商不變的原理課件

商不變的原理歡迎來到商不變的原理的探索之旅！本次課件將帶您深入理解這一重要的數(shù)學(xué)概念。我們將通過生動的故事、詳細的例子和豐富的練習(xí)，讓您輕松掌握商不變的原理，并能靈活運用到實際問題中。準(zhǔn)備好開始了嗎？讓我們一起啟航吧！教學(xué)目標(biāo)1理解商不變的原理了解被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商不變的數(shù)學(xué)規(guī)律。2掌握商不變原理的應(yīng)用學(xué)會運用商不變的原理簡化計算，解決實際問題。3培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力通過觀察、比較、分析、歸納等方法，提升數(shù)學(xué)思維能力。什么是商？復(fù)習(xí)除法概念在開始學(xué)習(xí)商不變的原理之前，我們先來回顧一下除法的基本概念。除法是四則運算之一，已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。在除法算式中，商是指被除數(shù)除以除數(shù)所得到的結(jié)果。商是除法運算的核心概念，理解商的含義是掌握商不變的原理的基礎(chǔ)。除法算式：被除數(shù)÷除數(shù)=商被除數(shù)表示被分割或分配的總數(shù)量。除數(shù)表示將總數(shù)量分割成多少份。商表示每份所包含的數(shù)量，即除法的結(jié)果。被除數(shù)、除數(shù)、商之間的關(guān)系被除數(shù)被除數(shù)是除法運算中被分割的數(shù)，它是除法運算的對象，也是最終被分配的總量。被除數(shù)的大小直接影響著商的大小，當(dāng)除數(shù)不變時，被除數(shù)越大，商也越大。除數(shù)除數(shù)是除法運算中用來分割被除數(shù)的數(shù)，它決定了被除數(shù)將被分成多少份。除數(shù)的大小與商的大小成反比關(guān)系，當(dāng)被除數(shù)不變時，除數(shù)越大，商越小。商商是除法運算的結(jié)果，它表示被除數(shù)按照除數(shù)分割后每份的大小。商的大小受到被除數(shù)和除數(shù)的共同影響，它反映了被除數(shù)和除數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。導(dǎo)入：小明分蘋果的故事在一個陽光明媚的下午，小明摘了一籃子紅彤彤的蘋果。他決定把這些蘋果分給他的好朋友們。通過小明分蘋果的故事，我們將逐步揭開商不變的原理的神秘面紗，并體會數(shù)學(xué)的樂趣。小明有12個蘋果，分給4個小朋友，每人幾個？問題小明有12個蘋果，分給4個小朋友，每人可以分到幾個蘋果？思考這是一個簡單的除法問題，我們可以用除法算式來表示。答案每人可以分到3個蘋果。12÷4=3（個）被除數(shù)1除數(shù)2商3在這個算式中，12是被除數(shù)，表示蘋果的總數(shù)量；4是除數(shù)，表示小朋友的數(shù)量；3是商，表示每個小朋友分到的蘋果數(shù)量。如果小明有24個蘋果，分給8個小朋友，每人幾個？蘋果總數(shù)增加小朋友數(shù)量增加現(xiàn)在，小明有了更多的蘋果，也多了幾個好朋友。讓我們看看在這種情況下，每個小朋友能分到多少蘋果呢？這個問題又該如何解答？24÷8=3（個）被除數(shù)24除數(shù)8商3盡管蘋果的總數(shù)量和小朋友的數(shù)量都發(fā)生了變化，但每個小朋友分到的蘋果數(shù)量仍然是3個，與之前的情況相同。這其中蘊含著什么數(shù)學(xué)規(guī)律呢？觀察這兩個算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？1算式對比2數(shù)據(jù)分析3規(guī)律探索仔細觀察這兩個算式，看看你能從中發(fā)現(xiàn)什么有趣的現(xiàn)象？蘋果的數(shù)量和小朋友的數(shù)量是如何變化的？每個小朋友分到的蘋果數(shù)量又是如何變化的？嘗試用自己的話語描述你所觀察到的現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)：蘋果數(shù)量和人數(shù)都增加了一倍，但每人分到的蘋果數(shù)沒變。蘋果數(shù)量從12個增加到24個，增加了一倍。人數(shù)從4個增加到8個，同樣增加了一倍。蘋果的數(shù)量和小朋友的數(shù)量都增加了一倍，但每個小朋友分到的蘋果數(shù)量卻始終保持不變，都是3個。這說明，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)時，商并沒有發(fā)生變化。