第03講 冪函數(shù)與二次函數(shù)（八大題型）（練習）（解析版）-【上好課】2025年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）

第03講冪函數(shù)與二次函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像 2題型二：冪函數(shù)性質的綜合應用 4題型三：由冪函數(shù)的單調性比較大小 5題型四：二次函數(shù)的解析式 7題型五：二次函數(shù)的圖象、單調性與最值 7題型六：二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題 9題型七：二次方程實根的分布及條件 12題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題 1302重難創(chuàng)新練 1503真題實戰(zhàn)練 23題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像1．（2024·四川成都·一模）已知冪函數(shù)的圖象過點，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得.故選：C.2．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，所以，所以，所以，因為，因為函數(shù)在上遞增，且增加的速度越來越緩慢，故該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項.故選：B.3．函數(shù)的大致圖像是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的特點知選項A的圖象為函數(shù)的大致圖像.故選：A.4．冪函數(shù)，當時為減函數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】冪函數(shù)，，解得或；當時，冪函數(shù)為，且在時為減函數(shù)，滿足題意；當時，冪函數(shù)為，且在時為增函數(shù)，不合題意；綜上，實數(shù)的值為．故選：A．5．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知冪函數(shù)在上的圖象分別是下降，急速上升，緩慢上升，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意結合圖象可知.故選：B.題型二：冪函數(shù)性質的綜合應用6．（2024·高三·福建三明·期中）已知，則實數(shù)的取值范圍是﹒【答案】【解析】已知，或①；，②；，③．綜合①②③，求得實數(shù)的取值范圍為．故答案為：﹒7．函數(shù)，其中，則其值域為.【答案】【解析】設，則.因為，所以.當時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：8．當時，冪函數(shù)為單調遞減函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意可知或，當時，，此時在第一象限是單調遞減函數(shù)，符合題意；當時，，此時在第一象限是單調遞增函數(shù)，不符合題意；綜上：.故答案為：9．（2024·高三·上海浦東新·期中）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上嚴格單調遞減，則.【答案】或【解析】由冪函數(shù)的性質知，，在第一象限內，當時，函數(shù)單調遞減，當為奇數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)，所以當或時，冪函數(shù)在上單調遞減，且為奇函數(shù).故答案為：或10．已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】冪函數(shù)，所以定義域為且在定義域上單調遞減，所以需滿足，解得，故答案為：．題型三：由冪函數(shù)的單調性比較大小11．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調遞減得，，根據(jù)冪函數(shù)在上單調遞增知，則，，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在上單調遞減得，綜上.故選：D.12．記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，冪函數(shù)在上單調遞增，又，所以，所以，又對數(shù)函數(shù)在上單調遞減，所以，故.故選：D.13．已知，，.則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，由指數(shù)函數(shù)的性質知在R上單調遞減，所以，令，由冪函數(shù)的性質知在單調增，所以，所以.故選：C14．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)在的單調性，可得，然后可得函數(shù)的奇偶性，結合函數(shù)的單調性以及奇偶性，可得結果.由題可知：函數(shù)是冪函數(shù)則或又對任意的且，滿足所以函數(shù)為的增函數(shù)，故所以，又，所以為單調遞增的奇函數(shù)由，則，所以則故選：B題型四：二次函數(shù)的解析式15．已知二次函數(shù)的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且在區(qū)間上的最大值為12，則函數(shù)的解析式為．【答案】【解析】設其對稱軸為直線，又在區(qū)間上的最大值為12，所以，所以故答案為：16．已知（b，c為實數(shù)），且，，則的解析式為.【答案】【解析】解法一：由題意知，解得，所以的解析式為.解法二：由題意知，得，則，得，所以的解析式為.故答案為：17．已知函數(shù)對任意滿足：，二次函數(shù)滿足：且．則，.【答案】【解析】（1）①，用代替上式中的，得②，聯(lián)立①②，可得；設，所以，即，所以，解得，，又，得，所以.故答案為：，題型五：二次函數(shù)的圖象、單調性與最值18．（2024·遼寧沈陽·一模）已知函數(shù)，若且，則它的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由且，得，所以函數(shù)是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A，C；又，所以排除B；只有D符合.故選：D.19．