《自動控制原理》課件第7章

第七章數(shù)字控制系統(tǒng)分析基礎(chǔ)7.1引言

7.2信號的采樣與保持

7.3Z變換理論

7.4脈沖傳遞函數(shù)

7.5數(shù)字控制系統(tǒng)的性能與控制小結(jié)7.1引言圖7-1采樣控制系統(tǒng)圖7-2數(shù)字控制系統(tǒng)

數(shù)字控制系統(tǒng)在現(xiàn)代工業(yè)中應(yīng)用非常廣泛。計(jì)算機(jī)在控制精度、控制速度以及性能價(jià)格比等方面都比模擬控制器有著明顯的優(yōu)越性,同時(shí)計(jì)算機(jī)還具有很好的通用性,可以很方便地改變控制規(guī)律。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的迅速發(fā)展,數(shù)字控制系統(tǒng)由直接數(shù)字控制發(fā)展到計(jì)算機(jī)分布控制,由對單一的生產(chǎn)過程進(jìn)行控制到實(shí)現(xiàn)整個(gè)工業(yè)過程的控制,從簡單的控制規(guī)律發(fā)展到更高級的優(yōu)化控制、自適應(yīng)控制、魯棒控制等。本章將研究采樣控制的基本理論、數(shù)學(xué)工具以及簡單離散系統(tǒng)的分析與綜合。在學(xué)習(xí)時(shí)請注意它們與連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)方面的聯(lián)系與區(qū)別。7.2信號的采樣與保持7.2.1采樣過程把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器,又叫采樣開關(guān)。采樣過程可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)S來表示,如圖7-3所示。假設(shè)采樣開關(guān)每隔T秒閉合一次,閉合的持續(xù)時(shí)間為τ。采樣器的輸入e(t)為連續(xù)信號,輸出e*(t)為寬度等于τ的調(diào)幅脈沖序列,在采樣瞬間nT(n=0,1,2,…)時(shí)出現(xiàn)。即在t=0時(shí),采樣器閉合τ秒,此時(shí)e*(t)=e(t);t=τ以后,采樣器打開,輸出e*(t)=0。以后每隔T秒重復(fù)一次這種過程。圖7-3實(shí)際采樣過程

對于具有有限脈沖寬度的采樣控制系統(tǒng)來說,要準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)學(xué)分析是非常復(fù)雜的。考慮到采樣開關(guān)的閉合時(shí)間τ非常小,一般遠(yuǎn)小于采樣周期T和系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù),因此在分析時(shí),可以認(rèn)為τ=0。這樣,采樣器就可以用一個(gè)理想采樣器來代替。理想的采樣過程如圖7-4所示。圖7-4理想采樣過程

采樣開關(guān)的周期性動作相當(dāng)于產(chǎn)生一串理想脈沖序列,數(shù)學(xué)上可表示成如下形式:(7.1)輸入模擬信號e(t)經(jīng)過理想采樣器的過程相當(dāng)于e(t)調(diào)制在載波δT(t)上的結(jié)果,而各脈沖強(qiáng)度用其高度來表示,它們等于采樣瞬間t=nT時(shí)e(t)的幅值。調(diào)制過程在數(shù)學(xué)上的表示為兩者相乘,即調(diào)制后的采樣信號可表示為(7.2)因?yàn)閑(t)只在采樣瞬間t=nT時(shí)才有意義,故上式也可寫成(7.3)7.2.2保持器由圖7-1可知,連續(xù)信號經(jīng)過采樣器后轉(zhuǎn)換成離散信號,經(jīng)由脈沖控制器處理后仍然是離散信號,而采樣控制系統(tǒng)的連續(xù)部分只能接收連續(xù)信號,因此需要保持器來將離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號。最簡單同時(shí)也是工程上應(yīng)用最廣的保持器是零階保持器,這是一種采用恒值外推規(guī)律的保持器。它把前一采樣時(shí)刻nT的u(nT)不增不減地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T,其輸入信號和輸出信號的關(guān)系如圖7-5所示。圖7-5零階保持器的輸入和輸出信號

