自身的數(shù)學(xué)理解表達。通過將思考轉(zhuǎn)變?yōu)椤爱嫛钡男袨?，學(xué)生的學(xué)習(xí)將變得有序，“畫”的好習(xí)慣為學(xué)生形成更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維奠定了基礎(chǔ)［3］69。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊中的“排隊問題”時，教師通常會給出小明在隊列中從前往后數(shù)和從后向前數(shù)分別排在第幾位的條件，并由此要求學(xué)生推算出隊列成員的總數(shù)。在教學(xué)過程中，教師可以使用畫圖法，通過畫一個圈或其他圖示，幫助學(xué)生理解為什么在計算時需要將總和減去1—這是因為小明的位置被重復(fù)計算了兩次。通過這種方法，學(xué)生可以透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，迅速找到問題的解決方案。適時使用畫圖法，將抽象的解題過程置于直觀的情境中，有助于學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，從而有效提升他們的比較、分析、綜合等思維能力。（三）致用為了構(gòu)建完整且系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，有計劃的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。然而，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往只能使學(xué)生獲得碎片式的數(shù)學(xué)知識。為了彌補這一不足，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材精心設(shè)計了練習(xí)課環(huán)節(jié)，旨在幫助學(xué)生將分散的知識點整合起來，形成系統(tǒng)化的理解。這些練習(xí)課不僅能強化學(xué)生對已學(xué)內(nèi)容的記憶，還能促進單元間知識點的相互關(guān)聯(lián)，為學(xué)生構(gòu)建了知識網(wǎng)絡(luò)。思維導(dǎo)圖以數(shù)學(xué)知識為核心脈絡(luò)，通過圖形化、結(jié)構(gòu)化的方式展現(xiàn)知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，為學(xué)生搭建直觀、立體且易于記憶的知識體系。這種學(xué)習(xí)方式不僅讓復(fù)習(xí)過程變得條理清晰，還能有效提升學(xué)生的邏輯思維能力和自主學(xué)習(xí)能力。例如，在帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“年月日”時，教師以年、月、日三大板塊為主線，分別梳理年的分支—平年和閏年；月的分支—大月、小月和特殊月；日的分支—計時法和時間的計算。學(xué)生回憶、交流，教師相機板書，形成思維導(dǎo)圖。這一過程融合了美術(shù)元素，通過“畫”提煉重要知識點，使學(xué)生的思維得以外顯，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。二、畫數(shù)學(xué)之“何為”在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過“畫”將抽象的數(shù)學(xué)知識利用多樣的圖像展現(xiàn)出來，讓學(xué)生的思維外顯。這樣，教師便能看到學(xué)生的思維軌跡。畫數(shù)學(xué)之“何為”即“如何做”。（一）畫概念：讓本質(zhì)得以揭示“畫概念”是指畫出有助于理解某一數(shù)學(xué)概念的圖畫。“畫概念”的關(guān)鍵在于完成由抽象到具象的過渡，這樣學(xué)生才能抓住概念實質(zhì)。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”時，教師引導(dǎo)學(xué)生用手里的正方形紙片來表達1/2，并提問：“為什么每個人的分法不同，但都可以用1/2來表達？”由此學(xué)生認(rèn)識到，無論分的形狀如何，只需將一整體平均分成兩份，其中每份皆為整體的二分之一。教師可繼續(xù)追問：“還有多少類分法？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要過正方形的中心點即可將正方形平均分成兩部分，過中心點可以畫無數(shù)條線，因此有無數(shù)種分法。學(xué)生通過多樣的“畫”感悟出了分?jǐn)?shù)表達的是整體和它所分成的部分之間的關(guān)系。可見，畫數(shù)學(xué)重視數(shù)學(xué)概念實質(zhì)，能提高學(xué)生的思維品質(zhì)。（二）畫計算：讓算理得以理解對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)計算枯燥乏味，算理深奧難懂，他們需要將計算過程轉(zhuǎn)化為腦海中可表達、可操作、可探究的具體情景。所謂“畫計算”，是指在計算教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生將算理、計算方法跟形象的圖畫進行勾連，使之易于觀察、便于對比，從而讓學(xué)生感悟算理、掌握算法。例如，在學(xué)習(xí)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，對于12×14這道算式，很多學(xué)生雖不會用豎式正確計算得數(shù)，也不明白算理，但能用拆分法得出正確結(jié)果。基于此，教師可利用點子圖，引導(dǎo)學(xué)生把算式和拆分法聯(lián)系起來，幫助學(xué)生直觀地理清每一步計算對應(yīng)的圖示，滲透幾何直觀，使學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想，從而能深度理解算理。在深入理解拆分法后，學(xué)生可以嘗試用豎式表示分步計算的過程和結(jié)果，將豎式計算的每一步都與橫式對應(yīng)起來，打通豎式與橫式的聯(lián)系，感受豎式與橫式是同“理”而不同“法”，豎式僅是橫式的另一種表達，其中的算理是一致的。（三）畫思路：讓難點得以突破在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，通過理清解題思路，學(xué)生能夠提升解題能力?！爱嬎悸贰币话阌兴膫€步驟：第一，仔細(xì)讀題，明確題意；第二，分析題目，理清數(shù)量關(guān)系；第三，畫數(shù)量關(guān)系圖，直觀體現(xiàn)關(guān)系；第四，看圖，列式解決問題。在學(xué)習(xí)倍數(shù)問題時，畫線段圖是一種重要的解題方法。例如，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”的教學(xué)中，有這樣一個問題：“小紅和媽媽的年齡之和是40歲，媽媽的年齡是小紅的4倍，請問媽媽和小紅各多少歲？”像這樣的問題，學(xué)生通過畫圖，便能一目了然。如果把小紅的年齡作為1倍，媽媽的年齡是小紅年齡的4倍，那么小紅和媽媽的年齡和就相當(dāng)于小紅年齡的1+4=5（倍），即40歲是小紅年齡的5倍，這樣就可以求出1倍的量是多少，進而求出幾倍的量（4倍）。