數(shù)學(xué)建模 建立函數(shù)模型解決實際問題：探究茶水溫度與時間的關(guān)系 教學(xué)設(shè)計-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

數(shù)學(xué)建模建立函數(shù)模型解決實際問題：探究茶水溫度與時間的關(guān)系教學(xué)設(shè)計-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間設(shè)計思路本課程設(shè)計以數(shù)學(xué)建模為核心，引導(dǎo)學(xué)生通過建立函數(shù)模型解決實際問題。以“探究茶水溫度與時間的關(guān)系”為案例，結(jié)合高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊的內(nèi)容，讓學(xué)生在實踐中理解函數(shù)模型的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展數(shù)據(jù)分析意識，通過收集、處理茶水溫度數(shù)據(jù)，理解函數(shù)模型在解決實際問題中的應(yīng)用。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和解決。

3.提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，在探究茶水溫度與時間關(guān)系的過程中，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識：學(xué)生在初中階段已經(jīng)接觸過函數(shù)的基本概念，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，對函數(shù)圖像和性質(zhì)有一定的了解。此外，學(xué)生對數(shù)據(jù)收集、處理和分析的基本方法也有所接觸，為本次課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高一學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科充滿好奇心，對探索未知領(lǐng)域有較高的興趣。他們具備較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠理解和運用數(shù)學(xué)概念。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生可能更傾向于通過實驗和觀察來學(xué)習(xí)，而另一部分學(xué)生可能更習(xí)慣于通過理論推導(dǎo)來掌握知識。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在建立函數(shù)模型時，可能會遇到如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的問題。此外，對于函數(shù)模型的應(yīng)用，學(xué)生可能難以理解函數(shù)圖像與實際問題之間的聯(lián)系。在數(shù)據(jù)處理和分析過程中，學(xué)生可能會遇到數(shù)據(jù)異常、計算錯誤等困難。因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生逐步克服這些挑戰(zhàn)，提高他們的數(shù)學(xué)建模能力。教學(xué)資源-軟硬件資源：筆記本電腦、投影儀、數(shù)據(jù)采集器

-課程平臺：數(shù)學(xué)教學(xué)平臺

-信息化資源：茶水溫度與時間關(guān)系的數(shù)據(jù)集、相關(guān)視頻教程

-教學(xué)手段：實物演示、實驗操作、小組討論、數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用教學(xué)過程設(shè)計1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們在生活中遇到過需要解決的實際問題嗎？這些問題是如何解決的？”

展示一些生活中常見的實際問題，如購物優(yōu)惠、運動軌跡等，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)建模的魅力或特點。

簡短介紹數(shù)學(xué)建模的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.數(shù)學(xué)建?；A(chǔ)知識講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解數(shù)學(xué)建模的定義，包括其主要組成元素或結(jié)構(gòu)。

詳細(xì)介紹數(shù)學(xué)建模的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.數(shù)學(xué)建模案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)建模的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的數(shù)學(xué)建模案例進(jìn)行分析，如茶水溫度與時間的關(guān)系、人口增長模型等。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點和意義，讓學(xué)生全面了解數(shù)學(xué)建模的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決實際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論，如如何建立茶水溫度與時間的關(guān)系模型。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)建模的基本概念、組成部分、案例分析等。

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模在現(xiàn)實生活或?qū)W習(xí)中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用數(shù)學(xué)建模。

7.課后作業(yè)布置（5分鐘）

目標(biāo)：鞏固學(xué)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

過程：

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生嘗試自己建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型，并解釋其背后的原理和意義。

要求學(xué)生在課后完成作業(yè)，并在下一節(jié)課分享自己的模型和思考。

8.教學(xué)反思（5分鐘）

目標(biāo)：教師對教學(xué)過程進(jìn)行反思，總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)。

過程：

教師對本節(jié)課的教學(xué)效果進(jìn)行反思，包括學(xué)生的參與度、學(xué)習(xí)效果等。

教師總結(jié)教學(xué)過程中的成功經(jīng)驗和需要改進(jìn)的地方，為今后的教學(xué)提供參考。學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解數(shù)學(xué)建模的基本概念和過程：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)建模的基本概念，包括模型建立、模型驗證、模型應(yīng)用等過程。學(xué)生能夠認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模在解決實際問題中的重要性，并學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

2.掌握函數(shù)模型的應(yīng)用：學(xué)生能夠運用所學(xué)的函數(shù)知識，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，來建立茶水溫度與時間的關(guān)系模型。學(xué)生能夠根據(jù)實際情況選擇合適的函數(shù)類型，并學(xué)會如何通過函數(shù)模型預(yù)測和解釋現(xiàn)象。

3.提高數(shù)據(jù)分析能力：學(xué)生在收集、處理和分析茶水溫度數(shù)據(jù)的過程中，提高了數(shù)據(jù)分析能力。學(xué)生學(xué)會了如何處理數(shù)據(jù)異常、如何選擇合適的統(tǒng)計方法，以及如何從數(shù)據(jù)中提取有價值的信息。