零階保持器的單位脈沖響應(yīng)如圖7-6所示,可表示為(7.4)上式的拉氏變換式為(7.5)令上式中的s=jω,可以求得零階保持器的頻率特性:(7.6)(7.7)圖7-6零階保持器的單位脈沖響應(yīng)

畫出零階保持器的幅頻特性和相頻特性如圖7-7所示。由圖可見,它的幅值隨角頻率的增大而衰減,具有明顯的低通特性。但除了主頻譜外,還存在一些高頻分量。因此,如果連續(xù)信號e(t)經(jīng)過采樣器轉(zhuǎn)換成e*(t)后,立刻進(jìn)入零階保持器,則其輸出信號e′(t)與原始信號e(t)是有差別的。圖7-7零階保持器的幅頻特性和相頻特性7.2.3采樣定理連續(xù)信號e(t)經(jīng)過采樣器轉(zhuǎn)換成e*(t)后,如果立刻進(jìn)入某種理想的保持器,則其輸出信號e′(t)與原始信號e(t)是否就完全相同了呢？香農(nóng)(Shannon)定理給出了答案。

采樣定理如果被采樣的連續(xù)信號e(t)的頻譜為有限寬,且頻譜的最大寬度為ωm,又如果采樣角頻率ωs≥2ωm,并且采樣后再加理想濾波器,則連續(xù)信號e(t)可以不失真地恢復(fù)出來。圖7-8連續(xù)信號頻譜

該定理簡單的解釋如下:一般來說,連續(xù)信號e(t)的頻譜是單一的連續(xù)頻譜,如圖7-8所示,其中ωm為頻譜中的最大角頻率。而采樣信號e*(t)的頻譜是以采樣角頻率ωs為周期的無窮多個(gè)頻譜之和,如圖7-9所示。理想濾波器(即理想保持器)的頻率特性如圖7-10所示。在ωs≥2ωm的情況下,可以理解為|E*(jω)|和|H(jω)|相“乘”,其“積”正好等于|E(jω)|。圖7-9采樣信號頻譜(ωs≥2ωm)圖7-10理想濾波器的頻率特性7.3Z變換理論7.3.1Z變換定義連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為(7.8)設(shè)f(t)的采樣信號為(7.9)其拉氏變換為(7.10)上式中e-Ts是s的超越函數(shù),為便于應(yīng)用,令變量將上式代入式(7.10),則采樣信號f*(t)的Z變換定義為

嚴(yán)格來說,Z變換只適合于離散函數(shù)。這就是說,Z變換式只能表征連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻的特性,而不能反映在采樣時(shí)刻之間的特性。Z［f(t)］是為了書寫方便,并不意味著是連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換,而仍是指離散函數(shù)f*(t)的Z變換。即F(z)和f*(t)是一一對應(yīng)的,但f*(t)所對應(yīng)的f(t)可以有無窮多個(gè)。將式(7.9)和式(7.12)展開,有(7.12)(7.13)可見,F(z)中,f(nT)決定幅值,z-n決定時(shí)間。Z變換和離散序列之間有著非常明確的“幅值”和“定時(shí)”的對應(yīng)關(guān)系。(7.14)7.3.2Z變換性質(zhì)

Z變換有一些基本定理,可以使Z變換的應(yīng)用變得簡單和方便,其內(nèi)容在許多方面與拉氏變換基本定理有相似之處。

1.線性定理設(shè)ci為常數(shù),如果有,則(7.15)

2.實(shí)數(shù)位移定理實(shí)數(shù)位移定理又稱平移定理。實(shí)數(shù)位移的含義,是指整個(gè)采樣序列在時(shí)間軸上左右平移若干個(gè)采樣周期,其中向左平移為超前,向右平移為滯后。(7.16)(7.17)證明根據(jù)Z變換定義有令m=n-k,則有由于Z變換的單邊性,當(dāng)m＜0時(shí)f(mT)=0,所以上式可寫為再令m=n,式(7.16)得證。

