江西省景德鎮(zhèn)市2025屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

景德鎮(zhèn)市2025屆高三第二次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)命題景德鎮(zhèn)二中馬小宇昌江一中占星景德鎮(zhèn)十六中余倩本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用并集的定義可求得集合.【詳解】因為，，則.故選：C．2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模及乘方求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部的定義即可得解.【詳解】，，則，∴，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B．3.命題：，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出命題的否定即可．【詳解】命題“”的否定為“”.故選：B．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式得到，再利用弦化切化簡原式代入即可求得結(jié)果.【詳解】由，可得，∴，故選：C．5.已知圓，且圓外有一點，過點作圓兩條切線，且切點分別為點和點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心和半徑，求出，再利用等面積法即可求得答案.【詳解】圓，且，則，又，∴，利用面積相等，∴，故選：D．6.正項等比數(shù)列中，是其前項和，若，，則（）A.20 B.21 C.24 D.28【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比，再利用并項法求和.【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，由，得，則，而，所以.故選：B7.定義在上的函數(shù)滿足，為偶函數(shù)，，則（）A.1013 B.1014 C.2025 D.2026【答案】A【解析】【分析】由題意可得函數(shù)的周期與對稱軸，可得函數(shù)在自變量取整數(shù)時的函數(shù)值，可得答案.【詳解】∵，，則，∴的最小周期為4．令，解得．∵為偶函數(shù)，由函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位，∴關(guān)于直線成軸對稱．∴，∴，∴．又，∴，，∴.故選：A．8.古希臘數(shù)學(xué)家在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，且在點處的切線垂直于法線（即的角平分線）．已知橢圓，坐標(biāo)原點到點處切線的距離為，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，根據(jù)光學(xué)性質(zhì)，得到點處切線與直線均為，求出點到的距離，結(jié)合橢圓的定義得到原點到點處切線的距離，得到方程，求出，，由余弦定理，，得到，求出離心率.【詳解】如圖，是的平分線，則⊥，設(shè)，則，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，點處切線與直線均為，故點到的距離分別為，，∵為的中點，∴由梯形中位線性質(zhì)得，原點到點處切線的距離為，∴，故，，又，由余弦定理，可得，∴，即，故，∴的離心率為.故選：C．【點睛】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得離心率(離心率的取值范圍).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.二項式展開式中的常數(shù)項為24B.C.已知某組數(shù)據(jù)分別為3，5，6，7，8，9，9，11，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為8.5D.設(shè)隨機變量，若，則【答案】AB【解析】【分析】由二項式的展開式的公式求出通項公式，令的指數(shù)為0，得到常數(shù)項，判斷A選項；由對數(shù)的計算化簡等式兩邊，判斷B選項；由統(tǒng)計的百分位數(shù)公式求得結(jié)果，判斷C選項；由二項分布方差的公式求得，再由方差的性質(zhì)求得，判斷D選項.【詳解】對于A，，當(dāng)時，常數(shù)項為，A正確；對于B，，，兩邊相等，B正確；對于C，，∴分位數(shù)即第5位數(shù)為8，故C錯誤；對于D，由已知可得，則，故D錯誤．故選：AB．10.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，離心率為，且到其漸近線的距離為，直線交于，兩點，則下列說法正確的是（）A.的漸近線方程為B.若為的重心，則C.若在線段上，且，則D.若過點，且外接圓的圓心在軸上，則外接圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)離心率求出，即可判斷A；根據(jù)題意求出，即可求出雙曲線方程，進而可得焦點坐標(biāo)，根據(jù)為的重心，可設(shè)，，再根據(jù)重心坐標(biāo)求出，即可判斷B；根據(jù)雙曲線的定義即可判斷C；設(shè)的外接圓圓心，直線，分別與圓的方程及雙曲線方程聯(lián)立，求出，即可判斷D.