繪制線段圖的方法，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有依據(jù)，為他們分析題中的數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)。對于和差問題、和倍問題、差倍問題的數(shù)量關(guān)系，多數(shù)學(xué)生理解起來會有些困難。若是將題中的數(shù)量關(guān)系變成線段圖，學(xué)生便能對數(shù)量關(guān)系產(chǎn)生直觀的認(rèn)識，他們的解題思路也會變得清晰。（四）畫模型：讓結(jié)論得以凝練數(shù)學(xué)模型是從數(shù)學(xué)對象中提煉并歸納出來的，揭示了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)?！爱嬆Ｐ汀笨梢詭椭鷮W(xué)生理解數(shù)學(xué)的概念、法則等等，教師可以引導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)結(jié)論得到凝練［4］。例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級上冊有一道思考題：“小紅做了9朵紅花，小明比小紅多做了3朵。小明做了多少朵？”根據(jù)題意，學(xué)生可用圓形表示小紅的花朵，三角形表示小明的花朵（如圖1所示），先畫出小紅的花朵數(shù)量，再通過一一對應(yīng)，把小紅做的朵數(shù)加上小明比小紅多做的3朵就能求出小明做的朵數(shù)，從而得出該類問題的一般模型：較多的量=較少的量＋相比多出的部分。通過先畫點子圖再寫算式，學(xué)生解題的步驟變得更加具體，學(xué)生的思維也更具體化，學(xué)生所得到的結(jié)論也得以凝練。（五）畫結(jié)構(gòu)：讓體系得以構(gòu)建在龐大的數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中，知識點之間存在著一定的聯(lián)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)最終需要由點及面，形成橫向與縱向共同生長的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)。教師如果能用顏色、線條、圖形、聯(lián)想和想象組成一張張充滿想象力與創(chuàng)造力、獨具巧思、色彩艷麗的思維導(dǎo)圖，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)本身的特點，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使他們尋找知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識體系和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)［1］252-253。例如，在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”的復(fù)習(xí)課時，教師一開始就拋出兩個問題：本單元學(xué)了什么？如何探究的？要求學(xué)生帶著問題4人一組進行單元知識梳理，用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)/a/ka+VpweXPQX0YsfNYsA==，并進行展示匯報與交流。在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師啟發(fā)學(xué)生由整體到部分，又由部分匯成整體，借用“畫結(jié)構(gòu)”構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系，找出每個部分之間的內(nèi)在聯(lián)系，進一步感受“轉(zhuǎn)化”之魅力，以達到確立思維結(jié)構(gòu)之目的。三、畫數(shù)學(xué)之“何育”畫數(shù)學(xué)之“何育”即“如何培養(yǎng)”。借助畫數(shù)學(xué)，學(xué)生可以在對比中尋求最優(yōu)策略，在實踐中享受思考的樂趣，在辨析中感受知識的內(nèi)涵。（一）用對比，畫出思維的價值小學(xué)生處在具體運算階段，他們在前運算階段已經(jīng)有了充分的圖式與經(jīng)驗積累，可以把事物發(fā)展的規(guī)律簡單地抽象出來。畫數(shù)學(xué)符合這一發(fā)展規(guī)律，可以使學(xué)生抽象地考慮物體的“圖形化”。在比較同一題目的不同解法時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)畫圖法能將自己思維的全過程表達得清晰明確，能簡明地表達數(shù)量關(guān)系，使審題時間大為縮短。同時，數(shù)量關(guān)系的有效理清，既加快了學(xué)生的解題速度，又大大提高了學(xué)生的解題正確率。今后再碰到這樣的題目，學(xué)生肯定首選用畫圖的方法去分析數(shù)學(xué)題目。利用畫圖將抽象變?yōu)榫唧w，學(xué)生能體驗探索、發(fā)現(xiàn)、感悟的整個過程，學(xué)會解題的技巧，獲得更深的情感體驗。畫圖給學(xué)生一個探索的方向、途徑，學(xué)生能主動參與到學(xué)習(xí)中去，這樣，數(shù)學(xué)課堂才會更加鮮活高效［5］221。（二）重實踐，畫出思維的過程畫數(shù)學(xué)可以使量與量的內(nèi)在聯(lián)系更加直觀地表現(xiàn)出來，是解決數(shù)學(xué)問題行之有效的途徑之一。分析題目時，學(xué)生要注意將數(shù)與形相聯(lián)系，并根據(jù)題目的具體情況，把復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，化繁為簡，從而在提高學(xué)習(xí)興趣的同時，切實提高分析問題、解決問題的能力［5］221。畫數(shù)學(xué)巧妙地將數(shù)和形結(jié)合在一起，能直觀地體現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生順利而又迅速地解題，在滲透數(shù)形結(jié)合、極限思想的同時，讓學(xué)生達到心中有圖見數(shù)和有數(shù)見圖的境界。（三）明辨析，畫出思維的深度幾何直觀的主要理念是“數(shù)形結(jié)合”，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助“數(shù)形結(jié)合”探索數(shù)學(xué)規(guī)律。畫圖能力的發(fā)展是一個漸進的過程，它由最初自由繪制圖形和示意圖轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)繪制圖形，進而發(fā)展為繪制抽象樹形圖和線段圖，使學(xué)生學(xué)會在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獨立地發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)系并合理地加以改造，使規(guī)律探索類題目化難為易。讓學(xué)生調(diào)動已有的經(jīng)驗進行畫圖可以幫助學(xué)生更好地探究規(guī)律，為學(xué)生之