式(7.16)稱為遲后定理,式(7.17)稱為超前定理。算子z有明確的物理意義:z-k代表時(shí)域中的滯后環(huán)節(jié),它將采樣信號滯后k個(gè)周期,參見式(7.13)和式(7.14)。同理,zk代表時(shí)域中的超前環(huán)節(jié),它將采樣信號超前k個(gè)周期。但是,zk和z-k僅用于運(yùn)算,在物理系統(tǒng)中并不存在。3.復(fù)數(shù)位移定理(7.18)證明根據(jù)Z變換定義有令z1=ze±aT,則上式可化為即式(7.18)成立。4.初值定理(7.19)證明根據(jù)Z變換定義有當(dāng)z→∞時(shí),上式右邊除第一項(xiàng)外,其余各項(xiàng)均趨于0,因此,式(7.19)得證。

5.終值定理如果設(shè)f(t)的Z變換為F(z),且f(nT)(n=0,1,2…)為有限值,且極限(7.20)證明因?yàn)椴蓸有盘杅*(t)即為離散序列f(nT),故f(nT)的Z變換就是而f［(n+1)T］的Z變換為上面兩式相減,可得對上式兩邊取z→1的極限,得當(dāng)n=N時(shí)為有限項(xiàng),上式左邊可寫為令N→∞,則有式(7.20)得證。6.卷積定理設(shè)(7.21)則卷積定理可以表示為(7.22)證明根據(jù)Z變換定義(7.23)將式(7.21)代入式(7.23),可得由于k＜n時(shí),g［(k-n)T］=0,上式可改寫為令k-n=j,則k=0時(shí),j=-n,上式化為7.3.3Z變換方法

1.級數(shù)求和法根據(jù)式(7.13)和式(7.14),只要知道連續(xù)函數(shù)f(t)在各個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)值,即可按照式(7.14)求得其Z變換。這種級數(shù)展開式是開放式的,有無窮多項(xiàng)。但有一些常用的Z變換的級數(shù)展開式可以用閉合型函數(shù)表示。

【例7-1】

求單位階躍函數(shù)1(t)的Z變換。

解單位階躍函數(shù)的采樣函數(shù)為1(nT)=1(n=0,1,2,…)將f(nT)=1(nT)=1代入式(7.14),可得【例7-2】

求f(t)=e-at的Z變換。解

f*(t)=f(nT)=e-anT,根據(jù)式(7.14),可得兩邊同乘e-aTz-1得兩式相減,可以求得即

2.部分分式法當(dāng)連續(xù)函數(shù)可以表示為指數(shù)函數(shù)之和時(shí),可以利用上題的結(jié)果求得相應(yīng)的Z變換。設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù),可以展開為部分分式的形式,即式中,pi為F(s)的極點(diǎn),Ai為常系數(shù)。Ai/(s-pi)對應(yīng)的時(shí)間函數(shù)為Aiepit,由例7-2可知,其Z變換為Aiz/(z-epiT)。由此可得

【例7-3】

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換式為F(s)=a/［s(s+a)］,求其Z變換。解將F(s)展開為部分分式形式：由例7-1和例7-2可知:【例7-4】

求f(t)=sinωt的Z變換。解求F(s)并將其展開為部分分式形式：所以

附表中列出了一些常見函數(shù)及其相應(yīng)的拉氏變換和Z變換。利用此表可以根據(jù)給定的函數(shù)或其拉氏變換式直接查出其對應(yīng)的Z變換,不必再進(jìn)行繁瑣的計(jì)算。7.3.4Z反變換和拉氏反變換相類似,Z反變換可表示為

Z-1［F(z)］=f*(t) (7.24)

1.長除法——冪級數(shù)法如果F(z)已是按z-n降冪次序排列的級數(shù)展開式,如式(7.14),則根據(jù)式(7.13)即可寫出f*(t)。如果F(z)是有理分式,則用其分母去除分子,可以求出按z-n降冪次序排列的級數(shù)展開式,再寫出f*(t)。雖然長除法以序列形式給出了f(0),f(T),f(2T)，…的數(shù)值,但是從一組值中一般很難求出f*(t)或f(nT)的解析表達(dá)式?！纠?-5

