高中數(shù)學復習專題27 等差數(shù)列及其前n項和9題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪專題復習全套考點突破和專題檢測（原卷版）

專題27等差數(shù)列及其前n項和9題型分類1．等差數(shù)列的有關概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，定義表達式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)．(2)等差中項由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b.2．等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d或Sn＝eq\f(na1＋an,2).3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．常用結論1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當d＝0時，{an}是常數(shù)列．4．數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.（一）等差數(shù)列基本量的運算(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個就能求出另外兩個(簡稱“知三求二”)．(2)確定等差數(shù)列的關鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d.題型1：等差數(shù)列基本量的運算1-1．（2024·廣西·模擬預測）設為等差數(shù)列，若，則公差（

）A．－2 B．－1 C．1 D．21-2．（2024高二上·廣東珠海·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．811-3．（2024·安徽安慶·二模）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．30 B．28 C．26 D．13（二）等差數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法．(2)等差中項法．(3)通項公式法．(4)前n項和公式法．題型2：等差數(shù)列的判定與證明2-1．（2024·浙江·模擬預測）已知正項等比數(shù)列和數(shù)列，滿足是和的等差中項，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，(2)若數(shù)列的前項積滿足，記，求數(shù)列的前20項和.2-2．（2024·山西晉中·模擬預測）數(shù)列中，，前n項和滿足．（1）證明：為等差數(shù)列；（2）求．2-3．（2024高一下·浙江寧波·期末）已知數(shù)列中，，當時，其前項和滿足：，且，數(shù)列滿足：對任意有.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設是數(shù)列的前項和，求證：.（三）等差數(shù)列的性質(zhì)1.等差數(shù)列項的性質(zhì)的關注點(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應用項的性質(zhì)．(2)項的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)相結合．2.等差數(shù)列前n項和的常用的性質(zhì)是：在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.題型3：等差數(shù)列項的性質(zhì)3-1．（2024·河南·模擬預測）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，則等于（

）A．63 B． C．45 D．3-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．153-3．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．30 B．15 C．5 D．10題型4：等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)4-1．（2024高一下·四川成都·階段練習）若兩個等差數(shù)列，的前n項和分別是，，已知，則.4-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項和分別為與，若，則．4-3．（2024高三·全國·專題練習）已知等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則.4-4．（2024高二下·遼寧·期末）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則.（四）等差數(shù)列前n項和的最值求等差數(shù)列前項和最值的2種方法（1）函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解．（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數(shù)使得取得最大值；②若，則滿足的項數(shù)使得取得最小值．題型5：等差數(shù)列前n項和的最值5-1．（2024·河南鄭州·模擬預測）在等差數(shù)列中，已知，且，則當取最大值時，（

）A．10 B．11 C．12或13 D．135-2．（2024·四川成都·模擬預測）設為等差數(shù)列的前n項和，且，都有，若，則（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．的最大值是 D．的最大值是5-3．（2024高二上·陜西渭南·期中）設等差數(shù)列的前項和為，已知，，則以下選項中，最大的是（

）A． B． C． D．5-4．（2024高三上·湖南長沙·階段練習）已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項和有最大值,則使得的最大的的值是.（五）等差數(shù)列的實際應用(1)與等差數(shù)列前n項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．(2)遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型6：等差數(shù)列的實際應用6-1．（2024·江蘇南通·模擬預測）現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6-2．（2024·北京）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(單位:cm)成等差數(shù)列，對應的寬為(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知，，，則A．64 B．96 C．128 D．1606-3．（2024高二下·北京昌平·期中）從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺6-4．（2024·河北唐山·模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網(wǎng)站全程轉(zhuǎn)播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網(wǎng)站舉辦了一針對本網(wǎng)站會員的獎品派發(fā)活動，派發(fā)規(guī)則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網(wǎng)站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數(shù)為（

）A．102 B．103 C．104 D．1056-5．（2024·全國）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊（六）關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論對于奇偶項通項不統(tǒng)一的數(shù)列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數(shù)、偶數(shù)進行分類．題型7：關于等差數(shù)列奇偶項問題的討論7-1．（2024·全國）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．7-2．（2024高二下·陜西西安·期末）已知數(shù)列滿足，，.(1)若數(shù)列為數(shù)列的奇數(shù)項組成的數(shù)列，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前50項和.7-3．（2024·江蘇南京·一模）已知數(shù)列和滿足：.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若.

求證：數(shù)列為等差數(shù)列；記數(shù)列的前項和為，求滿足的所有正整數(shù)和的值.（七）對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：（1）首先找出零值或者符號由正變負的項（2）在對進行討論，當時，，當時，題型8：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題8-1．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．8-2．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．8-3．（2024高三·全國·專題練習）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求，；(2)若，求（八）等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題與數(shù)列有關的恒成立問題主要有兩大類,一是根據(jù)數(shù)列不等式恒成立,求參數(shù)范圍,二是數(shù)列不等式的證明題型9：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題9-1．（2024高三上·重慶九龍坡·期中）等差數(shù)列的前n項和記為，已知，，若存在正數(shù)k，使得對任意，都有恒成立，則k的值為．9-2．（2024·上海楊浦·二模）數(shù)列滿足對任意恒成立，則.．（2024·安徽·模擬預測）已知數(shù)列滿足：，，，從第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列．(1)求；(2)設，若恒成立，求的取值范圍．一、單選題1．（2024·河南鄭州·模擬預測）公差不為零的等差數(shù)列中，，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024高二上·浙江溫州·期末）在等差數(shù)列中，為的前n項和，，，則無法判斷正負的是（