4.增強(qiáng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力：在建立和驗證函數(shù)模型的過程中，學(xué)生需要運用邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力。學(xué)生通過解決實際問題，鍛煉了邏輯思維能力，提高了數(shù)學(xué)運算的準(zhǔn)確性和速度。

5.培養(yǎng)團(tuán)隊合作和溝通能力：在小組討論和課堂展示環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會了如何與同伴合作，共同完成任務(wù)。學(xué)生通過表達(dá)自己的觀點和傾聽他人的意見，提高了溝通能力和團(tuán)隊合作精神。

6.增強(qiáng)問題解決能力：學(xué)生在面對實際問題時的分析問題和解決問題的能力得到了提升。學(xué)生學(xué)會了如何從多個角度思考問題，如何運用所學(xué)知識解決實際問題，并能夠提出創(chuàng)新的解決方案。

7.提高自主學(xué)習(xí)能力：通過課后作業(yè)的布置和完成，學(xué)生養(yǎng)成了自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。學(xué)生能夠在課后主動查找資料、思考問題，并嘗試將所學(xué)知識應(yīng)用到實際生活中。

8.增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的興趣和自信心：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更深的興趣，認(rèn)識到數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值。學(xué)生通過成功建立模型和解決問題，增強(qiáng)了自信心，激發(fā)了進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)是評價教學(xué)效果的重要指標(biāo)。通過觀察學(xué)生的參與度、提問回答情況以及課堂互動，可以評估學(xué)生對課程內(nèi)容的理解和掌握程度。

-參與度：學(xué)生是否積極參與課堂討論，是否主動提問或回答問題。

-理解程度：學(xué)生能否正確理解并運用所學(xué)知識解決問題。

-互動性：學(xué)生與教師、同學(xué)之間的互動是否積極，是否能夠有效地表達(dá)自己的觀點。

2.小組討論成果展示：

小組討論是培養(yǎng)學(xué)生合作能力和問題解決能力的重要環(huán)節(jié)。評價小組討論成果的展示可以從以下幾個方面進(jìn)行：

-團(tuán)隊合作：小組成員之間的分工合作是否明確，是否能夠協(xié)同完成任務(wù)。

-討論深度：討論內(nèi)容是否深入，是否能夠提出有見地的觀點和解決方案。

-展示技巧：小組展示是否清晰、有條理，是否能夠有效地傳達(dá)討論成果。

3.隨堂測試：

隨堂測試可以即時評估學(xué)生對課程內(nèi)容的掌握情況。評價標(biāo)準(zhǔn)包括：

-知識掌握：學(xué)生對基本概念、原理和公式的掌握程度。

-應(yīng)用能力：學(xué)生能否將所學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中。

-思考深度：學(xué)生在解答問題時是否能夠進(jìn)行邏輯推理和分析。

4.課后作業(yè)：

課后作業(yè)是鞏固課堂所學(xué)知識的重要手段。評價標(biāo)準(zhǔn)如下：

-完成情況：學(xué)生是否按時完成作業(yè)，作業(yè)是否完整。

-質(zhì)量評價：作業(yè)的質(zhì)量如何，是否體現(xiàn)了學(xué)生的思考和努力。

-改進(jìn)空間：作業(yè)中是否存在錯誤，學(xué)生是否能夠通過反饋進(jìn)行改進(jìn)。

5.教師評價與反饋：

教師評價與反饋是教學(xué)評價的重要組成部分，針對以下方面進(jìn)行：

-針對性：評價是否針對學(xué)生的具體學(xué)習(xí)情況，是否具有針對性。

-及時性：反饋是否及時，是否能夠在學(xué)生需要時提供幫助。

-指導(dǎo)性：反饋是否具有指導(dǎo)意義，是否能夠幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果。

-鼓勵性：評價是否能夠鼓勵學(xué)生繼續(xù)努力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力。

在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重以下幾個方面：

-定期與學(xué)生進(jìn)行個別交流，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展和困難。

-通過課堂觀察和隨堂測試，及時調(diào)整教學(xué)策略。

-鼓勵學(xué)生進(jìn)行自我評價，提高學(xué)生的自我反思能力。

-結(jié)合學(xué)生的表現(xiàn)，給予積極的反饋和適當(dāng)?shù)募?。課后作業(yè)1.實驗設(shè)計題：

假設(shè)你正在為一家餐廳設(shè)計一種新的保溫杯，要求保溫杯在常溫下保持水溫不下降至10℃以下，至少保持6小時。請你設(shè)計一個簡單的實驗，通過測量不同時間點的水溫來驗證保溫杯的保溫效果。請列出你的實驗步驟和預(yù)期結(jié)果。