已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是，且截軸所得線段的長度是4，將函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，得到拋物線，則拋物線與軸的交點是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為二次函數(shù)的圖象的頂點為，故的對稱軸為直線，又的圖象截軸所得線段的長度是4，所以的圖象與軸的交點坐標為和，設，將點代入得，解得，所以，因為的圖象為的圖象右移2個單位得到的，所以，令，則，所以與軸交點生標為.故選：B.20．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對稱軸為，則在上單調遞減，在上是單調遞增，A：，故A錯誤；B：，故B錯誤；C：，故C錯誤；D：，故D正確.故選：D.21．（2024·高三·上?！て谥校┮阎瘮?shù)在上是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，解得，故答案為：．題型六：二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題22．已知函數(shù)（）.(1)若在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍；(2)若在區(qū)間上的最大值為9，求的值.【解析】（1）由題意得，二次函數(shù)（）的圖象開口向上，對稱軸為直線，∵函數(shù)在上是單調遞減，則，∴的取值范圍是.（2）由題意得，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則，解得，不合題意，舍去；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則，解得，不合題意，舍去；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，則在或中取得，又，，∴當時，，解得；當時，，解得；當時，，顯然不合題意；綜上所述，.23．已知函數(shù)．(1)若的最大值為0，求實數(shù)a的值；(2)設在區(qū)間上的最大值為，求的表達式；(3)令，若在區(qū)間上的最小值為1，求正實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1），因為的最大值為0，所以，所以或.（2）函數(shù)的對稱軸為，當，即時，在上是減函數(shù)，所以；當，即時，當時，是減函數(shù)，當時，是增函數(shù)，所以；當，即時，在上是增函數(shù)，所以，所以.（3）由題意，令可得，簡圖如下，當時，即時，在是增函數(shù)，所以，成立.當時，即時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得，不成立；當時，即時，在上是減函數(shù)，所以，解得，不成立；綜上所述，.24．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上單調，求的取值范圍：(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意可得開口向上，對稱軸，∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，∵函數(shù)在上單調，∴或，解得或，∴的取值范圍為：（2）由題意可得開口向上，對稱軸，函數(shù)在對稱軸處取最小值，，若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則，解得：或，當時，在區(qū)間上單調遞增，此時函數(shù)的最小值為，解得：，當時，在區(qū)間上單調遞減，此時函數(shù)的最小值為，解得：，綜上，存在實數(shù)或，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為題型七：二次方程實根的分布及條件25．（2024·高三·陜西商洛·期中）若，則一元二次方程有整數(shù)根的充要條件是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由，得．作出函數(shù)的圖象，由圖可知，，即，又，所以.當時，方程有整數(shù)解.綜上，是方程有整數(shù)解的充要條件．故選;A.26．若關于x的一元二次方程有兩個實根，且一個實根小于1，另一個實根大于2，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】（，＋∞）【解析】設，由題意，解得，故答案為：．27．方程的兩根均大于1，則實數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】的兩個根都大于，解得可求得實數(shù)的取值范圍為故答案為：題型八：二次函數(shù)最大值的最小值問題28．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，求證：；(3)設，及在區(qū)間上的最大值為.當最小值，求的值.【解析】（1），故開口向上，且對稱軸為，故單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）由題意可知，問題轉化為時，，且恒成立，即，且，在區(qū)間上恒成立，因為顯然恒成立，，開口向上，且對稱軸為，故，即恒成立，故原不等式成立；（3），函數(shù)在上單調遞增，故時，，時，，所以，化簡得，可知，時，；時，，故時，取得最小值2.29．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當時，求證：；(3)設，記在區(qū)間上的最大值為.當最小時，求的值.【解析】（1）由已知得，，解得，函數(shù)的解析式為.（2）令，則二次函數(shù)的對稱軸為.所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以當時，取得最小值，又，所以時，取得最大值，所以，即.（3）由（2）知，，令，則，問題轉化為求在上的最大值，易知關于，作出圖象如下，當時，當時，取得最大值，則，當時，當時，取得最大值，，當時，當或時，取得最大值，，綜上，當最小時，.1．（2024·北京朝陽·一模）已知，則“”是“函數(shù)在上單調遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】對于函數(shù)當時，，為常數(shù)函數(shù)，當時，，函數(shù)在上單調遞減，當時，，函數(shù)在上單調遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調遞增”的充分而不必要條件.故選：A.2．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，故當時，有最小值為；時，單調遞減，所以，由題意存在最小值，則，解得，即的最大值為.故選：A3．（2024·廣東·一模）已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調遞增的有序數(shù)對的個數(shù)是（

