海南省2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（一）（1月）數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

海南省2024-2025學(xué)年高一年級學(xué)業(yè)水平診斷（一）數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定是“存在”改“任意”，并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，故原命題的否定為：，.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知集合為偶數(shù)集，結(jié)合交集運算求解即可.【詳解】因為集合為偶數(shù)集，且，所以.故選：D.3.冪函數(shù)是（）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.增函數(shù) D.減函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得，進而判斷冪函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，則為非奇非偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.故選：C4.已知函數(shù)與的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】由圖象可知：，結(jié)合周期公式運算求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期分別為，由圖象可知：，且，則，整理可得.故選：D.5.若函數(shù)沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)性質(zhì)化為時恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】當時，恒成立，要使沒有零點，所以，時，恒成立，即恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A6.已知，且角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式計算可得.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，又，所以.故選：C7.已知正實數(shù)，滿足，，，則的最大值是（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)可得，進而可得，根據(jù)對數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】由題設(shè)，可得，所以，當，時，的最大值是2.故選：B8.已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)解析式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論取不同值時，三角函數(shù)在上的值域，即表示出的值，通過排除或者求得到與有關(guān)等式，在由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出.【詳解】令，則，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；區(qū)間，上單調(diào)遞減.，①當時，則，此時，，不合題意.②當時，即，則函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增；區(qū)間，上單調(diào)遞減，此時，∵，∴，即，∴，又∵，即，∴，③當時，即時，，，則此時，不合題意.∴故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則下列選項中是的充分條件的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A：根據(jù)不等式性質(zhì)分析判斷即可；對于B：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：若，則，所以，故A正確；對于選項B：例如，滿足，但不成立，故B錯誤；對于選項C：若，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于選項D：若，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：ACD.10.已知，，則下列各式的值一定為正數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由題意可得.對于ABC：結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷；對于D：舉反例說明即可.【詳解】因為，，可得.對于選項A：，故A正確；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C正確；對于選項D：例如，則，符合題意，但，故D錯誤；故選：AC.11.質(zhì)數(shù)是指只有1和它自身兩個因數(shù)的正整數(shù)，互質(zhì)是指兩個正整數(shù)的公約數(shù)只有1.對于任意的正整數(shù)，將小于且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)記為，則（）A. B.當為質(zhì)數(shù)時，為增函數(shù)C.當為奇數(shù)時，為增函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)定義，應(yīng)用列舉法判斷A、C；由當為質(zhì)數(shù)時，判斷B；根據(jù)中的數(shù)從小到大，每三個連續(xù)數(shù)為一組，共有組，每組有2個數(shù)與互質(zhì)，得，即可判斷D.【詳解】A：由題意，與4互質(zhì)的正整數(shù)有1、3，與6互質(zhì)的正整數(shù)有1、5，故，對；B：當為質(zhì)數(shù)時，為增函數(shù)，對；C：由，，，，，顯然不為增函數(shù)，錯；D：由中的數(shù)從小到大，每三個連續(xù)數(shù)為一組，共有組，每組有2個數(shù)與互質(zhì)，所以，則，對.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D項，根據(jù)互質(zhì)及的定義，確定中的數(shù)從小到大，每三個連續(xù)數(shù)為一組，共有組，每組有2個數(shù)與互質(zhì)為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)可得，再結(jié)合根式以及分析的意義分析求解.【詳解】令，可得，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.13.2024年10月30日，神舟十九號載人飛船發(fā)射成功，執(zhí)行此次飛行任務(wù)的航天員有蔡旭哲、宋令東、王浩澤.所有航天員都需要在載人離心機中進行超重耐力與適應(yīng)性訓(xùn)練.如圖所示，離心機的座艙繞離心機的中心在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，若圓周運動的半徑為8m，速度為每秒圈，則座艙運動m需要的時間為_____________s.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)已知及弧長公式求出座艙每秒運動路程，進而求座艙運動m需要的時間.【詳解】由題設(shè)，每秒座艙旋轉(zhuǎn)，故座艙每秒運動m，所以座艙運動m需要的時間為秒.故答案為：314.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則_____________.【答案】2【解析】【分析】求出函數(shù)定義域，由函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱得到定義域也關(guān)于直線對稱，求得的值，由對稱軸得到，代入函數(shù)解析式，整理求得，即可得出結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的定義域為，即，解得或，即函數(shù)的定義域.∵函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，∴，∵則，即，即，∴，∴.故答案為：2.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)，關(guān)于的不等式的解集為.（1）求；（2）設(shè)集合，其中，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解二次不等式，由取值范圍得到兩根的大小關(guān)系，然后得到不等式解集；（2）由先求，再利用，建立不等式，即可求實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】不等式，即.因為，所以，所以由，可得，即.【小問2詳解】因為，所以，所以，由（1）得，要使，則需，整理得，解得，又，所以的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞增；（2）求不等式的解集.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析證明即可；（2）方法一：分類討論，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式；方法二：換元設(shè)，代入解得或，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可【小問1詳解】設(shè)，則，因為，則，，可得，則，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】方法一：由，得，①當時，由（1）知在上單調(diào)遞增，又因為，故由可得；②當時，因為，可知是偶函數(shù)，由對稱性可知也符合題意；③當時，，不合題意；綜上上述：原不等式的解集為方法二：設(shè)，由，得，整理可得，即，解得或，由，可得；由，可得；所以原不等式的解集為.17.已知函數(shù).（1）化簡；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡；（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求值.【小問1詳解】；【小問2詳解】當時，，所以，所以于是，，所以.18.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.（1）求的值；（2）分析在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）設(shè)函數(shù)，若與的圖象相交于，兩點，為坐標原點，求的面積.【答案】（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱性可得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)運算求解即可；（2）由（1）可知，以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解；（3）由（2）可知，，令，解方程可得，，即可得面積.【小問1詳解】因為的圖象關(guān)于點中心對稱，則，即，可得，解得，且，所以.【小問2詳解】由（1）可知，當時，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.令，可得，令，可得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.【小問3詳解】由（2）可知，，令，可得，即，解得或（舍去），又因為，可得或，因為，，不妨設(shè)，，則，兩點關(guān)于點對稱，所以的面積.19.已知函數(shù)與，若對任意，總存在，使得成立，則稱是區(qū)間上的“函數(shù)”；若對任意的，總存在，使得成立，則稱是在區(qū)間上的“函數(shù)”.（1）判斷是否為區(qū)間上“函數(shù)”，并說明理由；（2）若是區(qū)間上的“函數(shù)”，求實數(shù)的值；（3）若是在區(qū)間上的“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）不是，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由函數(shù)的新定義驗證取特殊值即可驗證函數(shù)不是區(qū)間上的“函數(shù)”；（2）由函數(shù)新定理，得到的關(guān)系，通過關(guān)系求出的范圍，由區(qū)間滿足包含關(guān)系建立等式，求得的值；（3）由函數(shù)新定義得到，通過的范圍得出在區(qū)間的值域包含，然后通過對分類討論，求出二次函數(shù)的值域，建立不等式，分別求得的取值范圍后取并集.【小問1詳解】當時，，此時不存在，使得，故不是區(qū)間上的“函數(shù)”.【小問2詳解】由題可知，對任意的，總存在，使得成立，即成立，則的取值范圍包含的取值范圍當時，，所以，所以解得.【小問3詳解】由題可知，對任意的，總存在，使得成立，即成立.因為，所以，所以在區(qū)