《計算方法》課件2第3章

3.1機(jī)械求積3.2牛頓－柯特斯公式

3.3龍貝格算法

3.4高斯公式

3.5數(shù)值微分3.6實例——計算人造衛(wèi)星的軌道周長習(xí)題三

3.1.1數(shù)值求積的基本思想

積分值在幾何上可解釋為由x=a，x=b，y=0，y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。

依據(jù)積分中值定理，對于連續(xù)f(x)，在［a,b］內(nèi)存在一點ξ，使

也就是說，曲邊梯形的面積I恰等于底為b-a，高為f(ξ)的矩形面積。問題在于ξ的具體位置一般不知道，難以計算出f(ξ)的值。f(ξ)稱為區(qū)間［a,b］上的平均高度。只要對平均高度f(ξ)提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法。3.1機(jī)械求積一個方法是用近似f(ξ)，可得

(3.1)

該公式稱為梯形公式。

若用近似f(ξ)，可得

(3.2)該公式稱為中矩形公式。

若用近似f(ξ)，可得

(3.3)

該公式稱為辛甫生公式。

更一般地，取［a,b］內(nèi)若干節(jié)點xk的高度f(xk)，通過加權(quán)平均的方法近似得出平均高度f(ξ)，這類求積公式的一般形式是

式中,xk稱為求積節(jié)點，Ak稱為求積系數(shù)(亦稱為伴隨節(jié)點xk的權(quán))，其僅僅與xk的選取有關(guān)，與f(xk)無關(guān)。這類利用節(jié)點上的函數(shù)值計算積分值的方法稱作機(jī)械求積法，積分求積歸結(jié)為函數(shù)值的計算。

3.1.2代數(shù)精度的概念

如果求積公式對于一切次數(shù)小于等于m的代數(shù)多項式都準(zhǔn)確成立，但對于m+1次代數(shù)多項式不能準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精確度。

或者說對于xk(k=0,1,…,m)均能準(zhǔn)確成立，但對于xm+1不準(zhǔn)確，則稱它具有m次代數(shù)精確度。

例3.1

驗證梯形公式代數(shù)精度為1次。

證令f(x)=1時，左邊=b-a，右邊=

=b-a，等式準(zhǔn)確成立；

令f(x)=x時，左邊=，右邊=

等式準(zhǔn)確成立；

令f(x)=x2時，左邊=，右邊，等式不成立。所以梯形公式代數(shù)精度為1次。

也可以代數(shù)精度作為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造求積公式。

例3.2

確定求積公式f(x)dx=A0f(a)+A1f(b)中的待定參數(shù)A0，A1。

解令它對f(x)=1，x準(zhǔn)確成立，得

解得

一般地說，對于給定的一組求積節(jié)點xk(k=0,1,…,n)，可以確定相應(yīng)的求積系數(shù)Ak，使求積公式f(x)dx≈

Akf(xk)至少有n次代數(shù)精度。

令它對f(x)=1,x,…,xn準(zhǔn)確成立，得

解方程組，可得到A0,A1,…,An。3.1.3插值型的求積公式

設(shè)已給出f(x)在節(jié)點xk(k=0,1,…,n)的函數(shù)值，作插值多項式

其中

則

所以

Ak=

lk(x)dx

對于任意次數(shù)小于等于n的多項式f(x)，其插值多項式Pn(x)就是它自身，因而插值型的求積公式至少有n次代數(shù)精度。

如果求積公式至少有n次代數(shù)精度，即

有n次代數(shù)精度，lk(x)是n次多項式，則它對lk(x)是準(zhǔn)確成立的，即

可見至少有n次代數(shù)精度的求積公式，必為插值型的。

定理3.1

公式f(x)dx≈

Akf(xk)至少有n次代數(shù)精度的充要條件是它是插值型的。

至此，求積節(jié)點xk已被給出，求積系數(shù)Ak的確定有兩條可供選擇的途徑：

(1)通過代數(shù)精度構(gòu)造方程組；

(2)計算積分Ak=

lk(x)dx。

例3.3

設(shè)有求積公式f(x)dx=A0f(-1)+A1f(0)+A2f(1)，試確定常數(shù)A0，A1，A2，使上式求積公式代數(shù)精度盡可能高，并指出所具有的代數(shù)精度。

解法Ⅰ令f(x)=1,x,x2使上式求積公式精確成立，得

解得。

該求積公式為

將f(x)=x3代入求積公式兩邊，左右兩邊相等，公式準(zhǔn)確成立。

將f(x)=x4代入求積公式兩邊，左邊=，右邊=，左邊≠右邊。

故代數(shù)精度為3次。解法Ⅱ

x0=-1,x1=0,x2=1

可以驗證該公式對f(x)=1,x,x2,x3準(zhǔn)確成立，對f(x)=x4不準(zhǔn)確，故代數(shù)精度為3次。3.2牛頓-柯特斯公式一般x0,x1,…,xn不是等距節(jié)點，為了使求積公式的形式簡單，下面討論等距節(jié)點下的插值型求積公式。