）A．16 B．24 C．32 D．48【答案】B【解析】若和在上單調遞增，在上單調遞減，則有個；若和在上單調遞增，在上單調遞減，則有個；若和在上單調遞增，在上單調遞減，則有個；若、和在上單調遞增，則有個；綜上所述：共有個.故選：B.4．已知冪函數(shù)的圖象在上單調遞減，則的取值是（

）A．1 B．-3 C．1或-3 D．2【答案】A【解析】∵為冪函數(shù)，∴或；當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增，不滿足題意.綜上可知：.故選：A.5．（2024·四川宜賓·模擬預測）給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④．其中在上是增函數(shù)的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】和在上是增函數(shù)，和在上是減函數(shù)，故選：C6．函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的，且，滿足，若，且，則的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷【答案】A【解析】函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)是冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當m＝2時，f(x)＝x2015；當m＝－1時，f(x)＝x－4.又因為對任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，滿足，所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)的解析式為f(x)＝x2015，函數(shù)f(x)＝x2015是奇函數(shù)且是增函數(shù)，若a，b∈R且a＋b>0，ab<0，則a，b異號且正數(shù)的絕對值較大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故選A.7．冪函數(shù)在第一象限內的圖象依次是如圖中的曲線（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在第一象限內直線的右側，冪函數(shù)的圖象從上到下相應的指數(shù)由大變小，即“指大圖高”，所以冪函數(shù)在第一象限內的圖象為在第一象限內的圖象為，在第一象限內的圖象為在第一象限內的圖象為.故選：D8．已知，若為奇函數(shù)，且在上單調遞增，則實數(shù)a的取值個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】當時，在上單調遞減，不合要求，當時，，故為偶函數(shù)，不合要求，當時，的定義域為，不是奇函數(shù)，不合要求，當時，，為奇函數(shù)，且在上單調遞增，滿足要求，當時，，故為奇函數(shù)，且在上單調遞增，滿足要求.故選：B9．（2024·山東濟南·三模）已知函數(shù)的定義域為R，且，則下列結論一定成立的是（

）A． B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．在上單調遞增【答案】C【解析】由于函數(shù)的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數(shù)，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關系不確定，故在上不一定單調遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數(shù)必有最小值，C正確，故選：C10．（2024·陜西·模擬預測）設函數(shù)的定義域為，且，當時，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】由題意可得①；②．令，由①得：，令，由②得，因為，所以，即.令，由①得，解得，所以．故選：D．11．（多選題）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)【答案】AC【解析】因為是冪函數(shù)，所以設，又的圖像經(jīng)過點，所以，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，故AC正確，BD錯誤；故選：AC.12．（多選題）已知冪函數(shù)（m，，m，n互質），下列關于的結論正確的是（

）A．m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．時，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AC【解析】對A，當m，n是奇數(shù)時，的定義域為，關于原點對稱，，則冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結論正確；對B，當m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，冪函數(shù)在時無意義，故B中的結論錯誤；對C，當m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時，的定義域為，關于原點對稱，，則冪函數(shù)是偶函數(shù)，故C中的結論正確；對D，時，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結論錯誤；故選：AC.13．（多選題）冪函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域為【答案】ABD【解析】由冪函數(shù)定義可知，系數(shù)，解得或，又因為，所以；故A正確；時，，其定義域為，且滿足，所以函數(shù)是偶函數(shù)，即B正確；由可知，函數(shù)在為單調遞減，所以，所以C錯誤；函數(shù)的值域為，即D正確；故選：ABD.14．（多選題）（2024·甘肅定西·一模）已知函數(shù)，則（

）A．當有2個零點時，只有1個零點B．當有3個零點時，只有1個零點C．當有2個零點時，有2個零點D．當有2個零點時，有4個零點【答案】BD【解析】令，得，利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，當有2個零點時，或，此時無零點或只有1個零點，故A錯誤；當有3個零點時，，此時只有1個零點，故B正確；當有2個零點時，，此時有4個零點．故C錯誤，D正確.故選：BD.15．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的一個取值為．【答案】（不唯一）【解析】因為在上單調遞增，又在區(qū)間上單調遞減，所以可以為偶函數(shù)，不妨取，此時，函數(shù)定義域為，且，故為偶函數(shù)，滿足在區(qū)間上單調遞減.故答案為：（不唯一）16．（2024·全國·模擬預測）寫出滿足下列條件①②③的一個函數(shù)：．①的定義域為；②，；③，都有．【答案】（答案不唯一，形如，p，q為奇數(shù)，且均可）【解析】由③知(不妨取時)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是減函數(shù)，又由①②，函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為，所以可取冪函數(shù)．故答案為：（答案不唯一，形如，，為奇數(shù)，且均可）.17．（2024·河北·模擬預測）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】令，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由函數(shù)都是增函數(shù)，可得為增函數(shù)，，則不等式，即為，即，即，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.18．不等式的解集為：．【答案】【解析】不等式變形為，所以，令，則有，因為函數(shù)在R上單調遞增，所以在R上單調遞增，則，解得，故不等式的解集為．故答案為：.19．已知正實數(shù)滿足