】

已知求f*(t)。解

F(z)可以寫為長除得F(z)=5z-1+15z-2+35z-3+75z-4+…f(0)=0,f(T)=5,f(2T)=15,f(3t)=35,f(4T)=75,…即

2.部分分式法采用部分分式法可以求出離散函數(shù)的閉合形式。其方法與拉氏反變換的部分分式法相類似,將F(z)展開成部分分式 的形式,就可以通過查表求得f*(t)或f(nT)。

【例7-6

】

用部分分式法求上例中F(z)的Z反變換式。

解將F(z)展開成部分分式形式：查表得故f*(t)=f(nT)=5(-1+2n)(n=0,1,2,…)即f(0)=0,f(T)=5,f(2T)=15,f(3T)=35,f(4T)=75,…3.留數(shù)計(jì)算法由復(fù)變函數(shù)理論可知(7.25)Res表示F(z)zn-1在F(z)的極點(diǎn)上的留數(shù)。一階極點(diǎn)的留數(shù)為(7.26)

q階重極點(diǎn)的留數(shù)為(7.27)【例7-7】

用留數(shù)法求的Z反變換。解根據(jù)式(7.25)有因?yàn)镕(z)zn-1在z=1和z=0.5處各有一個(gè)極點(diǎn),所以由此得【例7-8】用留數(shù)法求的Z反變換。解由于F(z)在z=1處有二重極點(diǎn),因此由此可得f(nT)=nT(n=0,1,2,…)7.4脈沖傳遞函數(shù)7.4.1脈沖傳遞函數(shù)的基本概念線性連續(xù)系統(tǒng)理論中,把初始條件為零的情況下系統(tǒng)輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比,定義為傳遞函數(shù)。與此類似,在線性采樣系統(tǒng)理論中,把初始條件為零的情況下系統(tǒng)的離散輸出信號的Z變換與離散輸入信號的Z變換之比,定義為脈沖傳遞函數(shù),或稱Z傳遞函數(shù)。它是線性采樣系統(tǒng)理論中的一個(gè)重要概念。對于圖7-11(a)所示的采樣系統(tǒng),脈沖傳遞函數(shù)為(7.28)由式(7.28)可求采樣系統(tǒng)的離散輸出信號

實(shí)際上,許多采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號,如圖7-11(b)所示。在這種情況下,為了應(yīng)用脈沖傳遞函數(shù)的概念,可以在輸出端虛設(shè)一個(gè)采樣開關(guān),并令其采樣周期與輸入端采樣開關(guān)的相同。圖7-11采樣系統(tǒng)

下面討論如何根據(jù)采樣系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)來推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)的公式。由線性連續(xù)系統(tǒng)理論已知,當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號δ(t)時(shí),其輸出信號稱為單位脈沖響應(yīng),以g(t)表示。當(dāng)輸入信號為如下的脈沖序列時(shí):根據(jù)疊加原理,輸出信號為一系列脈沖響應(yīng)之和,即c(t)=r(0)g(t)+r(T)g(t-T)+…+r(nT)g(t-nT)+…在t=kT時(shí)刻,輸出的脈沖值為根據(jù)卷積定理,可得上式的Z變換C(z)=G(z)R(z)C(z)、G(z)和R(z)分別是c(t)、g(t)和r(t)的Z變換。由此可見,系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)經(jīng)過采樣后離散信號g*(t)的Z變換,可表示為(7.29)脈沖傳遞函數(shù)還可表示為G(z)=Z［g(t)］=Z{L-1［G(s)］}=Z［G(s)］7.4.2采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖7-12兩種串聯(lián)結(jié)構(gòu)

在圖7-12(a)所示的開環(huán)系統(tǒng)中,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)存在,這時(shí)X(z)=G1(z)R(z)C(z)=G2(z)X(z)=G1(z)G2(z)R(z)由此可得(7.30)

上式表明,有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí),其脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。上述結(jié)論可以推廣到有采樣開關(guān)分隔的n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。