3.2.1公式的導(dǎo)出

將［a,b］n等分，步長h＝

，選取xk=a+kh(k=0,1,…,n)，構(gòu)造出插值型求積公式

其中

下面是幾個常用特例：

當(dāng)n=1時

(k=0,1,…,n)就是梯形公式

當(dāng)n=2時

就是辛甫生公式

當(dāng)n=4時，稱為柯特斯公式，即

其中

下面給出n=1~5的牛頓-柯特斯系數(shù)表，如表3-1所示。表3-1牛頓-柯特斯系數(shù)表

在一系列牛頓-柯特斯公式中，高階公式由于穩(wěn)定性差而不宜采用，有實用價值的僅僅是幾種低階的求積公式。3.2.2幾種低階求積公式的代數(shù)精度

例3.4

計算積分

(精確值為0.9460831)解n=1,，有1位有效數(shù)字；

n=2,，有3位有效數(shù)字；

n=3,I3=0.9461109，有4位有效數(shù)字；

n=4,I4=0.9460830，有6位有效數(shù)字；

n=5,I5=0.9460830，有6位有效數(shù)。從上面結(jié)果可看出，二階和三階公式精度相當(dāng)，四階和五階公式精度相當(dāng)，易得下面結(jié)論：

定理3.2

對于牛頓-柯特斯公式，當(dāng)n為奇數(shù)時，至少有n次代數(shù)精度；當(dāng)n為偶數(shù)時，至少有n+1次代數(shù)精度。

因此在應(yīng)用牛頓-柯特斯公式時，為了既保證精度，又能節(jié)省時間，應(yīng)盡量選用n為偶數(shù)的求積公式，常用的是梯形公式、辛甫生公式和柯特斯公式(n=4)。3.2.3幾種低階求積公式的余項

可以計算出梯形公式的余項為

辛甫生公式的余項為

柯特斯公式的余項為

3.2.4復(fù)化求積法

在使用牛頓-柯特斯公式時，通過提高階的途徑并不能取得滿意的效果。為改善求積公式的精度，可以采用復(fù)化求積。將區(qū)間［a,b］劃分n等分，步長，選取xk=a+kh(k=0,1,…,n)，所謂復(fù)化求積法，就是用低階的求積公式求得每個子段［xk,xk+1］上的積分Ik，然后累加求和，用

作為積分I的近似值。如復(fù)化梯形公式為

復(fù)化辛甫生公式(記［xk,xk+1］的中點為)

復(fù)化辛甫生算法框圖如圖3-1所示。圖3-1復(fù)化辛甫生算法框圖復(fù)化柯特斯公式為(將［xk,xk+1］四等分，等分節(jié)點記為

，，)

它們的誤差分別為

例3.5

分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛甫生公式計算積分

解復(fù)化梯形公式，n=8，，x0=0，，

有3位有效數(shù)字。復(fù)化辛甫生公式，n=4，，x0=0，，，，x4=1，

，，，

有6位有效數(shù)字。

兩種方法都需9個點上的函數(shù)值，工作量相同，而精度差別很大，復(fù)化辛甫生公式是最常用的方法。復(fù)化求積法對提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須先給出步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小則會導(dǎo)致計算量的浪費，而事先給出一個合適的步長往往是

困難的。實際計算中常常采用變步長的計算方案，即在步長逐次分半(二分)過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式計算，直到所求的積分值滿足精度要求為止。3.3龍貝格算法3.3.1梯形法的遞推化

將區(qū)間［a,b］劃分n等分，步長h=，選取xk=a+kh(k=0,1,…,n)，在［xk,xk+1］子段中，記

，對該小區(qū)間的計算過程如下：

二分前

二分后

對k從0~(n-1)累加求和，得到

這里，。當(dāng)|Tn-T2n|<ε時，停止

計算積分。變步長積分框圖如圖3-2所示。圖3-2變步長積分框圖

例3.6

用變步長計算積分。

解

n=1，,h=1將區(qū)間二分

再二分

以此類推,得T10=0.9460831。3.3.2龍貝格算法

梯形法的算法簡單，但精度低，收斂速度緩慢，如何提高收斂速度以節(jié)省計算量是我們最關(guān)心的問題。龍貝格算法就是一種加速算法。

復(fù)化梯形公式余項為

其大小與h2成正比，因此步長二分后，誤差將減至1/4，則有

若用作為I的近似值,則也就是說，用復(fù)化梯形法二分前后兩個積分值Tn、T2n

的線性組合后，可得到復(fù)化辛甫生積分值Sn，即

(3.4)

復(fù)化辛甫生誤差公式為

與h4成正比，則有

即

類似可以驗證

(3.5)

為復(fù)化柯特斯公式。復(fù)化柯特斯公式誤差與h6成正比，則有

即

記

(3.6)