商不變的原理：初步感知1故事引入通過小明分蘋果的故事，初步感知商不變的原理。2算式觀察觀察兩個除法算式，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律。3現(xiàn)象總結(jié)總結(jié)出當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同倍數(shù)時，商不變的現(xiàn)象。商不變的原理定義被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。這就是商不變的原理的定義。它告訴我們，在除法運算中，只要被除數(shù)和除數(shù)同時進行相同的乘法或除法運算（0除外），商的值就不會發(fā)生改變。這是一個非常重要的數(shù)學(xué)規(guī)律，可以幫助我們簡化計算，解決實際問題。被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。乘以相同的數(shù)被除數(shù)和除數(shù)同時乘以相同的數(shù)，商不變。除以相同的數(shù)被除數(shù)和除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），商不變。商不變的原理包含兩個方面的內(nèi)容：一是被除數(shù)和除數(shù)同時乘以相同的數(shù)，商不變；二是當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外），商也不變。這兩個方面共同構(gòu)成了商不變的原理的完整內(nèi)容。強調(diào)：0除外的重要性除數(shù)不能為0在除法運算中，除數(shù)不能為0，這是除法運算的基本規(guī)則。0沒有倒數(shù)0沒有倒數(shù)，因此除以0的運算沒有意義。商無意義當(dāng)除數(shù)為0時，商不存在，除法運算失去意義。在商不變的原理中，強調(diào)“0除外”非常重要。這是因為除數(shù)不能為0，否則除法運算就沒有意義了。因此，在使用商不變的原理時，必須確保所乘以或除以的數(shù)不是0，才能保證結(jié)論的正確性。為什么除數(shù)不能為0？除法定義除法是乘法的逆運算，除數(shù)乘以商等于被除數(shù)。0的特性任何數(shù)乘以0都等于0。邏輯矛盾如果除數(shù)為0，則無論商是多少，都無法得到非0的被除數(shù)，產(chǎn)生邏輯矛盾。除數(shù)不能為0是由除法的定義和0的特性決定的。如果除數(shù)為0，那么無論商是多少，都無法通過乘法運算還原得到原來的被除數(shù)，這與除法的定義相悖，因此除數(shù)不能為0。用字母表示商不變的原理：a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)(c≠0)a÷b原始算式(a×c)÷(b×c)同時乘以c(a÷c)÷(b÷c)同時除以c為了更簡潔地表達商不變的原理，我們可以使用字母來表示。其中，a代表被除數(shù)，b代表除數(shù)，c代表非0的數(shù)。這個公式清晰地展示了商不變的原理的數(shù)學(xué)本質(zhì)。舉例說明：20÷5=41原始算式20÷5=4，這是一個簡單的除法算式，商為4。2乘以相同的數(shù)我們將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以2，看看結(jié)果如何。3除以相同的數(shù)我們將被除數(shù)和除數(shù)同時除以2，看看結(jié)果如何。20×2=40,5×2=10,40÷10=4被除數(shù)擴大2倍1除數(shù)擴大2倍2商不變3我們將被除數(shù)20和除數(shù)5同時乘以2，得到新的算式40÷10。計算結(jié)果仍然是4，與原始算式的商相同。這驗證了商不變的原理，即當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時乘以相同的數(shù)時，商不變。20÷2=10,5÷2=2.5,10÷2.5=41被除數(shù)縮小2倍2除數(shù)縮小2倍3商不變我們再將被除數(shù)20和除數(shù)5同時除以2，得到新的算式10÷2.5。計算結(jié)果仍然是4，與原始算式的商相同。這再次驗證了商不變的原理，即當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時除以相同的數(shù)（0除外）時，商不變。練習(xí)：快速計算限時挑戰(zhàn)在規(guī)定時間內(nèi)完成計算，挑戰(zhàn)你的速度和準(zhǔn)確率。運用原理運用商不變的原理簡化計算，提高解題效率。