在圖7-12(b)所示的系統(tǒng)中,兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣開關(guān)隔離。這時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(7.31)式(7.31)表示,沒有采樣開關(guān)分隔的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí),其脈沖傳遞函數(shù)為這兩個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積的Z變換。另G1G2(z)=G2G1(z),是因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的拉氏變換相乘是可交換的。上述結(jié)論也可以推廣到無采樣開關(guān)分隔的n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。請注意式(7.30)和式(7.31)的區(qū)別,通常G1G2(z)≠G1(z)G2(z)【例7-9】

設(shè)圖7-12中求系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解對于圖7-12(a),由式(7.30)得其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為而對于圖7-12(b),由式(7.31),其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為7.4.3采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)圖7-13采樣控制系統(tǒng)由圖可見E(s)=R(s)-H(s)C(s)C(s)=E*(s)G(s)合并以上兩式,得到E(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s)對上式作Z變換,注意到上式右端適用線性定理,則有E(s)=R(s)-Z[G(s)H(s)E*(s)］因G(s)和H(s)之間沒有采樣開關(guān),而H(s)和E*(s)之間有采樣開關(guān),根據(jù)式(7.31),得E(z)=R(z)-GH(z)E(z)于是即得閉環(huán)離散系統(tǒng)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為與線性連續(xù)系統(tǒng)類似,閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的分母1+GH(z)即為閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖7-14所示,其中D*(s),即D(z)為數(shù)字控制器。(7.32)圖7-14具有數(shù)字控制器的采樣系統(tǒng)由圖可見E(s)=R(s)-H(s)G(s)X*(s)X*(s)=D*(s)E*(s)兩式合并,得E(s)=R(s)-H(s)G(s)D*(s)E*(s)對上式作Z變換,有E(z)=R(z)-GH(z)D(z)E(z)即由

C(s)=G(s)X*(s)=G(s)D*(s)E*(s)得即(7.33)

對于圖7-15所示的有干擾的采樣系統(tǒng),干擾N(s)到輸出C(s)的通道上沒有采樣開關(guān),所以,不能寫出輸出C(s)對干擾N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù),而只能寫出對于干擾N(s)的輸出C(s)。此時(shí),R(s)=0。圖7-15有干擾信號的采樣系統(tǒng)7.5數(shù)字控制系統(tǒng)的性能與控制7.5.1數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性如前所述,Z變換稱為采樣拉氏變換,它是從拉氏變換直接引申出來的一種變換方法,因此,為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)態(tài)性能的結(jié)果移植到z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,首先需要研究這兩個(gè)復(fù)平面的關(guān)系。復(fù)變量z和s的關(guān)系為z=eTs,其中s=σ+jω,T為采樣周期。則所以|z|=eσT,∠z=ωT。

設(shè)s平面上的點(diǎn)沿虛軸移動,即s=jω,對應(yīng)z平面上的點(diǎn)z=ejωT,其軌跡是一個(gè)單位圓。當(dāng)s平面上的點(diǎn)從-jω移到j(luò)ω時(shí),z平面上相應(yīng)的點(diǎn)已經(jīng)沿著單位圓轉(zhuǎn)過了無窮多圈。當(dāng)s位于s平面虛軸的左半部(σ＜0)時(shí),|z|＜1,對應(yīng)z平面上的單位圓內(nèi);當(dāng)s位于s平面虛軸的右半部(σ＞0)時(shí),|z|＞1,對應(yīng)z平面上的單位圓外部區(qū)域。見圖7-16。圖7-16s平面上虛軸在z平面上的映像因此,對于圖7-13所示的采樣控制系統(tǒng),其特征方程式為1+GH(z)=0

系統(tǒng)的特征根為z1,z2,…,zn即為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。根據(jù)以上分析可知,閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi),或者所有根的模均小于1,即|zi|＜1(i=1,2,…,n)。