該式已經(jīng)不屬于牛頓-柯特斯公式形式。

在步長二分的過程中運用式(３.４)、式(３.５)和式(３.６)即可將粗糙的積分值Tn逐步加工成精度較高的龍貝格值Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法，流程如圖３-３所示。圖3-3龍貝格算法框圖

例3.7

用龍貝格算法計算積分。

解龍貝格算法加工流程如下表：

二分3次，3次加速，得到了二分10次(例3.6)才能求得的結(jié)果，所以說龍貝格加速過程的效果是極其顯著的。3.4.1高精度求積公式

在構(gòu)造牛頓-柯特斯公式時，限定用等分點作為求積點，簡化了處理過程，但同時限制了精度。

設(shè)a=-1,b=1，考察求積公式：。

只要節(jié)點xk一經(jīng)給出，相應(yīng)的求積系數(shù)Ak便隨之確定，至少有n次代數(shù)精度。如果適當(dāng)選取xk，可以使代數(shù)精度不超過2n-1次。3.4高斯公式

定義：若一組節(jié)點x1,x2,…,xn，可以使求積公式

具有2n-1次代數(shù)精度，稱此組節(jié)點為高斯點。相應(yīng)的求積公式為高斯公式。

容易得出一點高斯公式為

兩點高斯公式為

對于任意區(qū)間［a,b］，可通過變換將積分區(qū)間映射到［-1,1］，此時

3.4.2高斯點的基本特征

高斯點的確定原則上可化為代數(shù)問題，歸結(jié)為方程組的解，但此方程組是非線性的，求解困難，下面通過高斯點的基本特征來解決高斯公式的構(gòu)造問題。

定理3.3

節(jié)點xk是高斯點的充要條件是與一切次數(shù)小于等于n-1的多項式正交。即

k=0,1,…,n-1用定理2可求出高斯點，比如兩點高斯點的求解如下

得

方程的解為

再用待定系數(shù)法得到A1=A2=1。3.4.3勒讓德多項式

以高斯點xk(k=1,2,…,n)為零點的n次多項式Pn(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)稱為勒讓德多項式。勒讓德多項式有下列一般的表達(dá)形式

因此有

n=1,

n=2,

n=3,

n=4,

n=5,比如求三點高斯公式

由P3(x)=0解得

令使求積公式精確成立，有

解得。

所以三點高斯公式為

3.5.1中點方法

微積分中，導(dǎo)數(shù)的定義為

如要求精度不高，簡單處理方法是

3.5數(shù)值微分該式稱為向前差商，也可采用向后差商

兩種差商的算術(shù)平均為

此法稱為中心法。

在圖像上(如圖3-4所示)，上述三種導(dǎo)數(shù)的近似值分別表示弦線AB、AC和BC的斜率，f′(a)就是切線AT的斜率，比較這三條弦線與切線AT的平行程度，從圖像上可以明顯地看出BC的斜率更接近AT的斜率，因此就精度而言，中心法比較精確。圖3-4中點法幾何含義3.5.2插值型的求導(dǎo)公式

設(shè)已知f(x)在節(jié)點xk(k=0,1,…,n)的函數(shù)值，作n次插值多項式，可用的值作為f′(x)的近似值。這樣建立的數(shù)值公式f′(x)≈，稱為插值型求導(dǎo)公式。

我們重點討論等距節(jié)點三點數(shù)值微分公式。設(shè)三個節(jié)點x0,x1=x0+h,x2=x0+2h上的函數(shù)值給出，作二次插值

將x0,x1=x0+h,x2=x0+2h代入，得

余項分別為

類似還可建立高階微分公式

例3.8

已知f(101)=10.0498，f(102)=10.0995，f(103)=10.1498，求f′(101)，f′(102)，f′(103)。

解由于衛(wèi)星軌道是橢圓形的，地球球心為該橢圓的一個焦點。我國第一顆人造衛(wèi)星近地點距離h=439km，遠(yuǎn)地點距離H=2384km，地球半徑為r=6371km。試計算人造衛(wèi)星的軌

道周長。

橢圓長半軸為

3.6實例——計算人造衛(wèi)星的軌道周長可得橢圓半焦距為

橢圓短半軸為

因此橢圓周長計算公式為

可采用自適應(yīng)復(fù)化辛甫生求積公式，求得橢圓周長為48707.44km。一、填空題

(1)梯形求積公式的代數(shù)精度為

次，辛甫生求積公式的代數(shù)精度為

次。用三點高斯求積公式計算積分

代數(shù)精度為

次，復(fù)化梯形公式的代數(shù)精度為

次。

(2)二分前后的復(fù)化梯形公式Tn、T2n與復(fù)化辛甫生公式Sn的關(guān)系為

。習(xí)題三

(3)n階的牛頓-柯特斯求積系數(shù)為ci(i=0，1,2,…,n)，則

。

(4)已知數(shù)據(jù)

則f′(1.0)=

，f′(1.1)=

，f′(1.2)=

。一階差商f(1,1.1)=

，f