接下來，我們將進行一些快速計算練習(xí)，幫助大家更好地掌握商不變的原理。請大家運用所學(xué)知識，在最短的時間內(nèi)準(zhǔn)確地計算出結(jié)果。準(zhǔn)備好了嗎？讓我們開始吧！30÷6=？300÷60=？3000÷600=？算式一30÷6=？算式二300÷60=？算式三3000÷600=？請大家仔細觀察這三個算式，思考它們之間有什么聯(lián)系？你能運用商不變的原理快速計算出結(jié)果嗎？嘗試用簡便方法進行計算，并比較不同算式之間的結(jié)果。100÷20=？50÷10=？10÷2=？100÷20被除數(shù)和除數(shù)同時縮小5倍。50÷10被除數(shù)和除數(shù)同時縮小5倍。10÷2最簡形式。這三個算式也蘊含著商不變的原理。請大家仔細觀察，思考它們之間的聯(lián)系，并運用商不變的原理快速計算出結(jié)果。你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？生活中的應(yīng)用：單價問題單價商品的價格?？們r購買商品的總金額。數(shù)量購買商品的個數(shù)。商不變的原理在生活中也有廣泛的應(yīng)用，例如單價問題。單價是指單位商品的價格，它等于總價除以數(shù)量。當(dāng)購買同樣的商品時，數(shù)量增加，總價也相應(yīng)增加，但單價卻保持不變。例子：買同樣的商品，數(shù)量增加，總價也相應(yīng)增加，單價不變。數(shù)量增加1總價增加2單價不變3假設(shè)一件商品的單價是5元，如果你購買2件商品，總價就是10元。如果你購買4件商品，總價就是20元。雖然數(shù)量和總價都發(fā)生了變化，但單價始終保持不變，都是5元。單價=總價÷數(shù)量總價數(shù)量單價單價、總價和數(shù)量之間存在著密切的關(guān)系，它們可以用一個簡單的公式來表示：單價=總價÷數(shù)量。這個公式清晰地展示了單價、總價和數(shù)量之間的數(shù)量關(guān)系，也體現(xiàn)了商不變的原理在實際生活中的應(yīng)用。挑戰(zhàn)：判斷題認真思考仔細分析算式，判斷是否符合商不變的原理。運用知識運用所學(xué)知識進行判斷，提高解題能力。接下來，我們將進行一些判斷題的挑戰(zhàn)，幫助大家更深入地理解商不變的原理。請大家認真思考，運用所學(xué)知識進行判斷，看看你能否全部答對？20÷4=(20+5)÷(4+5)（錯）錯誤原因被除數(shù)和除數(shù)不是同時乘以或除以相同的數(shù)，而是同時加上了相同的數(shù)。正確做法要保持商不變，被除數(shù)和除數(shù)必須同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外）。這個算式是錯誤的。因為被除數(shù)和除數(shù)不是同時乘以或除以相同的數(shù)，而是同時加上了相同的數(shù)。商不變的原理要求被除數(shù)和除數(shù)必須同時進行相同的乘法或除法運算，才能保證商的值不變。15÷3=(15×0)÷(3×0)（錯）錯誤原因被除數(shù)和除數(shù)同時乘以了0，違反了商不變的原理中“0除外”的規(guī)定。特別注意0不能作為除數(shù)或乘數(shù)，否則除法運算失去意義。這個算式也是錯誤的。因為被除數(shù)和除數(shù)同時乘以了0，違反了商不變的原理中“0除外”的規(guī)定。在商不變的原理中，必須確保所乘以或除以的數(shù)不是0，才能保證結(jié)論的正確性。36÷9=(36÷3)÷(9÷3)（對）1驗證過程36÷9=42驗證過程(36÷3)÷(9÷3)=12÷3=4這個算式是正確的。因為被除數(shù)和除數(shù)同時除以了相同的數(shù)3，符合商不變的原理。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，兩個算式的商都是4，驗證了商不變的原理的正確性。商不變的原理的應(yīng)用：簡化計算化繁為簡運用商不變的原理，將復(fù)雜的除法算式轉(zhuǎn)化為簡單的算式。提高效率簡化計算過程，提高解題效率。商不變的原理最大的應(yīng)用就是可以簡化計算。當(dāng)遇到一些較大的除法算式時，我們可以通過商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時縮小相同的倍數(shù)，從而將復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化為簡單的算式，方便計算。例子：480÷80原始算式480÷80簡化方法同時除以10簡化結(jié)果48÷8這是一個比較大的除法算式，直接計算可能會比較麻煩。