與分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣,用直接求解特征方程式根的方法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性往往比較困難,這時(shí)可利用勞斯判據(jù)來判斷其穩(wěn)定性。但對于線性采樣系統(tǒng),不能直接應(yīng)用勞斯判據(jù),因?yàn)閯谒古袚?jù)只能判斷系統(tǒng)特征方程式的根是否在s平面虛軸的左半部,而采樣系統(tǒng)中希望判別的是特征方程式的根是否在z平面單位圓的內(nèi)部。因此,必須采用一種線性變換方法,使z平面上的單位圓映射為新坐標(biāo)系的虛軸。這種坐標(biāo)變換稱為雙線性變換,又稱為W變換。注意,因z=eTs是超越方程,故不能將特征方程式變換為代數(shù)方程。令(7.34)則(7.35)式(7.34)和式(7.35)表明,復(fù)變量z與w互為線性變換。令復(fù)變量z=x+jy

w=u+jv

代入式(7.35)得對于w平面上的虛軸,實(shí)部u=0,即x2+y2-1=0這就是z平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。單位圓內(nèi)x2+y2＜1,對應(yīng)于w平面上u為負(fù)數(shù)的虛軸左半部;單位圓外x2+y2＞1,對應(yīng)于w平面上u為正數(shù)的虛軸右半部?！纠?-10】

判斷圖7-17所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時(shí)的穩(wěn)定性。圖7-17采樣系統(tǒng)解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為即z2+(T-2)z+1-Te-T=0當(dāng)T=1s時(shí),系統(tǒng)的特征方程為z2-z+0.632=0因?yàn)榉匠淌嵌A,故直接解得極點(diǎn)為z1,2=0.5±j0.618。由于極點(diǎn)都在單位圓內(nèi),所以系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)T=4s時(shí),系統(tǒng)的特征方程為z2+2z+0.927=0

解得極點(diǎn)為z1=-0.73,z2=-1.27。有一個(gè)極點(diǎn)在單位圓外,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。從這個(gè)例子可以看出,一個(gè)原來穩(wěn)定的系統(tǒng),如果加長采樣周期,超過一定程度后,系統(tǒng)就會不穩(wěn)定。通常,T越大,系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差。

用MATLAB解本例如下: %example7_10 c1=［1－10.632］

roots(c1) c2=［120.927］

roots(c2)圖7-18采樣系統(tǒng)【例7-11】

設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-18所示,采樣周期T=0.25s,求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為令代入上式得整理后可得0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0勞斯表為w2 0.158K 2.736-0.158Kw1 1.264w02.736-0.158K

要使系統(tǒng)穩(wěn)定,必須使勞斯表中第一列各項(xiàng)大于零,即0.158K＞0和2.736-0.158K＞0所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0＜K＜17.3。7.5.2數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖7-19單位反饋采樣控制系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)類似,系統(tǒng)的誤差設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,根據(jù)終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值(7.36)

在連續(xù)系統(tǒng)中,如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有ν個(gè)s=0的極點(diǎn),則由z=eTs可知相應(yīng)G(z)必有ν個(gè)z=1的極點(diǎn)。我們把開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有s=0的極點(diǎn)數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn),并分別把ν=0,1,2,…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)等。同樣,在離散系統(tǒng)中,也可把開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點(diǎn)數(shù)ν作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn),分別把G(z)中ν=0,1,2,…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型(離散)系統(tǒng)等。與連續(xù)系統(tǒng)對應(yīng)的離散系統(tǒng)的3種誤差系數(shù)以及不同型別的穩(wěn)態(tài)誤差(表7-1)直接列出如下,不再推導(dǎo)。穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù):(7.37)

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù):(7.38)穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù):(7.39)表7-1單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差7.5.3數(shù)字控制系統(tǒng)的動態(tài)性能如果可以求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Gc(z)=C(z)/R(z),其中R(z)=z/(z-1)通常為單位階躍函數(shù),則系統(tǒng)輸出量的Z變換函數(shù)將上式展成冪級數(shù),通過Z反變換,可以求出輸出信號的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同,故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)性能?！纠?-12】

設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-19所示,其中,采樣周期T=0.1s,求系統(tǒng)指標(biāo)ts和σ的近似值。

解閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為用長除法得C(z)=1.264z-1+1.395z-2+0.943z-3+0.848z-4+1.004z-5+1.055z-6+1.003z-7+…輸出信號的脈沖序列為c*(t)=1.264δ(t-T)+1.395δ(t-2T)+0.943δ(t-3T)+0.848δ(t-4T)+1.004δ(t-5T)+1.055δ(t-6T)+1.003δ(t-7T)+…將c*(t)在各采樣時(shí)刻的值用“*”標(biāo)于圖7-20中,光滑地連接圖中各點(diǎn),便得到了系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線c(t)的大致波形,由該波形曲線可得ts≈(6~7)T=0.6~0.7s,σ=40%~50%圖7-20階躍響應(yīng)曲線

用MATLAB可以方便地求出數(shù)字控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，其程序如下：

%example7-12 num=［1.2640］

den=［1－0.1040.368］

dstep(num,den)圖7-21MATLAB繪制的階躍響應(yīng)曲線7.5.4數(shù)字控制系統(tǒng)的控制圖7-22數(shù)字控制系統(tǒng)框圖

1.連續(xù)化設(shè)計(jì)技術(shù)這是一種離散系統(tǒng)的等效設(shè)計(jì)方法,即假設(shè)系統(tǒng)是一個(gè)連續(xù)系統(tǒng),沒有采樣開關(guān),先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬(連續(xù)時(shí)間)控制器Gc(s)。再離散化得到數(shù)字控制器D(z)。常用的離散化方法有三種。

(1)雙線性變換法。由Z變換的定義可知,z=eTs,利用級數(shù)展開可得(7.40)由上式可得(7.41)(2)前項(xiàng)差分法。將z=eTs寫成以下形式:(7.42)由上式可得(7.43)(3)后項(xiàng)差分法。將z=eTs寫成以下形式:(7.44)由上式可得(7.45)例如,用后項(xiàng)差分法離散化模擬PID調(diào)節(jié)器(7.46)其中，Kp為比例增益，TI為積分時(shí)間常數(shù)，TD為微分時(shí)間常數(shù)，則得(7.47)進(jìn)一步可得等式兩邊作Z反變換,得(7.48)

2.離散化設(shè)計(jì)技術(shù)連續(xù)化設(shè)計(jì)技術(shù)要求相當(dāng)短的采樣周期,因此只能實(shí)現(xiàn)比較簡單的控制算法。如果因控制任務(wù)的需要而選擇比較大的采樣周期,或者對控制質(zhì)量要求比較高時(shí),必須從被控對象的特性出發(fā),即根據(jù)未控制(校正)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)選擇合適的D(z),使得開環(huán)傳遞函數(shù)D(z)G(z)或閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(z)符合要求。例如,根據(jù)期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置,可以用z平面的根軌跡方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。當(dāng)給定頻域指標(biāo)時(shí),可以采用伯德圖的校正方法。但必須先將G(z)進(jìn)行雙線性變換 ,得到G(w),然后根據(jù)給定的指標(biāo)確定w域的傳遞函數(shù)D(w),最后進(jìn)行W反變換,將D(ω)轉(zhuǎn)換成D(z)。圖7-22中閉環(huán)傳遞函數(shù)為(7.49)由上式可以導(dǎo)出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為(7.50)從上式可以看出,G(z)是零階保持器和被控對象所固有的,不能改變?，F(xiàn)在只需要確定滿足系統(tǒng)性能指標(biāo)要求的Φ(z),就可以求得滿足要求的數(shù)字控制器D(z)。

下面以最少拍系統(tǒng)為例,說明式(7.50)的應(yīng)用。通常把采樣過程中的一個(gè)采樣周期稱為一拍。若在典型輸入信號的作用下,經(jīng)過最少采樣周期,系統(tǒng)的采樣誤差信號減少到零,實(shí)現(xiàn)完全跟蹤,則稱系統(tǒng)為最少拍系統(tǒng)。首先,最少拍系統(tǒng)要求穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)=0。由圖7-22可知:

E(z)=R(z)-C(z)=［1-Φ(z)］R(z)根據(jù)終值定理,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為(7.51)

當(dāng)?shù)湫洼斎胄盘柗謩e為單位階躍信號、單位斜坡信號和單位加速度信號時(shí),其Z變換分別如下所示:由此可得典型輸入信號Z變換的