）A． B． C． D．4．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設是等差數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024高三上·北京·階段練習）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2024·江西上饒·模擬預測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．507．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)8．（2024高二下·全國·課后作業(yè)）如果等差數(shù)列中，，那么（

）A．14 B．12 C．28 D．369．（2024高三下·河南·階段練習）已知數(shù)列滿足，其前n項和為，若，則（

）A． B．0 C．2 D．410．（2024·陜西榆林·模擬預測）設為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．811．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．12．（2024·江西新余·二模）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列的公差為（

）A． B． C．2 D．413．（2024·四川涼山·三模）在等差數(shù)列中，，，則（

）．A．3 B．5 C．7 D．914．（2024·河北·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和是，則（

）A． B．C． D．15．（2024高三下·云南昆明·階段練習）已知數(shù)列滿足：，且滿足，則（

）A．1012 B．1013 C．2022 D．202316．（2024·北京）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項17．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知數(shù)列中，，當時，，，成等差數(shù)列.若，那么（

）A． B． C． D．18．（2024·全國）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件19．（2024高二下·遼寧·階段練習）設函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2024·北京·三模）等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的通項公式可能是（

）A． B． C． D．21．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知等差數(shù)列公差不為0，正項等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．22．（2024·海南?？凇ひ荒＃┘彝マr(nóng)場是指以農(nóng)戶家庭成員為主要勞動力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體．某家庭農(nóng)場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場的總收益為（

）A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元23．（2024·江西·模擬預測）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（

）A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年二、多選題24．（2024·福建泉州·模擬預測）已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且，成等比數(shù)列，則（

）A． B．C．當時，是的最大值 D．當時，是的最小值25．（2024·江蘇鹽城·三模）已知數(shù)列對任意的整數(shù)，都有，則下列說法中正確的有（

）A．若，則B．若，，則C．數(shù)列可以是等差數(shù)列D．數(shù)列可以是等比數(shù)列26．（2024·安徽安慶·二模）已知為等差數(shù)列，前項和為，，公差d=?2，則（

）A．=B．當n=6或7時，取得最小值C．數(shù)列的前10項和為50D．當n≤2023時，與數(shù)列（mN）共有671項互為相反數(shù)．27．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知數(shù)列，下列結論正確的有（

）A．若，，則B．若，，則C．若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．若為等差數(shù)列的前項和，則數(shù)列為等差數(shù)列三、填空題28．（2024高二·全國·專題練習）已知等差數(shù)列{an}的首項為3，公差為2，則a10＝．29．（2024高三上·寧夏·期中）設等差數(shù)列的前項和為，若，，則30．（2024·上?！つM預測）已知是公差不為零的等差數(shù)列，且，則31．（2024·全國）記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差．32．（2024·上?！つM預測）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前n項和，若，則中不同的數(shù)值有個.33．（2024·廣東佛山·模擬預測）設隨機變量的分布列如下：123456P其中，，…，構成等差數(shù)列，則.34．（2024·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應立體圖形作類比，推導出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

35．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為．若恒成立，則公差的取值范圍是．36．（2024·云南·三模）已知為等差數(shù)列的前項和.若，，則當取最小值時，的值為.37．（2024高三上·上海嘉定·期中）已知等差數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，則的最小值是38．（2024·全國·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前項和，且，，則當取最大值時，的值為.39．（2024高三·全國·對口高考）已知等差數(shù)列的前項和為，若公差，；則的值為.40．（2024高二上·上海長寧·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則41．（2024·山東）將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為．42．（2024·上海嘉定·三模）已知，，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則.43．（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，公差d為奇數(shù)，且同時滿足：①存在最大值；②；③．則數(shù)列的一個通項公式可以為．（寫出滿足題意的一個通項公式）44．（2024·江蘇南京·模擬預測）設等差數(shù)列的前n項和為.已知，.若存在正整數(shù)k，使得對任意的都有恒成立，則k的值為．45．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，（），且，.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.46．（2024高二下·北京·階段練習）設是公差為的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題正確的是.①若，則數(shù)列有最大項；②若數(shù)列有最大項，則③若數(shù)列對任意的，恒成立，則④若對任意的，均有，則恒成立47．（2024高二下·甘肅定西·期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為.48．（2024高二上·上海靜安·期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么當時，的最大值為．49．（2024高二下·北京海淀·期中）已知是等差數(shù)列{}的前n項和，若僅當時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為.50．（2024高三·全國·課后作業(yè)）記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當取得最大值時，n＝．51．（2024高二下·湖南衡陽·期末）已知等差數(shù)列的通項公式為，當且僅當時，數(shù)列的前項和最大.則滿足的的最大值為.52．（2024高二上·河南鄭州·開學考試）等差數(shù)列中，，，給出下列命題：①，②，③是各項中最大的項，④是中最大的值，⑤為遞增數(shù)列.其中正確命題的序號是.53．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）已知數(shù)列滿足，則的最小值為.54．（2024·新疆烏魯木齊·一模）設是等差數(shù)列的前項和，若，，則數(shù)列中