但是，我們可以運用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，將算式轉(zhuǎn)化為48÷8，這樣計算就簡單多了。480÷80=(480÷10)÷(80÷10)=48÷8=61同時除以102簡化算式3快速計算通過將被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，我們將480÷80轉(zhuǎn)化為了48÷8。這是一個非常簡單的算式，我們可以很容易地計算出結(jié)果為6。這充分展示了商不變的原理在簡化計算方面的優(yōu)勢。練習(xí)：用商不變的原理簡化計算獨立思考運用技巧驗證結(jié)果接下來，我們將進行一些練習(xí)，幫助大家更好地掌握運用商不變的原理簡化計算的方法。請大家獨立思考，運用所學(xué)知識，嘗試用簡便方法計算出結(jié)果，并驗證結(jié)果的正確性。540÷90=？簡化方法被除數(shù)和除數(shù)同時除以10簡化結(jié)果54÷9=？請大家運用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，將算式簡化為54÷9，然后快速計算出結(jié)果。你是否感受到了商不變的原理在簡化計算方面的優(yōu)勢？6300÷700=？簡化方法被除數(shù)和除數(shù)同時除以100簡化結(jié)果63÷7=？對于這個算式，我們可以將被除數(shù)和除數(shù)同時除以100，將算式簡化為63÷7，然后快速計算出結(jié)果。你是否掌握了運用商不變的原理簡化計算的技巧？1200÷40=？1簡化方法被除數(shù)和除數(shù)同時除以102簡化方法被除數(shù)和除數(shù)再次同時除以2這個算式可以進行多次簡化。首先，我們可以將被除數(shù)和除數(shù)同時除以10，得到120÷4。然后，我們可以再次將被除數(shù)和除數(shù)同時除以2，得到60÷2。最終，我們可以輕松地計算出結(jié)果。思考題：如何用商不變的原理解決復(fù)雜的除法問題？深入思考靈活運用舉一反三當(dāng)遇到一些復(fù)雜的除法問題時，我們可以嘗試運用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而將?fù)雜的算式轉(zhuǎn)化為簡單的算式，方便計算。關(guān)鍵在于要找到合適的變形方法，并靈活運用商不變的原理。變式練習(xí)：條件變化結(jié)果探索接下來，我們將進行一些變式練習(xí)，幫助大家更深入地理解商不變的原理。我們將改變被除數(shù)和除數(shù)的變化方式，看看商會如何變化？請大家認真思考，并嘗試總結(jié)出規(guī)律。如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴大2倍，商會怎樣？條件被除數(shù)不變，除數(shù)擴大2倍結(jié)論商會縮小2倍當(dāng)被除數(shù)不變時，除數(shù)擴大2倍，商會縮小2倍。這是因為商等于被除數(shù)除以除數(shù)，當(dāng)除數(shù)擴大2倍時，商自然就會縮小2倍。如果除數(shù)不變，被除數(shù)擴大3倍，商會怎樣？條件除數(shù)不變，被除數(shù)擴大3倍結(jié)論商會擴大3倍當(dāng)除數(shù)不變時，被除數(shù)擴大3倍，商會擴大3倍。這是因為商等于被除數(shù)除以除數(shù)，當(dāng)被除數(shù)擴大3倍時，商自然就會擴大3倍。如果被除數(shù)擴大2倍，除數(shù)縮小2倍，商會怎樣？1被除數(shù)擴大2倍商擴大2倍2除數(shù)縮小2倍商再次擴大2倍當(dāng)被除數(shù)擴大2倍，除數(shù)縮小2倍時，商會擴大4倍。這是因為被除數(shù)擴大2倍，商會擴大2倍；除數(shù)縮小2倍，商會再次擴大2倍。因此，總共擴大了4倍。商不變的原理與分數(shù)的關(guān)系分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。除法表示一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍。商不變的原理與分數(shù)之間存在著密切的關(guān)系。我們可以將一個除法算式看作一個分數(shù)，被除數(shù)是分子，除數(shù)是分母。因此，商不變的原理也可以應(yīng)用于分數(shù)的化簡和計算。分數(shù)的基本性質(zhì)：分子分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的值不變。乘以相同的數(shù)分子分母同時乘以相同的數(shù)，分數(shù)的值不變。