【詳解】對于A，，∴，的漸近線方程為，A正確；對于B，到其漸近線的距離為，∴，，，若為的重心，則直線垂直與軸，不妨設(shè)，，則由重心坐標(biāo)可知，，∴，代入可得，∴，B錯誤；對于C，依題意，又，∴，，∴，C正確；對于D，設(shè)的外接圓圓心，則外接圓方程為，設(shè)直線，與圓聯(lián)立可得，①，直線與聯(lián)立可得②，依題意可得，①和②為同一個方程，∴，解得，經(jīng)檢驗，∴外接圓半徑為，D正確．故選：ACD．11.在矩形中，，，將沿折疊至，則下列選項正確的是（）A.直線與平面所成角的最大值為B.存在點，使得C.當(dāng)時，二面角的大小為D.當(dāng)平面平面時，三棱錐的外接球被平面所截得到的截面圖形的面積為【答案】AD【解析】【分析】A項，當(dāng)平面平面時，求解即可；B項，通過假設(shè)成立，給出矛盾即可；C項，作垂直于，垂直于，由進行兩邊平方求解；D項，求出截面圓的半徑進行求解．【詳解】對于A，設(shè)點到平面的距離為,記直線與平面所成角為,得,要使直線與平面所成角取得最大則取最大,即當(dāng)平面平面時，取最大,此時,得，而，得，故A正確；對于B，若假設(shè)存在點，使得，而，平面，得平面，平面，得，而，顯然得不到，故假設(shè)不成立，故不存在滿足題意的點，B錯誤；對于C，作垂直于，垂直于，如圖所示：則，，∴，設(shè)二面角的大小為，則，得，而，得，C錯誤；對于D，當(dāng)平面平面時，，由余弦定理，，得，∴，設(shè)為的中點，易知為三棱錐的外接球球心，半徑為1，由等體積法可知，到平面的距離為，∴截面面積為，D正確．故選:AD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，，，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及向量夾角公式計算得解.【詳解】由，得，，．故答案為：13.小崔和小汪兩位好朋友想體驗制作一把屬于自己的漂漆扇，她們每人欲從8種不同顏色（有一種顏色是黑色）的大漆中隨機選4種不同的顏色，兩人約定不能同時選黑色，且她們兩人之間有且只有兩種顏色相同，則她們不同的選漆方法共有______種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】本題主要考查了排列組合，考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，首先根據(jù)題意選擇分以下三類：僅小崔選了黑色；僅小汪選了黑色；兩人都沒有選擇黑色，然后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理解決問題.【詳解】若僅小崔選了黑色，則有種選法；若僅小汪選了黑色，同理也有種選法；若兩人都沒有選擇黑色，則有種選法．故共有種選法．故答案為：189014.已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，若，不等式在上總存在實數(shù)解，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由題可得，不等式存在解，轉(zhuǎn)化為求解不等式左邊的最大值.構(gòu)建函數(shù)，得到函數(shù)在的單調(diào)性，從而知道函數(shù)在內(nèi)的值域，當(dāng)時，取最小，建立不等式，求得的取值范圍.【詳解】依題意在上總存在實數(shù)解，∴．∵，∴在上單調(diào)遞增，∴，由于，∴當(dāng)時，達到最小，即，∴，解得．故答案為：【點睛】方法點睛，不等式存在解（恒成立）的問題，一般轉(zhuǎn)換為求不等式的最值來建立新的不等式，然后求得參數(shù)范圍.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.在中，角，，的對邊分別為，，，，分別為，邊上的高，，．（1）求證：；（2）若，求．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，利用三角函數(shù)的和角公式，可得答案；（2）由三角形面積公式，利用正弦函數(shù)以及余弦的二倍角公式與和角公式，可得三角形內(nèi)角的余弦值，根據(jù)余弦定理，可得答案.【小問1詳解】由，則，則，所以，整理可得則，由，∴或，當(dāng)時，可得，，則，解得，則，∵，且，∴．由正弦定理可知，則，顯然與矛盾，所以不符合題意，舍去，所以．【小問2詳解】由（1）可知，且，則，故，解得，，∴，設(shè)，，∵，由余弦定理可知，∵，解得，∴．16.如圖所示，在四棱錐中，，，，，，點在棱上，且．（1）證明：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）利用平行線的線段比例關(guān)系得到，即可證明平面.（2）取中點，以為原點建系，利用線面角的向量求法即可求得結(jié)果.【小問1詳解】連接交于，連接，∵，∴．又∵，∴，∵平面，平面，∴平面．【小問2詳解】取中點，連接，∵，∴，，又∵，，∴四邊形為矩形，．∵，∴．∵，且平面，平面，∴平面，以為原點建系如上圖，，，，，，∴，，，設(shè)為平面的法向量，令，則，，∴，∴，∴與平面所成角的正弦值為．17.