答案：

實驗步驟：

a.準(zhǔn)備相同體積的水，溫度保持在25℃。

b.將水分別倒入不同的保溫杯中，記錄每個保溫杯的初始水溫。

c.將保溫杯放置在相同的室內(nèi)環(huán)境中，每隔1小時記錄一次水溫。

d.繼續(xù)記錄水溫，直到水溫度下降至10℃以下。

e.記錄每個保溫杯保持水溫在10℃以上的時間。

預(yù)期結(jié)果：

預(yù)期保溫杯能夠至少保持水溫在10℃以上6小時。

2.函數(shù)模型建立題：

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，建立茶水溫度與時間關(guān)系的函數(shù)模型。假設(shè)初始水溫為95℃，室溫為25℃，茶水溫度隨時間的變化可以用線性函數(shù)表示。

答案：

設(shè)茶水溫度為T（℃），時間為t（小時），則函數(shù)模型為：

T(t)=95-5t

其中，t≥0，表示茶水從沸騰到開始冷卻的時間。

3.模型驗證題：

根據(jù)建立的函數(shù)模型，預(yù)測茶水溫度下降至70℃所需的時間。驗證預(yù)測結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)是否一致。

答案：

將T(t)=70代入函數(shù)模型T(t)=95-5t，得到：

70=95-5t

解得t=3小時。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，驗證預(yù)測結(jié)果與實際一致。

4.應(yīng)用題：

一家公司需要設(shè)計一種保溫飲料瓶，要求在戶外環(huán)境下保持飲料溫度不低于5℃，至少保持10小時。已知飲料初始溫度為10℃，環(huán)境溫度為20℃，請根據(jù)茶水溫度與時間的關(guān)系模型，設(shè)計一個保溫飲料瓶的保溫方案。

答案：

假設(shè)保溫飲料瓶能夠有效減緩飲料溫度的下降，可以參考茶水溫度與時間的關(guān)系模型，設(shè)計如下保溫方案：

-使用高保溫材料制作瓶身，減少熱量的散失。

-在瓶身內(nèi)壁添加一層隔熱層，進(jìn)一步減少熱量散失。

-設(shè)計一個可調(diào)節(jié)的保溫蓋，以控制瓶內(nèi)壓力，減緩飲料溫度下降。

5.創(chuàng)新題：

假設(shè)你發(fā)現(xiàn)一種新的保溫材料，其保溫效果是傳統(tǒng)材料的兩倍。請根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，重新設(shè)計保溫飲料瓶的保溫方案，并預(yù)測在相同條件下，飲料溫度下降至5℃所需的時間。

答案：

新的保溫飲料瓶設(shè)計方案：

-使用新的高保溫材料制作瓶身。

-在瓶身內(nèi)壁添加兩層隔熱層，其中一層為新型材料。

-設(shè)計一個可調(diào)節(jié)的保溫蓋，以控制瓶內(nèi)壓力，減緩飲料溫度下降。

預(yù)測時間：

假設(shè)新的保溫材料使得保溫效果提高了一倍，則飲料溫度下降至5℃所需的時間將是原來的二分之一。如果原來需要10小時，則新的保溫方案預(yù)計需要5小時。教學(xué)反思教學(xué)反思

今天這節(jié)課，我們通過探究茶水溫度與時間的關(guān)系，學(xué)習(xí)了如何運用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實際問題?；仡櫼幌拢矣X得這節(jié)課有幾個亮點，也有一些需要改進(jìn)的地方。

首先，我覺得這節(jié)課的一個亮點在于，我們能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與學(xué)生的實際生活經(jīng)驗相結(jié)合。比如，我們通過實驗來收集茶水溫度的數(shù)據(jù)，這個過程不僅讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，而且也激發(fā)了他們對數(shù)學(xué)的興趣。我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生們看到自己親手測量的數(shù)據(jù)變成曲線，并且能夠用數(shù)學(xué)模型來解釋這些曲線時，他們的臉上都露出了滿意的笑容。

其次，我在課堂上嘗試讓學(xué)生分組討論，這樣的互動方式收到了很好的效果。小組討論不僅讓學(xué)生們在交流中碰撞出新的想法，而且也鍛煉了他們的團(tuán)隊合作能力和表達(dá)能力。我看到，學(xué)生們在討論時能夠積極發(fā)言，互相傾聽，這讓我感到很欣慰。

但是，反思這節(jié)課，我也發(fā)現(xiàn)了一些不足。比如，在講解數(shù)學(xué)建模的原理時，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對于如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的概念理解起來有些困難。這可能是因為他們?nèi)狈ο鄳?yīng)的經(jīng)驗，或者是對數(shù)學(xué)語言的敏感度不夠。因此，我需要思考如何更好地幫助學(xué)生建立起這種聯(lián)系。

另外，課堂上的時間有限，有些學(xué)生可能還沒有完全消化和理解某些概念。在課后，我收到了一些學(xué)生的反饋，他們表示