2023屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)(新教材)增分微課(一)-構(gòu)造法在解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

增分微課(一)

構(gòu)造法在解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用類型一導(dǎo)數(shù)型構(gòu)造法增分微課(一)例1已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有f'(x)>f(x)且f(1)=e,則不等式f(lnx)<x的解集為(

)

A.(e,+∞) B.(1,+∞) C.(0,e) D.(0,1)C

增分微課(一)

增分微課(一)D

類型二同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)增分微課(一)例2

(1)[2020·全國(guó)卷Ⅰ]若2a+log2a=4b+2log4b,則(

)

A.a>2b

B.a<2b C.a>b2

D.a<b2B[思路點(diǎn)撥]將已知等式2a+log2a=4b+2log4b按照“左右形式相當(dāng),一邊一個(gè)變量”的目的變形,然后逆用函數(shù)的單調(diào)性求解即可;[解析]由題知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),又函數(shù)y=2x+log2x在(0,+∞)上為增函數(shù),所以a<2b,故選B.

增分微課(一)C

增分微課(一)[總結(jié)反思](1)在成立或恒成立問題中,有一部分題目是利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出來的,如果我們能找到這個(gè)函數(shù)模型(即不等式兩邊對(duì)應(yīng)的同一函數(shù)),那么無疑大大加快了解決問題的速度.找到這個(gè)函數(shù)模型的方法,我們稱為同構(gòu)法.例如:若F(x)≥0能等價(jià)變形為f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的單調(diào)性,如單調(diào)遞增,再轉(zhuǎn)化為g(x)≥h(x),這種方法我們就可以稱為同構(gòu)不等式法(等號(hào)成立時(shí),稱為同構(gòu)方程法),簡(jiǎn)稱同構(gòu)法.增分微課(一)

增分微課(一)C

[題組訓(xùn)練]?

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f'(x)<1,若f(2020-m)-f(m)≥2020-2m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A.[-1010,1010] B.[1010,+∞) C.(-∞,-1010] D.(-∞,-1010]∪[1010,+∞)增分微課(一)B[解析]設(shè)g(x)=f(x)-x,則g'(x)=f'(x)-1,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f'(x)<1,所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減.又f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以函數(shù)g(x)為R上的奇函數(shù),故g(x)在R上單調(diào)遞減,又f(2020-m)-f(m)≥2020-2m,所以f(2020-m)-(2020-m)≥f(m)-m,即g(2020-m)≥g(m),可得2020-m≤m,解得m≥1010,故選B.?

若asina-bsinb=b2-a2-1,則(

)A.a>b

B.a<b C.|a|>|b|

D.|a|<|b|增分微課(一)D[解析]令f(x)=xsinx+x2,∵f(-x)=-xsin(-x)+(-x)2=xsinx+x2=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).∵f'(x)=sinx+xcosx+2x=x(cosx+1)+(sinx+x),令g(x)=sinx+x,則g'(x)=cosx+1≥0,∴g(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x≥0時(shí),g(x)≥g(0)=0,此時(shí)f'(x)≥0,∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.由asina-bsinb=b2-a2-1可得asina+a2=bsinb+b2-1,即f(a)=f(b)-1,∴f(a)<f(b),∵f(x)是偶函數(shù),∴f(|a|)<f(|b|),∴|a|<|b|.故選D.?

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(-1)=2.若對(duì)任意x∈R,f'(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為

.

增分微課(一)(-1,+∞)[解析]設(shè)g(x)=f(x)-2x-4,則g'(x)=f'(x)-2,因?yàn)閷?duì)任意x∈R,f'(x)>2,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,由g(x)>g(-1)=0,可得x>-1,則f(x)>2x+4的解集為(-1,+∞).?

已知f'(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f'(x)>f(x)-1,且有f(1)=2,則不等式f(x)-1>ex-1的解集為

.

增分微課(一)(1,+∞)

?

若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

增分微課(一)(-∞,-2)[解析]由存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x,y,使得m(y-x)+e2y-e2x=0成立,可得my+e2y=mx+e2x成立,構(gòu)造函數(shù)f(x)=mx+e2x,x>0,由x≠y,f(x)=f(y),可得函數(shù)f(x)在(0,+∞)上不單調(diào),易知