除以相同的數(shù)分子分母同時除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的值不變。分數(shù)的基本性質(zhì)與商不變的原理非常相似。分數(shù)的基本性質(zhì)告訴我們，當(dāng)分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外）時，分數(shù)的值不會發(fā)生改變。這與商不變的原理的定義完全一致。分數(shù)的基本性質(zhì)與商不變的原理的聯(lián)系本質(zhì)相同都是描述一個數(shù)與另一個數(shù)之間的比例關(guān)系。形式不同商不變的原理用除法算式表示，分數(shù)的基本性質(zhì)用分數(shù)形式表示。分數(shù)的基本性質(zhì)和商不變的原理本質(zhì)上是相同的，都是描述一個數(shù)與另一個數(shù)之間的比例關(guān)系。只是它們的表現(xiàn)形式不同，商不變的原理用除法算式表示，而分數(shù)的基本性質(zhì)用分數(shù)形式表示。總結(jié)：商不變的原理和分數(shù)的基本性質(zhì)本質(zhì)相同。1統(tǒng)一性2相似性3關(guān)聯(lián)性商不變的原理和分數(shù)的基本性質(zhì)雖然形式不同，但本質(zhì)是相同的。它們都描述了一個數(shù)與另一個數(shù)之間的比例關(guān)系，并且都可以用來簡化計算。理解了它們之間的聯(lián)系，可以幫助我們更好地掌握數(shù)學(xué)知識。拓展：小數(shù)除法中的應(yīng)用小數(shù)除法整數(shù)除法轉(zhuǎn)化商不變的原理不僅可以應(yīng)用于整數(shù)除法，還可以應(yīng)用于小數(shù)除法。在進行小數(shù)除法時，我們可以利用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，方便計算。例子：2.4÷0.6小數(shù)除法2.4÷0.6轉(zhuǎn)化方法同時乘以10整數(shù)除法24÷6這是一個小數(shù)除法算式，直接計算可能會比較困難。但是，我們可以利用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，將算式轉(zhuǎn)化為24÷6，這樣計算就簡單多了。2.4÷0.6=(2.4×10)÷(0.6×10)=24÷6=4擴大10倍1轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法2快速計算3通過將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，我們將2.4÷0.6轉(zhuǎn)化為了24÷6。這是一個非常簡單的整數(shù)除法算式，我們可以很容易地計算出結(jié)果為4。這充分展示了商不變的原理在小數(shù)除法中的應(yīng)用價值。練習(xí)：小數(shù)除法計算小數(shù)除法運用技巧接下來，我們將進行一些小數(shù)除法計算的練習(xí)，幫助大家更好地掌握在小數(shù)除法中應(yīng)用商不變的原理的方法。請大家獨立思考，運用所學(xué)知識，嘗試用簡便方法計算出結(jié)果。3.6÷0.9=？轉(zhuǎn)化方法被除數(shù)和除數(shù)同時乘以10轉(zhuǎn)化結(jié)果36÷9=？請大家運用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以10，將算式轉(zhuǎn)化為36÷9，然后快速計算出結(jié)果。你是否感受到了商不變的原理在簡化小數(shù)除法方面的優(yōu)勢？4.8÷0.8=？轉(zhuǎn)化方法被除數(shù)和除數(shù)同時乘以10轉(zhuǎn)化結(jié)果48÷8=？對于這個算式，我們可以將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以10，將算式轉(zhuǎn)化為48÷8，然后快速計算出結(jié)果。你是否掌握了在小數(shù)除法中應(yīng)用商不變的原理的技巧？1.25÷0.25=？1轉(zhuǎn)化方法被除數(shù)和除數(shù)同時乘以1002轉(zhuǎn)化結(jié)果125÷25=？這個算式需要將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以100，才能轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法。請大家運用商不變的原理，將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以100，將算式轉(zhuǎn)化為125÷2