2024-2025學(xué)年山東省棗莊市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省棗莊市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．32．在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（

）A．1 B． C． D．4．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，點N為BC中點，則等于（

）A． B．C． D．5．設(shè)點，，直線過且與線段相交，則l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．以上都不對6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．或7．唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知表示圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓心坐標(biāo)為 B．圓心坐標(biāo)為C．半徑 D．半徑10．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則11．已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．取值范圍是B．當(dāng)點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C．當(dāng)直線l斜率時，AB平分D．最大值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在正三棱錐中，是的中心，，則．13．已知，，當(dāng)時，實數(shù)的值為．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動點到兩直線與的距離之和為，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）（1）求經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直的直線方程；（2）直線l過點且到點和點的距離相等，求直線l的方程．16.（本小題15分）已知直線：及圓.(1)若直線與圓相切，求的值；(2)若直線與圓相交于，兩點，且弦AB的長為，求的值.17.（本小題15分）在中，，，，過點作交于點，以為軸，將向上翻折使平面平面，連接，為線段的中點，為線段上一點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求的值．18.（本小題17分）已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，(1)求證：；(2)是否存在一點，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點的位置，否則，請說明理由.19.（本小題17分）已知圓C：，直線l：是圓E與圓C的公共弦AB所在直線方程，且圓E的圓心在直線上．(1)求公共弦AB的長度；(2)求圓E的方程；(3)過點分別作直線MN，RS，交圓E于M，N，R，S四點，且，求四邊形MRNS面積的最大值與最小值．2024-2025學(xué)年山東省棗莊市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．3【正確答案】B【詳解】因為，，且，所以，解得，故選：B.2．在正三棱錐中，，點分別是棱的中點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【詳解】如圖所示，在正三棱錐中，，可得，因為點分別是棱的中點，可得，，所以．故選：D．

3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（

）A．1 B． C． D．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意可得直線恒過點，該點在已知圓內(nèi)，圓的圓心為，半徑，作于點，如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，所以，又，可得；因此可得，所以的面積為.故選：D4．如圖，空間四邊形OABC中，，點M在OA上，且，點N為BC中點，則等于（

）A． B．C． D．【正確答案】B【詳解】.故選：B.5．設(shè)點，，直線過且與線段相交，則l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．以上都不對【正確答案】A【詳解】如圖所示：

由題意得，所求直線的斜率滿足或，即，或，，或，即直線的斜率的取值范圍是或．故選：A．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點，，若其歐拉線的方程為，則頂點C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．或【正確答案】A【詳解】設(shè)，則由重心坐標(biāo)公式得的重心坐標(biāo)為，代入歐拉線方程得，整理得①，因為邊的中點坐標(biāo)為，，所以邊的垂直平分線方程為，即.由，得，所以的外心坐標(biāo)為，則，整理得②，聯(lián)立①②，解得，或，.當(dāng)，時，點、點重合，舍去.所以頂點的坐標(biāo)為.故選：A.7．唐代詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則的中點為，，故，解得，要使從點到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，由點與圓上點的距離的最小值為點與圓心距離減去半徑知，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：B8．如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，則下列結(jié)論正確的是（

）①的外接球表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④【正確答案】C【詳解】對于①，根據(jù)題意，設(shè)棱長為2的正方體外接球半徑為,則滿足，可得，此時外接球的表面積為，可知①錯誤；對于②，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，設(shè)，其中；可得，異面直線與所成角的余弦值為，易知時，，可得，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即②正確；對于③，由②可知，，則；設(shè)平面的法向量為，又，則，取，則；所以平面的法向量為，此時，可得，又平面，所以直線平面，即③正確；對于④，根據(jù)正方體性質(zhì)平面，所以，易知直線到平面的距離是定值，底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，因此三棱錐的體積不會隨點的運動而變化，即④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論為②③.故選：C二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知表示圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓心坐標(biāo)為 B．圓心坐標(biāo)為C．半徑 D．半徑【正確答案】BD【詳解】由可得，所以圓心為，半徑為，所以AC錯誤，BD正確.故選：BD10．下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B．兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C．直線的方向向量，平面的法向量是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【正確答案】AB【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯誤．故選：AB11．已知兩定點，，動點M滿足條件，其軌跡是曲線C，過B作直線l交曲線C于P，Q兩點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．取值范圍是B．當(dāng)點A，B，P，Q不共線時，面積的最大值為6C．當(dāng)直線l斜率時，AB平分D．最大值為【正確答案】ACD【詳解】設(shè)Mx,y因為，即，整理可得，可知曲線C是以為圓心，半徑的圓.對于選項A：因為，可知點B在曲線C內(nèi)，且直線l與曲線C必相交，且，則PQ的最大值為，最小值為，所以PQ取值范圍是，故A正確；設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則.對于選項B：可得，令，則，可得，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則的最小值為，即，則，可得的面積，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于選項C：因為，又因為，則，即，可知，所以AB平分，故C正確；對于選項D：因為AB平分，則，可知當(dāng)與曲線C相切時，取到最大值，此時，且為銳角，則，即的最大值為，則的最大值為，所以最大值為，故D正確；故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在正三棱錐中，是的中心，，則．【正確答案】16【詳解】如圖：首先：，.又.所以.故1613．已知，，當(dāng)時，實數(shù)的值為．【正確答案】6【詳解】因為，，所以，因為，所以，解得.故6.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動點到兩直線與的距離之和為，則的最大值為.【正確答案】【詳解】依題意，，即，于是得或或或，動點的軌跡如圖中正方形，其中，表示正方形邊上的點與定點確定直線的斜率，觀察圖象知，當(dāng)點與點重合時，直線的斜率最大，所以的最大值為.故四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）（1）求經(jīng)過兩條直線和的交點，且與直線垂直的直線方程；（2）直線l過點且到點和點的距離相等，求直線l的方程．【正確答案】（1）；

（2）或【詳解】（1）由，得，∴與的交點坐標(biāo)為．設(shè)與直線垂直的直線方程為，則，∴．∴所求直線方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，即．由題意知，即，∴，∴直線l的方程為，即．當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時點到直線l的距離為3，點到直線l的距離為3，故符合題意．綜述：直線l方程為或.16.（本小題15分）已知直線：及圓.(1)若直線與圓相切，求的值；(2)若直線與圓相交于，兩點，且弦AB的長為，求的值.【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）圓心，半徑為，由題意得：，解得或.（2）如圖：設(shè)點到直線的距離為，利用勾股定理得：，同時利用圓心到直線的距離：，解得.17.（本小題15分）在中，，，，過點作交于點，以為軸，將向上翻折使平面平面，連接，為線段的中點，為線段上一點．(1)證明：平面；(2)若二面角的余弦值為，求的值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因為平面平面BCDE，平面平面，且，又平面，∴平面BCDE，又平面BCDE，∴，又在中，，則，又F為CE中點，故，且平面AEC，則平面AEC.（2）由（1）知，ED，EB，EA互相垂直，分別以ED，EB，EA為x，y，z軸非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中，，，，則，，，不妨設(shè)，則，再設(shè)，分別是面ADQ、面EDQ的法向量，則分別滿足與令，，得到，．由題意知，，解得，即．18.（本小題17分）已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，(1)求證：；(2)是否存在一點，滿足，且使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為；若存在，指出點的位置，否則，請說明理由.【正確答案】(1)證明見解析(2)點為中點時，使平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，理由見解析【詳解】（1）取的中點，連接,因為，所以，又，所以是等邊三角