已知拋物線的焦點為，為上的一個動點（不與坐標(biāo)原點重合），設(shè)．（1）求的方程；（2）過作的切線，過作的垂線交于點，求的最小值．【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得拋物線的準(zhǔn)線方程，由定義建立方程，可得答案（2）利用導(dǎo)數(shù)以及直線垂直求得直線方程，聯(lián)立求交點，利用基本不等式，可得答案.【小問1詳解】設(shè)的準(zhǔn)線方程為，∴，又，可得，即，，解得，∴的方程為.【小問2詳解】∵，∴點處的切線斜率為，∴直線斜率為，∴直線，與聯(lián)立可得，，解得，即的橫坐標(biāo)為，∴的縱坐標(biāo)為，∴，時取等號．18.人工智能（英語：ArtificialIntelligence，縮寫為AI）亦稱智械，機器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機器．為了了解不同性別的學(xué)生對AI的關(guān)注情況，隨機抽取了90名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下表：關(guān)注不關(guān)注合計男生5560女生合計75（1）完成上述列聯(lián)表，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，能否有的把握認(rèn)為學(xué)生對AI的關(guān)注與性別有關(guān)？（2）為了激發(fā)同學(xué)們對AI的關(guān)注，某班級舉辦了一次AI闖關(guān)PK，甲，乙兩名選手參加PK賽，比賽共有道題目，其中甲，乙水平相當(dāng)，他們分別答對每道題的概率均為，兩人各自分開答題，答對一題得1分，否則不得分．答題結(jié)束后得分較高者獲勝，得分相同視為平局．（?。┮阎?，且已知比賽結(jié)束后甲，乙得分之和為奇數(shù)．假設(shè)甲，乙得分之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）由于甲選手較為自負(fù)，甲決定放棄第一題的作答．若最終乙獲勝的概率為，求的值．附：0.10.050.010.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）表格見解析，有，理由見解析；（2）（?。┓植剂幸娊馕?，；（ⅱ）【解析】【分析】（1）數(shù)據(jù)分析得到列聯(lián)表，計算出卡方，與比較后得到結(jié)論；（2）（?。┰O(shè)甲、乙得分分別為，得到或．并根據(jù)貝葉斯公式得到相應(yīng)的概率，得到分布列，得到期望值；（ⅱ）假設(shè)除去第一題外的剩余題的答題過程中，甲比乙得分高的概率為，乙比甲得分高的概率為，甲乙得分相同的概率為，分析出，并得到乙獲勝概率，結(jié)合，解得．【小問1詳解】列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計男生女生合計∴，故能有％把握認(rèn)為學(xué)生對AI的關(guān)注與性別有關(guān)．【小問2詳解】（ⅰ）設(shè)甲、乙得分分別為，∵為奇數(shù)，故，，，，，，，，其中，故或．又，，，，根據(jù)貝葉斯公式，，．∴的分布列為∴；（ⅱ）假設(shè)除去第一題外的剩余題的答題過程中，甲比乙得分高的概率為，乙比甲得分高的概率為，甲乙得分相同的概率為，由于甲乙水平相當(dāng)，根據(jù)對稱性可知，且．∴，．如若乙比甲得分高，則第1題無論結(jié)果如何都是乙獲勝；如若甲比乙得分高，則乙不可能獲勝；如果甲乙得分相同，則第一題乙必須答對才能獲勝，故乙獲勝的概率，∵，，∴．19.對于函數(shù)與直線，定義：當(dāng)時，為函數(shù)與直線在區(qū)間上的偏差，取最小值時，稱為函數(shù)在區(qū)間上的最佳逼近直線．已知函數(shù)，，其中，．（1）當(dāng)時，函數(shù)的兩個零點分別為，直線，求在區(qū)間上的的值；（2）求證：對于任意給定的一個的值，在上總存在三個不同的零點，且；（3）函數(shù)在區(qū)間與的最佳逼近直線分別為與，它們在軸截距分別為與，求的值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得在遞減，遞增，求出最小值，再根據(jù)即可求得結(jié)果.（2）構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)知道此函數(shù)有兩根，∵，通過求導(dǎo)得到故在上存在零點，再利用不等式即可求得結(jié)果.（3）先證明在區(qū)間的最佳逼近直線為，此時．再求出函數(shù)在區(qū)間的最佳逼近直線的方程為和的方程為，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，令解得，解得，∴在遞減，遞增，∴在時取最小值（如圖1），當(dāng)處時，均有，故此時的值為．【小問2詳解】令，即，兩邊同時取對數(shù)并化簡整理得：，記，構(gòu)造函數(shù)，發(fā)現(xiàn)，，令，即，∵，∴此方程存在兩不等根，由韋達定理可知，∴，不難得出函數(shù)在上遞減，上遞增，上遞減（如圖2），且，∴．∵，令，則，∴關(guān)于單調(diào)遞增，∴，故在上存在零點．又，于是，．令，由對勾函數(shù)可知時單調(diào)遞增，且，故，即．